3.2 确定圆的条件 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“确定圆的条件”，核心讲解不在同一直线上的三点确定一个圆及三角形外心知识。以摩天轮旋转情境导入，通过“经过一点、两点、三点的圆”递进探究，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接圆的性质与确定条件。 其亮点是用情境问题链驱动学习，如摩天轮旋转引出圆的性质，三点位置分类讨论培养推理意识。结合尺规作外接圆、外心位置归纳等实例，发展几何直观与空间观念。学生能提升探究能力，教师可依托清晰流程高效教学。

3.2 确定圆的条件 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆 知道外心是三角形三边垂直平分线的交点，能判断外心的位置 游乐园里的摩天轮缓缓转动，无论转到哪个角度，它看起来都一样。小明好奇地问：“为什么摩天轮转来转去，样子完全不变呢？”爸爸说：“因为它的轮廓是一个圆，圆有一个很特别的性质——无论绕圆心旋转多少度，它都能和原来的位置完全重合。” 情境导入 问题1：圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合吗？这种性质在数学上叫作什么？ 问题2：如果把圆分成两个相等的扇形，旋转后会怎样？ 新知讲解：经过一个点和两个点的圆 经过一个已知点A： 圆心位置任意，半径即为圆心到A的距离 结论：可以画无数个圆 经过两个已知点A、B： 圆心到点A、B的距离相等 圆心在线段AB的垂直平分线上 结论：可以画无数个圆 新知讲解：经过三个点的圆 情况1：三个点在一条直线上（如图） 线段AB、BC的垂直平分线互相平行，没有交点 结论：不能画出经过三点的圆 新知探究 画一个圆，使它经过一个已知点A，这样的圆能画多少个？ A · O1 · O2 · O3 · 思考：圆心的位置可以在哪里？半径又该如何确定？ 在平面内任取一点，以这点为圆心，它到点A 的距离为半径作圆，这样的圆能作无数个． 新知讲解：等弧的概念 通过上述操作进一步发现：在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形都可以重合，这两个扇形对应的弧和弦也都重合，我们把可以重合的弧叫做等弧。如图，若∠AOB = ∠A′OB′，则弦AB = 弦A′B′，弧AB = 弧A′B′ 注意事项： 等弧必须能够完全重合（长度相等且弯曲程度相同） 在同圆或等圆中讨论等弧才有意义 等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧 新知探究 画一个圆，使它经过两个已知点A、B，这样的圆能画多少个？ 思考：圆心有什么规律吗？ · · · · B · A 经过两个已知点A，B 画圆，圆心到点A，B的距离相等，圆心在线段AB 的垂直平分线上． 无数个 新知讲解：圆心角、弧、弦的关系定理 定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等，这两个圆心角也相等 定理3：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弦相等，那么它们所对的弧相等，这两个圆心角也相等 核心结论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 新知探究 画一个圆，使它经过三个已知点A、B、C，这样的圆能画多少个？ 三个已知点A、B、C的位置有几种情况？ 当 A、B、C三点在 一条直线上时，线段 AB、BC的垂直平分线 l1、l2 互相平行，它们没有交点，不能画出经过A、B、C三点的圆． 两种 · B · A · C l1 l2 A、B、C三点在一条直线上 新知讲解：经过三个点的圆 情况2：三个点不在一条直线上（如图） 线段AB、BC的垂直平分线相交于点O 连接OA、OB、OC ∵ 点O在AB的垂直平分线上，∴ OA = OB ∵ 点O在BC的垂直平分线上，∴ OB = OC ∴ OA = OB = OC 以O为圆心、OA长为半径作圆，必经过A、B、C三点 结论：能确定一个圆 新知探究 三个已知点A、B、C的位置有几种情况？ 当A、B、C三点不在 一条直线上时，l1与l2相交于 点O，因为OA＝OB＝OC，所以 以点O为圆心，OA为半径可以 确定一个圆，这个圆经过 A、B、C三点． 两种 l1 O A B C l2 画一个圆，使它经过三个已知点A、B、C，这样的圆能画多少个？ A、B、C三点不在一条直线上 新知讲解：确定圆的条件 定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆 关键词理解： “不在同一条直线上”——三点共线时无法作圆 “确定”——有且只有一个圆 过任意三个不共线的点，能作且只能作一个圆 概念学习 C A B O 因为三角形的三个顶点不共线，所以它们可以确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆． 外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形，外心是三角形三边的垂直平分线的交点． 外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离即为外接圆的半径. 新知讲解：三角形的外接圆 因为三角形的三个顶点不共线，所以它们可以确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆。外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形，外心是三角形三边的垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等（都等于外接圆半径） 如图 ， 是 的外接圆， 是 的内接三角形。 新知讲解：外心的位置 锐角三角形：外心在三角形的内部 直角三角形：外心在斜边的中点处 钝角三角形：外心在三角形的外部 概念学习 如图，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形． C A B O 辨析：三角形的外接圆有几个？ 圆的内接三角形又有多少？ 三角形的外接圆有且只有一个，但圆的内接三角形却有无数个. 例题讲解 例1 尺规作图：如图，已知△ABC，作△ABC的外接圆． 作法： ① 分别作AB，BC的垂直平分线l1、l2， l1与l2的交点为O． ② 以点O为圆心，OA长为半径作圆． ⊙O 即为所求． l1 l2 A O B C 例题 3 尺规作图，如图，已知△ABC，作△ABC的外接圆 A B C 例题 3 ①分别作边AB、BC的垂直平分线l1、l2，l1与l2的交点为O ②连接OA(或OB、OC) ③以点O为圆心，OA为半径作圆，⨀O就是所求作的圆。 A B C l1 l2 O 新知巩固 1．通过例题中的作图我们知道，当△ABC是锐角三角形时，外心 O 在三角形的内部．当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，外心 O 在什么位置？分别作出它们的外接圆，验证你的猜想． A B C C A B ┐ A B C ●O ●O ●O 新知归纳 锐角三角形的外心在三角形的内部； 直角三角形的外心在斜边的中点处，斜边即为外接圆的直径，因 此外接圆半径等于斜边长度的一半； 钝角三角形的外心在三角形的外部，且位于钝角所对边的另一侧． 新知讲解：多边形的外接圆 思考：任意四边形都有外接圆吗？ 不一定，只有对角互补的四边形才有外接圆 如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆 这个多边形叫作圆的内接多边形 例题 4 将△ABC绕它的外心O旋转任意角度得到△DEF。 求证：点A、B、C、D、E、F在同一个圆上。 证明思路： ∵ 旋转不改变点到旋转中心的距离， ∴ OA = OB = OC = OD = OE = OF， ∴ 点A、B、C、D、E、F都在以点O为圆心、OA长为半径的同一个圆上。 新知巩固 1．将△ABC绕它的外心 O 旋转任意角度得到△DEF． 求证：点A，B，C，D，E，F在同个圆上． 解：∵ △ABC的外心为点O， ∴ OA＝OB＝OC＝⊙O的半径． 由旋转，得 OD＝OA，OE＝OB，OF＝OC， ∴ OD＝OE＝OF＝⊙O的半径． ∴ 点A，B，C，D，E，F在同个圆上． 新知巩固 2．已知AB＝4，作半径为 3 的圆，使它经过 A，B两点，这样的圆能作多少个？如果半径为2呢？ 解：这样的圆能画2个． 如图， ① 作AB的垂直平分线 l，再以点 A为圆心，3为半径作圆交 l 于 O1 和 O2； ② 分别以 O1 和 O2为圆心，以3为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求． l ● A ● B ● O1 ● O2 如果半径为2，这样的圆只能画1个. “确定一个圆”的前提是“不在同一条直线上的三个点”，三点共线时不能作圆 外心是三角形三边垂直平分线的交点，不是角平分线的交点（与内心区分） 锐角三角形的外心在内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在外部 作外接圆时，作两条垂直平分线即可确定圆心，第三条边上的垂直平分线也过同一点 外心到三角形三个顶点的距离相等，这是检验作图是否正确的重要依据 易错提醒 课堂小结 这节课，你的收获是--- 课堂小结 3.2 确定圆的条件 核心定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 三角形外接圆与外心：外心是三边中垂线交点 三类三角形外心位置规律 核心作图方法：利用垂直平分线找圆心 残圆找圆心→圆弧取三点，作中垂线找交点定圆心 谢谢大家聆听 $