2026年九年级数学秋季开学·学情自测卷（山东专用，新教材人教版）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，以文旅、军事等现实情境为载体，梯度设计考查运算、推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程解法、函数图像性质|结合月历表等生活场景，考查抽象能力| |填空题|5/15|函数表达式、根的分布|设计矩形面积最值问题，体现几何直观| |解答题|7/75|方程应用、函数图像与性质|结合果园规划、跳弹模拟等真实情境，考查模型意识与应用能力|

( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 3 0 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题：本题共 5 小题，每 题 3 分，共 1 5 分． 1 1 ． ________________________ 1 2 ． ______ _________ 1 3 ． _________ 1 4 ． ___________ 1 5 ． _______________ 三 、解答题（共7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16 （ 12分 ） ．解方程： (1) (2) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( (3) (4) ． 17.（9分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18.（9分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19.（9分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ． （ 14 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 1. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1. 考试范围：九年级上册第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 3．将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为（    ）    A． B． C． D． 4．若坐标平面上二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，则a、b、c的值可能为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．抛物线（其中是常数，且）与轴交点的横坐标分别是，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．关于函数的图像与性质的说法正确的是(　　) A．函数值的最大值为2 B．图像关于y轴对称 C．当时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标在第二象限 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 8．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知二次函数下列说法错误的是（） A．对称轴为：直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 10．已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，则方程有实数解； ②若，且关于的方程有无数个解，则； ③若，则存在实数使得； ④若，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分． 11．已知抛物线经过点和，则这条抛物线的函数表达式是____． 12．已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是______． 13．如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 14．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 三、解答题：本题共7小题，共75分． 16（12分）．解方程： (1) (2) (3) (4)． 17（9分）．如图，函数的图象经过点，，．    (1)求，的值，并直接写出顶点坐标； (2)在图2中画出这个函数的图象；（不必列表） (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 18（9分）．在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 19（9分）.国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 20（10分）．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 21（12分）．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 22（14分）．某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C C A D B C C B 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分． 11． 12．/ 13．100 14． 15． 三、解答题：本题共7小题， 16(12分，每题3分) （1）解： ， ， 即或， 解得，； ……………………………………………………………………… (4分) （2）解：， ， 或， ∴，； ……………………………………………………………………… (4分) （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，；…………………………………………………………………… (4分) （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，；……………………………………………………………………… (4分) 17．（9分） （1）解：由题得，将和代入得， 解得，， 即、的值分别是：2，3， ∴ 顶点坐标； ……………………………………………………………… (3分) (2)如图所示； ……………………………………………………………… (6分) （3）解：由（2）中的图象可知： 下图红色部分即为时的函数图象，    此时：， 故：． ……………………………………………………………… (9分) 18.（9分） （1）解：当时，，， ， ； ………………………………………… (3分) （2）解：，，， ，， ， ； ………………………………………… (6分) （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． ………………………………………… (9分) 19.（9分） （1）解：由题意可得： ； ………………………………………… (3分) （2）解：由题意可得：， 则， 即， 解得：，， 经检验得：不合题意，舍去， 答：x的值为1； ………………………………………… (6分) （3）解： ， 当时，y随x的增大而减小， 故当时，y最大，， 即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为． ……………………………… (9分) 20.（10分） （1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； ………………………………………… (5分) （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． ………………………………………… (10分) 21.（12分） （1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； ………………………………………… (3分) （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． ………………………………………… (7分) （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． ………………………………………… (12分) 22（14分） （1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； ………………………………………… (3分) （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； ………………………………………… (8分) （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． ………………………………………… (14分) ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 11111 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 1 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 注 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 % 郑 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 O 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 4 1234 4. 5 5 破。 6 5. 正确填涂 7 12345678 缺考标记 89 789 6789 5678 6789 0123456789 123456789 6789 0123456789 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C]D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A1[B1[C1D1 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 救 照 3A][B][C]D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题， 每题3分，共15分 11 12 13 14 1 三、 解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16(12分).解方程： 期 (1)4(x-12=(x+2)2 (2)(x-5)2+4(x-5)=0 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (3)x2+8x-2=0 (4)2x2-3x-4=0. 17.(9分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(9分) 19.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） (道9迁)道9美索谁 :华￥茎品明海☒马削到鲜每盖用群‘品4海☒瑶品阳目踞号安巢 (gbI)乙 1路壬苦号海了马削到狂毋诺用‘号卦海了酷号目酷艺安: : : 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学 : : (考试时间：100分钟试卷满分：120分) : 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：九年级上册第二十五章一元二次方程、第二十六章二次函数 : 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上 1.方程x2-4=0的解是() .: A.x=2 B.x=±2 C.x=4 D.x=4 2.关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根为x=3,那么它的另一个根为x=() A.-3 B.1 C.3 D.-7 3.将一个容积为600c3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为() 30 : : : A.15(1-x)=136.7 B.30(30-2x)x=600 C.15(15-x)x=600 D.x(15-x)x=600 4.若坐标平面上二次函数y=a(x+b)+c的图象，经过平移后可与y=-(x+3)的图象完全重合，则a、b、 c的值可能为() A.a=1,b=0,c=-2 B.a=2,b=6,c=0 分 C.a=-1,b=-3,c=0 D.a=-2,b=-3,C=-2 5.抛物线y=(x-@(x-b)+3(其中ab是常数，且a<b)与x轴交点的横坐标分别是kn(<n),下 : : 列结论正确的是() : ○ A.a<m<n<bB.a<n<b<n C.n<a<n<b D.n<a<b<n 试题第1页（共6页） : : ⊙学科网·上好课 6.关于函数y=(x+1)+2的图像与性质的说法正确的是() A.函数值的最大值为2 B.图像关于y轴对称 C.当x<0时，y随x的增大而增大 D.顶点坐标在第二象限 7.己知a,b是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则㎡2-3b-5+ab的值是() A.3 B.4 C.5 D.15 8.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点A(3,0),二次函数的对称轴为x=1,，给出下 列结论：①b2>4ac;②abc<0;③2a+b=0:④a+b+c=0;⑤当-1<x<3时，y<0,其中正确的 结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.已知二次函数y=-3(x-2)-3下列说法错误的是() A.对称轴为：直线x=2 B.当x>2时，y随x的增大而减小 C.函数的最小值是-3 D.顶点坐标为(2，-3) 10.已知多项式C=x2+2x+,多项式D=x2+kx+1,其中，k,1均为正整数，下列说法： ①若m=k=1=1,则方程C.D=0有实数解： ②若m=1=3,且关于x的方程C=D有无数个解，则k=2: ③若k=1,则存在实数x使得C+D=0: ④若s=2+m,t=2+k+1,且st-s-t=8,则满足条件的多项式D共有4个. 其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分. 11.已知抛物线y=2+br-3(a≠0)经过点(-2,5)和(1，-4)，则这条抛物线的函数表达式是： 试题第2页（共6页） 学科网·上好课 x2-1, 12.已知函数y= 2, 若存在实数b,使得关于x的方程y=b有三个不同的实根，则的 x2-mx+mx> 2 取值范围是 13.如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8,14,15， 16,17,24).若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为 日一二三四五六 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 14.如图，矩形ABCD,点E在边AD上，设△EBC的底边BC长为x,BC边上的高为y,它的面积为S, 且x+y=7,S是关于x的函数，则S的最大值为 D 15.在平面直角坐标系中，已知抛物线：y=x2-x+m,若A(m-2,y),B(,y2),C(+4,3)为抛物线上 三点，且>片>.则m的取值范围是 三、解答题：本题共7小题，共75分. 16（12分).解方程： (1)4(x-1)2=(x+2) (2)(x-5)+4(x-5)=0 (3)x2+8x-2=0 (4)2x2-3x-4=0. 17(9分).如图，函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,3),C1,4). 试题第3页（共6页） B (1)求b,c的值，并直接写出顶点坐标： 年 (2)在图2中画出这个函数的图象；（不必列表） (3)当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 张 18(9分).在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=18cm,BC=16cm,点P,Q都从点C出发，点P以1cm/s 的速度沿CA向A运动，点2从点C出发，以2c/s的速度沿CB向B运动，两点同时出发，设运动时间 河 为ts(0<t<8) 游 (1)当t=1s时，求PQ长. 游 (2)当△PCQ的面积为6cm时，求t的值. (3)当PQ=35cm时，求t的值 19(9分).国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m),现在其中修建一 条观花道（阴影所示），供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为. 世 (1)求y与x的函数表达式： (2)若改造后观花道的面积为13m,求x的值； (3)若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值， 20(10分).政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造， 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷 问题 出抛物线形水柱.现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变， 圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外 试题第4页（共6页） : 方法说 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算. 明 .: 操作说 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管 明 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. : 过程 数据测 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱 量 在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高. : 0 建立模 计算，交流展示… 型 0.8 3.5 8 .: 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为y=2+bx+0.8(a≠0)，求a,b的值： : … (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 21(12分).五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩.宣城某乡镇果蔬专 : 舒 业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业.结合提供的素材， 解决相关问题. 探索果园土地规划和销售利润问题 將 该专业合作社辖区内有一块长方形果园ABCD,图1是果园的平面图， AxL KxD 2x 素 其中AB=200米，BC=300米.准备在它的四周铺设道路，上下两条横 M 种植园区 材 向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分 1 种植水果.出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不 甜 小于5米 1 : 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观.若每平方米的草 素 莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓.受天气诸 ☒ 材 多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售，若每 2 平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓.果园每 月的承包费为2万元： 2 : O 问题解决： .: 试题第5页（共6页） 学科网·上好课 (1)若中间种植的面积是44800，则路面设置的宽度是否符合要求。 (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 22(14分).某课外实践小组用AI模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①所示.跳弹 在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.飞机在距水面垂直高度为8.1的A处投放跳弹， 跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为C1:y=-0.25x2+2.5x, C2:y=-0.25x2+x+n,C3:y=-0.25x2+x+q,与水面分别接触于点B,点C.(演示过程在同一平面 内，其他因素忽略不计) C EC、H 图① 图2 (1)已知点A与点O所在直线AO的表达式为y=-0.9x,分别求出A,B两点的坐标： (2)若水面上D(12,0)处有一个高为2（宽忽略不计)的障碍物和一个截面宽DE=4的暗礁，抛物线C,在 x=14时距水面最高，请判断跳弹沿路径C,运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在(2)的条件下，若跳弹从水面上点C弹起后，沿路径C3撞击对方目标截面F处时，启动跳弹内部回弹 装置，避开暗礁沿直线FM加速飞向水面，接触水面后沿直线MN撞向目标，该过程始终保持 阳-应-).且目标露出水面的垂直高度HG=6,点H的坐标(20，o,打击点N距水面的距离为NH， MH NH2 且6≤NH≤10，求抛物线C3中P的取值范围. 试题第6页（共6页） 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 1. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1. 考试范围：九年级上册第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 3．将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为（    ）    A． B． C． D． 4．若坐标平面上二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，则a、b、c的值可能为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．抛物线（其中是常数，且）与轴交点的横坐标分别是，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．关于函数的图像与性质的说法正确的是(　　) A．函数值的最大值为2 B．图像关于y轴对称 C．当时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标在第二象限 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 8．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知二次函数下列说法错误的是（） A．对称轴为：直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 10．已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，则方程有实数解； ②若，且关于的方程有无数个解，则； ③若，则存在实数使得； ④若，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分． 11．已知抛物线经过点和，则这条抛物线的函数表达式是____． 12．已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是______． 13．如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 14．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 三、解答题：本题共7小题，共75分． 16（12分）．解方程： (1) (2) (3) (4)． 17（9分）．如图，函数的图象经过点，，．    (1)求，的值，并直接写出顶点坐标； (2)在图2中画出这个函数的图象；（不必列表） (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 18（9分）．在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 19（9分）.国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 20（10分）．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 21（12分）．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 22（14分）．某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 全解全析 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解．利用直接开平方法即可求得． 【详解】解：， 移项得， 解得， 故选：B． 2．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 3．将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的长与宽是解题的关键．根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可． 【详解】解：由图可知：长方体的长为15，宽为， 由题意得：； 故选C． 4．若坐标平面上二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，则a、b、c的值可能为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，根据二次函数平移过程中，开口方向，开口大小不变，即a的值不变，得出，进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合， ∴． 故选：C． 5．抛物线（其中是常数，且）与轴交点的横坐标分别是，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 依照题意画出二次函数及的大致图象，观察图象即可得出结论． 【详解】解：二次函数与轴交点的横坐标为，将其图象往上平移3 个单位长度可得出二次函数的图象． 观察图象，可知：． 故选：A． 6．关于函数的图像与性质的说法正确的是(　　) A．函数值的最大值为2 B．图像关于y轴对称 C．当时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标在第二象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数的最值，根据二次函数的解析式，结合二次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知，二次函数的解析式为，开口向上，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 所以当时，函数有最小值为2． 故A选项不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 故B选项不符合题意； 因为抛物线开口向上，且对称轴为直线， 所以当时，y随x的增大而增大． 故C选项不符合题意； 抛物线的顶点坐标为，即顶点坐标在第二象限． 故D选项符合题意； 故选：D． 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 8．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 9．已知二次函数下列说法错误的是（） A．对称轴为：直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标和开口方向，从而判断各选项的正确性． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D正确，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，顶点为最大值点，函数有最大值为，无最小值， 故选项C错误，符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项B正确，不符合题意． 故选C． 10．已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，则方程有实数解； ②若，且关于的方程有无数个解，则； ③若，则存在实数使得； ④若，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、方程有无数解的条件、因式分解等知识． ①代入，写出多项式、的表达式，对因式分解后，分析方程的解；只要其中一个因式为有实数解，即可判定方程有实数解． ②代入，将整理为关于的方程，根据“一元一次方程有无数解的条件是一次项系数为且常数项相等”，求出的值并判断． ③代入，写出的表达式并整理为一元二次方程形式，计算判别式；结合为正整数的条件，判断的符号，从而确定方程是否有实数解． ④对等式变形为，代入、得到；再根据为正整数的条件，分析的正因数分解情况，统计符合条件的解的组数，进而确定多项式的个数． 【详解】解：①若，则，． 方程即． 因有解，故方程有实数解，①正确； ②若，且有无数解， 则，整理得． 方程有无数解的条件是系数为0，即，得，②正确； ③若，则． 要存在实数使，需判别式． ∵为正整数，， ∴，，方程无实数解，③错误； ④由变形得，其中，， 即. ∵均为正整数， ∴，． ∵9的正整数因数分解为、、， ∴只有，，则，， ∵为正整数，∴，； 因此满足条件的多项式仅1个，故④错误． 综上，正确的说法为①②，共2个． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分． 11．已知抛物线经过点和，则这条抛物线的函数表达式是____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，将点和代入抛物线的解析式，再解方程组即可． 【详解】解：将点和代入，得：， 解得：， 故抛物线的函数表达式是． 故答案为：． 12．已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用及分类讨论思想的运用是解题的关键． 先判断当时，，即方程只有一个实数根，再确定有两个实数根，然后解出方程即可求解． 【详解】解：当时，，即， 则， ∴， ∴， ∴只有，有一个实数根， ∴有两个实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【答案】100 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 故最小的数为：9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18， 最大的数为：25， 故这6个数的和为：． 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 14．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由，得到，利用三角形的面积公式即可得到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解最大值． 【详解】解：， ， 的底边长为，边上的高为，它的面积为， ， ， 当时，有最大值，为． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据给定的函数值大小关系列不等式求解即可． 【详解】解：为抛物线上三点， ∴， ， ， 又∵， ∴， 解得： ． 三、解答题：本题共7小题，共75分． 16（12分）．解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【详解】（1）解： ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，； （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 17（9分）．如图，函数的图象经过点，，．    (1)求，的值，并直接写出顶点坐标； (2)在图2中画出这个函数的图象；（不必列表） (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、的值分别是：2，3，顶点坐标 (2) 如图所示； (3) 【分析】（1）将和代入即可求解； （2）描点、连线即可完成作图； （3）找到时的函数图像即可求解． 【详解】（1）解：由题得，将和代入得， 解得，， 即、的值分别是：2，3， ∴ 顶点坐标； （2）略 （3）解：由（2）中的图象可知： 下图红色部分即为时的函数图象，    此时：， 故：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟记相关结论是解题关键． 18（9分）．在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， ； （2）解：，，， ，， ， ； （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 19（9分）.国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 【答案】(1) (2)x的值为1 (3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 【分析】（1）利用长方形的面积计算公式得出y与x的函数关系式； （2）将代入函数解析式求出x的值； （3）利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：由题意可得：， 则， 即， 解得：，， 经检验得：不合题意，舍去， 答：x的值为1； （3）解： ， 当时，y随x的增大而减小， 故当时，y最大，， 即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为． 20（10分）．政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 21（12分）．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 22（14分）．某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】(1)，； (2)能避开障碍物和暗礁； (3)． 【分析】将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； 先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； 设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $