2026年八年级数学秋季开学·学情自测卷（山东专用，新教材人教版）

**基本信息** 2026年八年级开学数学学情自测卷，聚焦三角形与全等三角形，通过车棚钢架、智能闸机等现实情境，设置基础辨析与探究创新题，检测数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形稳定性、三边关系、等腰三角形周长|第1题结合高铁站车棚考查稳定性，体现数学眼光| |填空题|5/15|角平分线性质、全等判定条件、等腰三角形分类|第12题辨析ASA判定条件，培养推理意识| |解答题|8/75|全等证明、内角和探究、饮马问题应用|20题以骑行、北斗七星情境迁移内角和证明，23题探究SSA全等条件，发展创新思维|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 1. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1. 考试范围：八年级上册第十三章 三角形 第十四章 全等三角形 1. 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 2．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 3．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 4．如图，已知 的周长是，分别平分和，于点，且，的面积是（       ） A．42 B．21 C．84 D．28 5．如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 8．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 9．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 1. 填空题：本题共5小题，每题3分，共15分． 11．在中，为的平分线，为边上的高．若，，则____________度． 12．如图，C，F为线段上两点，，，则添加一个条件：①；②；③；④．能用“”判定的是___________．（填序号） 13．如图，在中，与的平分线交于点P，若，则______． 14．已知的周长为16，，当的值为_____时，是等腰三角形． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，，，，，轴于点，则点的坐标是_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16（8分）．如图，在和中，，，点在的边上，． (1)请判断和是否全等，若全等，请说明理由；若不全等，不必说明理由； (2)若，请求出的度数． 17（8分）．七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 18（8分）．推理论证 已知：如图，，，分别平分和． 求证： (1)； (2)． 19（9分）．如图，已知直线，点为直线上一定点，点为直线上的一个动点，连接．在直线、之间找点使，，设，． (1)当时，求的度数． (2)与有怎样的数量关系？并给出证明． (3)设的角平分线与交于点，当时，求． 20（10分）．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 证明：， ， （    ）， （    ）， （    ） 即三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用1】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为． 【迁移应用2】 (3)如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 21（10分）．【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠而得到， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识迁移】在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图2． (1)若，，求的面积； (2)求证：平分； (3)【拓展应用】在图2的基础上，过点P作，如图3．若，，，求的长度． 22（10分）．阅读材料： 如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是______； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．则的最小值是______． 23（12分）．学习了三角形全等的判定方法后可知，有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，那么什么时候全等什么时候不全等呢？ 小聪将命题用符号语言表示为：在和中，，，．并思考要想解决问题，应把分为“直角、锐角、钝角”三种情况进行探究： (1)第一种情况：当是直角时，在和中，，，，根据“”定理，可以知道． (2)第二种情况：当是锐角时，如图，， ，在射线上有点D，使，在答题卡的图中画出符合条件的点D，根据作图可以判断和的关系（     ） A、不全等    B、不一定全等    C、全等 (3)第三种情况：当是钝角时，在和中，，，，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $: : : 2026年秋季八年级开学.学情自测卷 O 数学 : (考试时间：100分钟试卷满分：120分) 注意事项： : 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：八年级上册第十三章三角形第十四章全等三角形 .: 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上 1.如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是() 尽 : : A. 两点确定一条直线 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边 D.三角形具有稳定性 斟 : 2.如图，小明为估计池塘岸边A,B间的距离，在池塘一侧选取了一点O,测得OA=20m,OB=15m, .: 那么A,B间的距离可能是() .: : : : .: A.5m B.35m c.40m D.23m ·: 3. 一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为() A.17 B.20 C.22 D.17或22 4.如图，已知△ABC的周长是21，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=4,△ABC 的面积是() : ○ : 试题第1页（共6页） : 。: .: 66学科网·上好课 A.42 B.21 C.84 D.28 5.如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD,∠1=110°，∠2=70°，则∠3的度数是() 3 A.30° B.40° C.50° D.60° 6.如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M,与CF相交于点D,AB与CF相交于N, ∠E=∠F=90°，∠EAC=∠FAB,AE=AF.给出下列结论：①∠B=∠C;②CF=BM;③BE=CF; ④△ACN≌△ABM.其中正确的结论是() A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④ 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧分别交AC、AB于点P、 2,又分别以P、Q为圆心，大于P0为半径画弧交于点M,连接4M交BC于点D.已知B=5CD=2, 则△ABD的面积是() B A.2 B.3 C.4 D.5 8.在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在△4BC与△AB,C2中：①若AB=A,B,，BC1=BC2, 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 且它们的周长相等，则△ABC≌△A,BC2:②若∠B=∠B,AC=AC,BC1=BC2,则 △AB,C1≌△A,B,C,对于上述的两个结论，下列说法正确的是() A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①，②都错误 D.①，②都正确 9.如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A,C,F,D在同一直线上， ∠CAB=∠FDE=90°，∠ABC=∠DEF,AB=DE.若AD=6CF=120cm,则AC的长为() 闸 闸 机 机 VVYAM000060m60000000 A.40cm B.50cm C.60cm D.100cm 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，过点A 作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,下列结论： ①△ABD≌△ACF;②DE=EF;③若SADE=15,S△cP=6,则SAABC=36;④BD+CE=DE,其中正 确的是() A.①④ B.②③ c.①②③ D.①②④ 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分. 11.在△ABC中，AE为∠A的平分线，AD为BC边上的高.若∠B=40°，∠DAE=10°，则∠C= 度 12.如图，C,F为线段AE上两点，BC⊥AE,DF⊥AE,AB=DE,则添加一个条件：①BC=DF; ②∠A=∠E;③AF=CE;④AC=EF,能用“HL"判定△ABC≌△EDF的是 ·(填序号) 试题第3页（共6页） 13.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,若∠A=40°，则∠BPC= 14.己知△ABC的周长为16，AB=6,当AC的值为时，△ABC是等腰三角形. 15.如图，△PN在平面直角坐标系中，点P,M在坐标轴上，P(0,2),N(2,-2),PM=PN,PM⊥PN, O 兵 ND⊥y轴于点D,则点M的坐标是 张 河 三、解答题：本题共8小题，共75分 O 游 16(8分).如图，在△ABC和△AEF中，∠E=∠B,AE=AB,点F在△ABC的边BC上，∠BFE=∠CAF. 斑 (1)请判断△ABC和△AEF是否全等，若全等，请说明理由；若不全等，不必说明理由： 世 (2)若∠BFE=40°，请求出∠C的度数. 17(8分).七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母， O 如图所示，并提出了一个问题：如何证明AE是∠QAP的平分线呢？ 小丽想，先证明△ABC≌△ADC,即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 试题第4页（共6页） : A(R) 在△ABC和△ADC中， .AD=BC,AB=DC,AC=AC 第一步 B D ∴.△ABC≌△ADC 第二步 ∴.∠BAC=∠DAC, 第三步 ∴.AE平分∠PRQ : 第四步 E 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第_步开始出错，第三步的依据是_： (2)请你帮助小明写出正确的证明过程. 18(8分).推理论证 .: 己知：如图AB∥EF,∠I=∠2，BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD : :: : O 常 求证： (1)EF∥CD: (2)BE⊥CE. 斟 19(9分).如图，已知直线MN‖PQ,点B为直线PQ上一定点，点C为直线MN上的一个动点，连接BC,在 : 直线MN、PO之间找点A使∠ABC=90°，∠ACB=30°，设∠ABP=a,∠ACM=B. .: : M C O M E P B P 黎 (1)当a=40°时，求B的度数. ☒ (2)与B有怎样的数量关系？并给出证明 (3)设∠CAB的角平分线AE与N交于点E,当∠AEM=20°时，求a. : 20（10分).【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折"角，观察得到三角形内角和为180°，现在 我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了. : 试题第5页（共6页） 6o学科网·上好课 (1)如图1，过△ABC的顶点A作BC的平行线ED,请你证明三角形的内角和为180°； B 图1 证明：BC∥ED, ∠EAB=∠B,∠DAC=-（), :∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°()， ·-+∠BAC+∠C=180°() 即三角形的内角和为180°： 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能 【迁移应用1】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中AB∥CD,若∠EAB=60°，∠ECD=40°， 请直接写出∠AEC的度数为. 2 【迁移应用2】 (3)如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为A,B,G,C,D,E,F,将 A,B,G,C,D,E,F,顺次首尾连接.假设B,G,C三点共线，AF恰好经过点G,且AF∥DE, ∠B=∠BCD+10°，∠D=105°，求∠B-∠CGF的度数. 图3 21(10分).【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，AB=8cm, BC=6cm,AC=5cm.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.求 △AED的周长. 试题第6页（共6页） ⊙学科网·上好课 解：，aBDE是由△BDC折叠而得到， ∴.△BDE≌△BDC ∴.BE=BC=6cm,DE=DC, '.AB=8cm, .'AE=AB-BE 2cm, .'CAED=AD+DE+AE=AC+AE, ∴.C△ABD=7cn. 【知识迁移】在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处， 折痕为BD,过点E作∠BED的平分线交BD于点P,连接AP,如图2. B 图1 图2 图3 )若CD=8。 cm,AB+BC=18cm,求△ABC的面积： (2)求证：AP平分∠CAB; (3)【拓展应用】在图2的基础上，过点P作PH⊥AB,如图3.若AB=5cm,BC=3cm,AC=4cm,求 PH的长度. 22（10分).阅读材料： 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线1同旁有两个定点A,B,在直 线I上存在点C,使得CA+CB的值最小. “智慧小组”的作法是：如图2，作点B关于直线I的对称点B',连接AB,则AB与直线I的交点即为点C, 且CA+CB的最小值为AB的长， 如图3，为了证明点C的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点C',连接 AC,BC,B'C',证明AC+BC<AC+BC'即可. 试题第7页（共6页） (1)请完成图3中的证明： (2)类比应用： ①如图4，在等边△ABC中，E是AB中点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的动点.若AD=6,则 PE+PB的最小值是一： ②如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,AD平分∠BAC,点M,N分别为AD,AC 士 上的动点，连接CM,N.则CM+MN的最小值是 卡 23(12分).学习了三角形全等的判定方法后可知，有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一 定全等，那么什么时候全等什么时候不全等呢？ 小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,并思考要想解决 张 问题，应把∠B分为“直角、锐角、钝角”三种情况进行探究： 游 B 游 ① B ② D B E ③ (1)第一种情况：当∠B是直角时，在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°，根据“L” 定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF, (2)第二种情况：当∠B是锐角时，如图，BC=EF,∠B=∠E<90°，在射线EQ上有点D,使DF=AC, 世 在答题卡的图中画出符合条件的点D,根据作图可以判断△ABC和△DEF的关系() A、不全等B、不一定全等C、全等 (3)第三种情况：当∠B是钝角时，在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E>90°，求证： △ABC≌△DEF. 试题第8页（共6页）丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季八年级学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D C B D 义 B C 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分. 11.20或60 12.①③④ 13.110° 14.4或5或6 15.（-4,0) 三、解答题：本题共7小题， 16(1)解：△AEF≌△ABC,理由如下： 如图，设AB,EF相交于点D, E D .∠E=∠B,∠ADE=∠BDF, ∴.∠BAE=∠BFE ,∠BFE=∠CAF .∠BAE=∠CAF」 .∠BAE+∠BAF=∠CAF+∠BAF, 即∠EAF=∠BAC 在△AEF和△ABC中， ∠E=∠B AE=AB ∠EAF=∠BAC 1 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△AEF≌△ABC(ASA): …(4分） (2)解：由(1)知△AEF≌△ABC, .AF=AC, ∴.∠C=∠AFC ,∠CAF=∠BFE=40°」 ∴2c=080-2∠C4r）=×80-40r)-70 ∴.∠C的度数为70° (8分) 17.(8分) (1)一，全等三角形的对应角相等 (2分) (2) 证明：在△ABC和△ADC中， AB=AD,BC=DC,AC=AC .△ABC≌AADC(SSS) ∠BAC=∠DAC」 ·AE平分∠PRg … (8分) 18.(8分)(【答案】(1)：CE平分∠BCD, :∠2=∠ECD=∠BCD. 又∠1=∠2， ∠I=∠ECD, .EF∥CD: (4分) (2AB∥EF,EF∥CD, AB∥CD .∠ABC+∠BCD=180° :BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, ∠ABE=∠EBC-)∠ABC,2=∠ECD=BCD, :∠EBC+∠2=（∠ABC+∠BCD)=90° 2 2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BEC=180-(LEBC+∠2)=90°， .BE⊥CE … (4分) 19.(9分) 1)解：过点A作AD∥P,如图， M C A ---D P B 0 ∴∠ABP=∠DAB=a, .a=40° ∴.∠ABP=∠DAB=40°， .∠ABC=90°，∠ACB=30°， ∴.∠CAB=60° ∴.∠CAD=∠CAB-∠DAB」 ∴∠CAD=60°-40°=20°， .MN PO,AD∥PQ, .MN II AD .∠ACM=∠CAD=20°， ..LACM=B, .B=20° (3分) (2)a+B=60°证明：过点A作AD∥P吧，如图， M ------D P B ..MN I PO, .MNII AD I PO. ∴.∠ABP=∠DAB=a,∠ACM=∠CAD=B, ∠ABC=90°，∠ACB=30° 3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAB=60° ∴.∠CAB=∠DAB+∠CAD=60° .∠CAB=∠ABP+∠ACM=a+B=60°， .a+B=60° (6分) (3)解：：∠ABC=90°，∠ACB=30° ∴.∠CAB=60° 如图， M E N B :AE为∠CAB的角平分线， .∠CAE=30° .·∠AEM=20° ∴.∠ACM=∠AEM+∠CAE=50°， .∠ABP=a,∠ACM=B, .∠ACM=B=50°. 由(2)可知a+B=60°， .a=60°-B=60°-50°=10° (9分) 20.(10分) 【答案】(1)∠C;两直线平行，内错角相等：平角的定义；∠B;等量代换 。 (3分) (2)解：如图，作EF‖AB, AB∥CD. EF∥AB∥CD, .∠AEF=∠EAB,LCEF=∠ECD .∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD=60°+40°=100°： 4 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (6分) D 图2 (3)解：如图，过点C作CM∥AF, B G M-1 E 又.AF I DE. .CMI‖AF I DE ,∠CGF=∠GCM,∠DCM=∠D=105°」 .∠BCD=∠DCM+∠GCM,∠B=∠BCD+10°， ∴.∠B=105°+∠GCM+10°=∠CGF+115°， ∴.∠B-∠CGF=115° (10分) 21.(10分) (1)解：由折叠可知，△BED≌△BCD, 六∠BED=∠C=90,CD=ED=8 3 ∴SABc=S.ABD+S.BCD -AR-DE+BC.CD -CD-(4B+BC) 1 18x18 231 =24(cm2): (3分) (2)证明：如图，过点P分别作PF⊥AB、PH⊥ED、PM⊥AC,垂足分别为点RH、M, 5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C M D 由折叠知，∠BDC=∠BDE, .PH PM, .EP平分∠BED, ∴.PF=PH, ∴.PF=PM, ∴点P在∠CAB的平分线上， ·AP平分∠CAB: (6分) (3)解：如图，过点P分别作PG⊥BC、PM⊥AC,垂足分别为点G、M,连接PC C G E H 由折叠知，∠DBC=∠DBE, .'PH=PG 由(2)知，PH=PM, .'PH PM=PG. S.ARC=P+S.acP+S4CP ∴Sc=号PH(AB+BC+AC)=) 2 C.BC 25+3+4)PH=)x3x4 .'PH=1cm ……… (10分) 22(10分) (1) 证明：由轴对称的性质可知，B'C=BC,BC=B'C, .AC+BC=AC+B'C=AB',AC'+BC'=AC'+B'C'>AB' .'AC+BC<AC'+BC',AC+BC2 AB', 6 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “当A、C、B三点共线时，AC+BC值最小， ∴点C的位置即为所求： (4分) (2)解：①：等边△ABC,AD是∠BAC的平分线， ∴，AD是等边△ABC的对称轴， 如图1，作E关于AD的对称点E',连接PE,BE', D 图1 .E'为AC的中点，BE为∠ABC的平分线， .'BE'=AD=6. 由题意知，PE+PB的最小值是BE', 故答案为：6； (7分) ②，AD平分∠BAC, ∴.AD是∠BAC的对称轴， 如图2，作N关于AD的对称点N',连接MW',CN',作CG⊥AB于G, D G N 图2 由题意知，当C、M、N'三点共线时，CM+MW=CN', 当N'G重合时，CM+MN的值最小，为CG, S.mwc-ABxCG-1BCxAC, 2 1 2x5xCG=2x3x4, 解得，cG=2 12 故答案为：5· 。 (10分) 7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23(12分) (1)解：在Rt△ABC和Rt△DEF中， AC=DF BC=EF· ,RtAABC≌RtDEF(HL): … (3分) (2)解：如图①， 和 BMD D' E ① DF=D'F=AC△DEF≌△ABC△DEF△ABC 不全等 故选：B; (6分) (3)证明：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点 H, F GD E ·∠ABC=∠DEF .180°-∠ABC=180°-∠DEF,即∠CBG=∠FEH, 在△CBG和△FEH中， [∠CBG=∠FEH ∠G=∠H=90°， BC=EF .△CBG≌aFEH(AAS), ..CG=FH, (8分) 在RtAACG和Rt△DFH中， AC=DF CG=FH' 8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.Rt△ACG≌RtDFH(HL), ∴.∠A=∠D … (10分) 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D ∠ABC=∠DEF, AC-DF .△ABC≌△DEF(AAS) 。 (12分) 9 ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 3 0 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题：本题共 5 小题，每 题 3 分，共 1 5 分． 1 1 ． ________________________ 1 2 ． _______________ 1 3 ． _________ 1 4 ． ___________ 1 5 ． _______________ 三 、解答题（共7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 6 ． （ 8分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17.（8分） 18. (8分) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19.（9分） 20.（10分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 3 ） 21 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ． （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 11111 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 1 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 注 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 % 舒 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 O 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 1234 5 5 45 破。 5. 正确填涂 7 789 6789 5678 123456789 6789 0123456789 123456789 1234 5678q 0123456789 缺考标记 89 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A]B][C]D] 5[A][B][C][D] 9[A]B][C][D] 2[A1[B1[C1D1 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 救 级 3A][B][C]D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题， 每题3分，共15分. 11 12 13 14. ! 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(8分) 妇 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 17.(8分) 18.(8分) 2 D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(9分) N E N P B B 20.（10分) (1) (2) 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (3) 图3 21.(10分) 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 4 1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) D ① M E ③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 1. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1. 考试范围：八年级上册第十三章 三角形 第十四章 全等三角形 1. 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 2．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 3．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 4．如图，已知 的周长是，分别平分和，于点，且，的面积是（       ） A．42 B．21 C．84 D．28 5．如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 8．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 9．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 1. 填空题：本题共5小题，每题3分，共15分． 11．在中，为的平分线，为边上的高．若，，则____________度． 12．如图，C，F为线段上两点，，，则添加一个条件：①；②；③；④．能用“”判定的是___________．（填序号） 13．如图，在中，与的平分线交于点P，若，则______． 14．已知的周长为16，，当的值为_____时，是等腰三角形． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，，，，，轴于点，则点的坐标是_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16（8分）．如图，在和中，，，点在的边上，． (1)请判断和是否全等，若全等，请说明理由；若不全等，不必说明理由； (2)若，请求出的度数． 17．（8分）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 18（8分）．推理论证 已知：如图，，，分别平分和． 求证： (1)； (2)． 19（9分）．如图，已知直线，点为直线上一定点，点为直线上的一个动点，连接．在直线、之间找点使，，设，． (1)当时，求的度数． (2)与有怎样的数量关系？并给出证明． (3)设的角平分线与交于点，当时，求． 20（10分）．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 证明：， ， （    ）， （    ）， （    ） 即三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用1】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为． 【迁移应用2】 (3)如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 21（10分）．【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠而得到， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识迁移】在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图2． (1)若，，求的面积； (2)求证：平分； (3)【拓展应用】在图2的基础上，过点P作，如图3．若，，，求的长度． 22（10分）．阅读材料： 如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是______； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．则的最小值是______． 23（12分）．学习了三角形全等的判定方法后可知，有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，那么什么时候全等什么时候不全等呢？ 小聪将命题用符号语言表示为：在和中，，，．并思考要想解决问题，应把分为“直角、锐角、钝角”三种情况进行探究： (1)第一种情况：当是直角时，在和中，，，，根据“”定理，可以知道． (2)第二种情况：当是锐角时，如图，， ，在射线上有点D，使，在答题卡的图中画出符合条件的点D，根据作图可以判断和的关系（     ） A、不全等    B、不一定全等    C、全等 (3)第三种情况：当是钝角时，在和中，，，，求证：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 全解全析 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的性质． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性， 故选：． 2．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系定理，确定第三边的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据三角形的三边关系可得： ， 即 ，选项中只有符合该范围． 3．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长度求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若为腰长，为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 4．如图，已知 的周长是，分别平分和，于点，且，的面积是（       ） A．42 B．21 C．84 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，连接，过点作于点，可得，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵分别平分和，于点，且， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故选：A ． 5．如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质求出，再利用即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①根据得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可对结论①进行判断； ②根据与相交于点得，再根据和全等得，则，由此可对结论②进行判断； ③根据和全等得，由此可对结论③进行判断； ④根据和全等得，，由此可依据“”判定和全等，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①， ， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； ②与相交于点， ， ， ， ， 故结论②不正确； ③， ， 故结论③正确； ④， ，， 在和中， ， ． 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故选：A． 7．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 8．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【答案】A 【详解】解：对于结论①：，，且两个三角形周长相等，即， ， ，故①正确； 对于结论②：已知条件为，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误； 综上，①正确，②错误． 9．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分． 11．在中，为的平分线，为边上的高．若，，则____________度． 【答案】20或60 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，分两种情况：当点E在点D左边时；当点E在点D右边时；分别画出图形求解即可． 【详解】解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， 分以下两种情况： 如图，当点E在点D左边时， ∵， ∴， ∵是平分线， ∴， ∴； 如图，当点E在点D右边时， ∵， ∴， ∵是平分线， ∴， ∴． 故答案为：20或60． 12．如图，C，F为线段上两点，，，则添加一个条件：①；②；③；④．能用“”判定的是___________．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ①∵，，∴，符合题意； ②∵，，，∴，不符合题意； ③∵，∴，∴，∵，∴，符合题意； ④∵，，∴，符合题意． 故答案为：①③④． 13．如图，在中，与的平分线交于点P，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由题意得到，再结合角平分线的定义，得出，最后利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：，， ， 与的平分线交于点P， ，， ， 故答案为：． 14．已知的周长为16，，当的值为_____时，是等腰三角形． 【答案】4 或 5 或 6 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，当时，当时，当时，再结合三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：的边，周长为16， 当时，则 符合三角形的三边关系， 当时，则 符合三角形的三边关系， 当时，符合三角形的三边关系， 所以为6或5或4． 故答案为：4 或 5 或 6． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，，，，，轴于点，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16．（8分）如图，在和中，，，点在的边上，． (1)请判断和是否全等，若全等，请说明理由；若不全等，不必说明理由； (2)若，请求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握三角形全等的证明技巧及性质的应用是解题关键． （1）首先，根据已知条件得到，进而得到，然后，根据“角边角”证得即可； （2）根据可得，进而得出，然后，根据三角形的内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，设，相交于点， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴； （2） 解：由（1）知， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴的度数为． 17．（8分）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 【答案】(1)一，全等三角形的对应角相等 (2) 证明：在和中， ∵，，        ∴                ∴，                  ∴平分． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． （1）根据全等三角形的性质和判定定理求解即可； （2）首先证明出，得到，即可得到平分． 【详解】（1）小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等； （2）略 18．（8分）推理论证 已知：如图，，，分别平分和． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)平分， ， 又， ， ； (2)，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ． 【分析】（1）根据角平分线得出相等的角，利用内错角相等得出平行线； （2）根据角平分线得出角之间的数量关系，根据平行线得出同旁内角互补，然后利用三角形内角和定理得出直角． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略． 19（9分）如图，已知直线，点为直线上一定点，点为直线上的一个动点，连接．在直线、之间找点使，，设，． (1)当时，求的度数． (2)与有怎样的数量关系？并给出证明． (3)设的角平分线与交于点，当时，求． 【答案】(1) (2) 证明：过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据平行线性质和三角形内角和定理计算即可． （2）根据平行线性质计算即可． （3）根据平行线性质和角平分线性质计算即可． 【详解】（1）解：过点作，如图， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴， 如图， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴． 20．（10分）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 证明：， ， （    ）， （    ）， （    ） 即三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用1】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为． 【迁移应用2】 (3)如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；平角的定义；；等量代换 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质及平角等于180度证明即可； （2）作，可得，从而，然后根据求解即可； （3）过点作，证明，可得，，，结合，，整理可得答案． 【详解】（1）略； （2）解：如图，作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 21．（10分）【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠而得到， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识迁移】在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图2． (1)若，，求的面积； (2)求证：平分； (3)【拓展应用】在图2的基础上，过点P作，如图3．若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点P分别作、、，垂足分别为点F、H、M， 由折叠知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，解题的关键是： （1）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （2）过点P分别作、、，垂足分别为点F、H、M， 根据角平分线的性质得出，，得出，根据角平分线的判定得出答案即可； （3）过点P分别作、，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴，， ∴ ； （2）略 （3）解：如图，过点P分别作、，垂足分别为点G、M，连接 由折叠知，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 22．（10分）阅读材料： 如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是______； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．则的最小值是______． 【答案】(1) 证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； (2)①6，② 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）①由题意知，是等边的对称轴，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； ②由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：6； ②∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 23．（12分）学习了三角形全等的判定方法后可知，有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，那么什么时候全等什么时候不全等呢？ 小聪将命题用符号语言表示为：在和中，，，．并思考要想解决问题，应把分为“直角、锐角、钝角”三种情况进行探究： (1)第一种情况：当是直角时，在和中，，，，根据“”定理，可以知道． (2)第二种情况：当是锐角时，如图，， ，在射线上有点D，使，在答题卡的图中画出符合条件的点D，根据作图可以判断和的关系（     ） A、不全等    B、不一定全等    C、全等 (3)第三种情况：当是钝角时，在和中，，，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)B (3)见解析 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法解决问题即可； （2）画出图形说明不一定全等； （3）如图②，过点C作交的延长线于点G，过点F作交的延长线于点H，利用三次全等证明即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； （2）解：如图①， ，，和不全等． 故选：B； （3）证明：如图②，过点C作交的延长线于点G，过点F作交的延长线于点H， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形全等的判定方法，属于中考常考题型． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $