精品解析：山东省东营市广饶县乐安中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

山东省东营市广饶县乐安中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题 （时间120分钟 分值120分） 一、选择题（本题共10小题，共30分） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线y＝x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是（ ） A. y＝+6 B. y＝﹣6 C. y＝+6 D. y＝﹣6 3. 如图，在中，，，，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二、四象限；②当时，y随x的增大而增大；③图象经过点；④若点，都在图象上，且，则，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 5. 对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 有最大值，最大值是 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 已知某抛物线上有三点，分别为，，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，，由小到大的顺序排列的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 10. 二次函数的部分图像如图，图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④无论m为何值时，总有；⑤．其中正确的结论序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③④⑤ D. ②③④ 二、填空题（11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是_______ 12. 若将二次函数配方为的形式，则_______． 13. 若二次函数y＝kx2－8x＋8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______． 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接、，则的值为_______． 15. 如图在底边长，高的三角形铁板上，要截一块矩形铁板，如图所示，则矩形铁板的面积最大值是_______． 16. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为____________． 17. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝cm， 且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____cm． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则_____． 三、解答题（共62分） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，化简后，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 20. 在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图所示），如果这名男同学的出手处A点的坐标为，铅球路线的最高处B点的坐标为． （1）求出这个二次函数的解析式； （2）请求出这名男同学比赛时的成绩？ 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 22. 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索与桥面的夹角分别为和，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：） 23. 如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （3）当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？ 24. 某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，如果以单价26元销售，那么一个月内可售出240台．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少10台．根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得低于进价且不得高于32元． （1）求每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时每月可获得最大利润，每月最大利润是多少？ 25. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省东营市广饶县乐安中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题 （时间120分钟 分值120分） 一、选择题（本题共10小题，共30分） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义式对各项进行判断即可得到结论． 【详解】解：A、由得：xy=，即x与y成反比例，y是x的反比例函数，正确； B、由知，y与x2成反比例；y不是x的反比例函数，故不合题意； C、由知y与x+3成反比例，y不是x的反比例函数，故不合题意； D、由知，y-2与x成反比例，y不是x的反比例函数，故不合题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查反比例函数的判断，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键． 2. 将抛物线y＝x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是（ ） A. y＝+6 B. y＝﹣6 C. y＝+6 D. y＝﹣6 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案. 【详解】将抛物线y＝x2向左平移5个单位长度，得到的解析式为：y＝（x+5）2， 将抛物线y＝（x+5）2，向上平移6个单位长度，得到的解析式为：y＝（x+5）2+6， ∴所得抛物线相应的函数表达式是：y＝（x+5）2+6， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟记“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键. 3. 如图，在中，，，，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的定义，可得，根据计算器的应用，可得答案． 【详解】解：由，得： ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了计算器，利用锐角三角函数、计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键． 4. 对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二、四象限；②当时，y随x的增大而增大；③图象经过点；④若点，都在图象上，且，则，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此解题． 【详解】解：反比例函数，图象分布在第二、四象限，故①正确； 当时，y随x的增大而增大，故②正确； 当时，，图象经过点，故③正确； 若点，都在图象上，且，当，，故④错误，正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 5. 对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 有最大值，最大值是 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可判断答案． 【详解】， 抛物线开口向上， A选项不正确； 二次函数的图象的顶点坐标是， 抛物线有最小值，且最小值是， B选项和C选项都不正确； ， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而增大， D选项正确． 故选：D． 6. 已知某抛物线上有三点，分别为，，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，，由小到大的顺序排列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， ∵抛物线上有三点，分别为，，，且， ∴， 故选：A． 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进行求解即可． 【详解】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围， ∴不等式的解集为或， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 9. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， ∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点， 当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， 则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2， 由上可得，m的值为0或2或﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 10. 二次函数的部分图像如图，图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④无论m为何值时，总有；⑤．其中正确的结论序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③④⑤ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图像可得c＞0， ∵x==1， ∴ab＜0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线x==1， ∴b=-2a，即2a+b=0，故②错误； ③∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2-4ac＞0，故③正确； ④当x=1时，函数有最大值， ∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴am2+bm≤a+b，即无论m为何值时，总有am2+bm≤a+b．故④正确； ⑤∵当x=-3时，y＜0， ∴9a-3b+c＜0， 即9a+c＜3b， 故⑤错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是_______ 【答案】x≤3且x≠2 【解析】 【分析】由函数表达式中：有意义可得函数自变量的取值范围． 【详解】解：由有意义， 所以： 所以：且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，考查了二次根式与分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键． 12. 若将二次函数配方为的形式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的一般式化为顶点式．根据二次函数由一般式化为顶点式的方法可进行求解． 【详解】解：将二次函数配方成的形式，则有： ； 故答案为：． 13. 若二次函数y＝kx2－8x＋8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______． 【答案】k≤2且k≠0 【解析】 【详解】因为y＝kx2－8x＋8为二次函数，所以k≠0,；令y=0，得到一元二次方程kx2－8x＋8=0，因为与x轴有交点，即方程有实数根，故Δ=b2－4ac=64－32k≥0，解得k≤2，又因为k≠0，所以k的取值范围是k≤2且k≠0. 故答案为k≤2且k≠0. 点睛：遇到一元二次方程与x轴交点的情况可以令y=0，将问题转化成为一元二次方程根的情况问题. 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接、，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正弦函数的定义．利用勾股定理及其逆定理，求得是直角三角形，且，再利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 根据勾股定理得：，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴在中， 故答案为：. 15. 如图在底边长，高的三角形铁板上，要截一块矩形铁板，如图所示，则矩形铁板的面积最大值是_______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．设，依据，即可得到，进而得出，再根据，即可得到当时，矩形面积最大为． 【详解】解：如图所示，设， ∵矩形中，， ， 又，， ，即， ， ， ， ∵， 当时，矩形面积最大为， 故答案为：60． 16. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则点A的坐标为（-b，a），再由点B在反比例函数，推出，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°， 由题意得OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠CAO=∠DOB， ∴△ACO≌△ODB（AAS）， ∴AC=OD，OC=BD， 设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b， ∴点A的坐标为（-b，a）， ∵点B在反比例函数， ∴， ∴， ∴， ∴经过点A的反比例函数表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 17. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝cm， 且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____cm． 【答案】36 【解析】 【分析】根据tan∠EFC的值，可设CE=3k，在Rt△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，根据∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案． 【详解】解： tan∠EFC＝， ∴设CE=3k，则CF=4k， 由勾股定理得EF=DE=5k， ∴DC=AB=8k， ∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∴tan∠BAF=tan∠EFC= ∴BF=6k，AF=BC=AD=10k， 在Rt△AFE中由勾股定理得AE= 解得：k=1， 故矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm， 故答案为：36． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察出每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，个为一组依次循环， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共62分） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，化简后，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 【答案】（1）1；（2），当时，原式=． 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质，分别计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； 由题意可知：，，， ∴当时，原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则，掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质进行求解． 20. 在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图所示），如果这名男同学的出手处A点的坐标为，铅球路线的最高处B点的坐标为． （1）求出这个二次函数的解析式； （2）请求出这名男同学比赛时的成绩？ 【答案】（1）这个二次函数的解析式为 （2）这名男同学比赛时的成绩是米 【解析】 【分析】（1）由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将代入即可求解． （2）由（1）求得的函数解析式，令y＝0，求得的x的正值即为铅球推出的距离． 【小问1详解】 解：（1）设二次函数的解析式为， 由于顶点坐标为， ∴． 又A在抛物线上， ∴， 解得： ． ∴二次函数的解析式为， 整理得：． ∴这个二次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：当时，． ∴， （不合题意，舍去）． 答：这名男同学比赛时的成绩是米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确的求出函数解析式是解答本题的关键． 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 22. 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索与桥面的夹角分别为和，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：） 【答案】主塔的高度约为78m． 【解析】 【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题． 【详解】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ABC中，∠C＝45°， ∴AB＝BC， ∴， ∴m， ∴AB＝BC＝m， 答：主塔的高度约为78m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 23. 如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （3）当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是，或，； （2）不能围成一个面积为的羊圈； （3）为米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决应用题及二次函数解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． （1）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案； （2）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案； （3）设面积为表示出与出解析式，结合函数性质直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得， ， 解得：，， 答：能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是，或，； 【小问2详解】 解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得， ， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴不能围成一个面积为的羊圈， 答：不能围成一个面积为的羊圈； 【小问3详解】 解：设面积为，由题意可得， ， ∵， ∴当时，最大，， ∴为米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是． 24. 某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，如果以单价26元销售，那么一个月内可售出240台．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少10台．根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得低于进价且不得高于32元． （1）求每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时每月可获得最大利润，每月最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润；每月获得最大利润为2160元． 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质及其应用． （1）根据以“单价26元销售，一个月内可售出240台，销售单价每提高1元，销售量相应减少10台”列出函数解析式； （2）根据利润=（定价−进价）×销售量，从而列出关系式，再根据函数的性质以及x的取值范围求函数最值． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：由题意，得： ， ∴， ∵，， ∴时，， 答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润；每月获得最大利润为2160元． 25. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 【答案】（1） （2）（1，-2） （3）（-1，0）或（，-2）或（，2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q； （3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C， ∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3） 如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3）， 由轴对称的性质可知CQ=EQ， ∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ， 要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小， ∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小， 设直线AE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AE的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为（1，-2）； 【小问3详解】 解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E， ∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形， ∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°， ∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°， ∴∠FMP=∠EPB， ∴△FMP≌△EPB（AAS）， ∴PE=MF，BE=PF， 设点P的坐标为（1，m）， ∴， ∴，， ∴点M的坐标为（1-m，m-2）， ∵点M在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（-1，0）； 同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）； 如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m）， 同理可证△PEB≌△BFM（AAS）， ∴， ∴点M的坐标为（3-m，-2）， ∵点M在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（，-2）； 如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时， 同理可以求得点M的坐标为（，2）； 综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $