3.3 圆的对称性（第1课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

3.3 圆的对称性（1） 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 理解圆的中心对称性，掌握 “圆是中心对称图形，圆心是对称中心”． 掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算． 3 理解圆心角度数与所对弧度数的相等关系，能解释尺规作等角的原理． 问题引入 把车轮的轮廓看作是一个圆，车轮绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，其轮廓都与初始位置的圆重合．这说明圆有什么特殊性质？ 圆特有的性质→旋转不变性 数学活动 在两张透明纸上分别画一个半径相等的圆，并将它们分割成圆心角相等的扇形． 将两张透明纸叠合，绕公共圆心转动其中一张透明纸．你有什么发现？ 两个圆始终保持重合． 特别的，当旋转角为180° 时，旋转前后的图形也保 持重合. 新知归纳 根据中心对称图形的定义，我们得到如下结论： 圆是中心对称图形， 圆心是它的对称中心． 特别的，圆的直径的两个端点关于圆心中心对称． 操作思考 O A B A' B' (A') (B') 点A与点A'重合； 点B与点B'重合． AB与A'B'重合； 与 重合． 在⊙O中，当圆心角∠AOB与∠A'OB'相等时，它们所对的和相等吗？所对的弦AB和A'B'相等吗？ 操作思考 在⊙O和⊙O'中，当圆心角∠AOB与∠A'O'B'相等时，它们所对的和相等吗？所对的弦AB和A'B'相等吗？ ● A B O ● A' B' O' 当OA与O′A′重合时， ∵∠AOB＝∠A′O′B′， ∴ OB与O′B′重合. 又∵OA＝O′A′，OB＝O′B′， ∴点A与点A′重合，点B与点B′重合． ∴ 重合，AB与A′B′重合． 获取新知 在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形都可以重合， 这两个扇形对应的弧和弦也都重合，我们把可以重合 的弧叫作等弧(equal arc)． 如图，如果∠AOB＝∠A'OB'，那么AB＝A'B′，＝． O A B A' B' 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 前提条件 前提条件 讨论交流 　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？ O A B A' B' (A') (B') ＝ 点A与点A'重合； 点B与点B'重合. ABA'B' ∠AOB∠A'OB' ABA'B' 点A与点A'重合； 点B与点B'重合. ＝ ∠AOB∠A'OB' 新知归纳 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知一求二 圆心角、弧、弦的相等关系 前提条件 新知归纳 我们可以用图表示同圆或等圆中圆心角与所对弧、弦的关系： 圆心角相等 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 新知归纳 O A B A' B' AB＝A′B′ ＝ ∠AOB ＝∠ A′O′B′ ＝ AB＝A′B′ ∠AOB ＝∠A′O′B′ AB＝A′B′ ∠AOB＝∠ A′O′B′ ＝ ● ● A B A' B' O O' 概念学习 O n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角． 　　我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角． 1°的圆心角 1°的弧 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份．我们把1°的圆心角所对的弧叫作1°的弧． n°的圆心角 n°的弧 新知归纳 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． ①圆心角的度数与圆的半径大小无关,圆弧的度数也与圆的半径大小半径无关； ②圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,并不是角和弧相等,它们是两类不同的图形； ∠AOB＝ ③度数相等的角是等角，但度数相等的弧不一定是等弧，等弧的特征是能够互 相重合（在同圆或等圆中）． 讨论交流 回顾用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程．你能利用圆的性质说明这样作图的道理吗？ O A B C D O′ A′ B′ C′ D′ 解：由作图过程，得 OC＝OD＝O′C′＝O′D′, ∴ ⊙O与⊙O′是等圆， 又∵ CD＝C′D′， ∴ ∠COD＝∠C′O′D′， 即 ∠AOB＝∠A′O′B′，作图成立． 例题讲解 例1 如图，等边三角形ABC的顶点都在⊙O 上，OD⊥AB，垂足为D， 连接OA，OB． 求证：∠AOD＝∠BOD＝60°． 证明：如图，连接OC． ∵ △ABC是等边三角形， ∴ AB＝BC＝AC ． ∴ ∠AOB＝∠AOC＝∠BOC． (同圆中,相等的弦 所对的圆心角相等)． ∴ ∠AOB＝×360°＝120°． ∵ OA＝OB，OD⊥AB， ∴ OD平分∠AOB， ∴ ∠AOD＝∠BOD＝60°． O A B C D B A 探究交流 O 解： 作圆的任意一条直径 AB，以 A 为圆心，⊙O的半径为半径画弧交⊙O于C、D，连接BC、CD、BD． △BCD即为这个圆的内接正三角形． C D · 在一个给定的圆中，能否用直尺和圆规作出这个圆的内接正三角形？ 新知巩固 1．如图，在⊙O中，，∠AOB＝50°，求∠COD的度数． 解：在⊙O中， ∵ ， ∴ ＝， 即 ． ∴ ∠COD＝∠AOB． ∵∠AOB＝50°， ∴ ∠COD＝50°． A B C D O 新知巩固 2．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，求∠B的度数． O A B C 解：在⊙O中 ∵ ， ∴ AB＝AC， ∴ ∠ACB＝∠ABC． ∵ ∠A＝40°， ∴ ∠ACB＝∠ABC＝(180°－40°)＝70°． 新知巩固 3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，且 ＝．求证：AC＝BD． O A B C D 解：∵ ， ∴ ＋＝＋， 即 ＝． ∴ AC＝BD． 新知巩固 4．如图⊙O中，在用直尺和圆规将二等分． 解：如图，作弦AB的垂直平分线，交⊙O 于点C，点C 即为的二等分点． B ● Ａ ● C ● 能力提升 1．如图，OA、OB、OC是⊙O的半径，且，D、E分别是OA、OB的中点．CD与CE相等吗？为什么？ O A B C D E 解：CD＝CE，理由如下： 证明：∵ ，∴ ∠AOC＝∠BOC， ∵ 点D、E分别是OA、OB的中点， ∴ OD＝OA，OE＝OB， ∵ OA＝OB，∴ OD＝OE， 在△OCD和△OCE中，， ∴ △OCD≌△OCE(SAS)，∴ CD＝CE． 能力提升 2．如图,AB、CD是⊙O的直径,弦CE∥AB,为40°,求∠AOC的度数． B C D A O E 证明：连接， ∵ 为40°， ∴ ∠COE＝40°， ∵ OC＝OE， ∴ ∠OCE＝＝70°， ∵ CE∥AB， ∴ ∠AOC＝∠OCE＝70°. 能力提升 B C D A O E 变式：如图，在中，是直径，弦CE∥AB且交圆于， 求证：． 证明：连接， ∵ CE∥AB， ∴ ∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E， ∵ OC＝OE， ∴ ∠C＝∠E， ∴ ∠DOB＝∠BOE， ∴ ． 课堂小结 3.3 圆的对称性（1） 圆的对称性：中心对称图形，圆心为对称中心 核心定理：同圆 / 等圆中，圆心角、弧、弦知一推二 数量关系：圆心角度数＝所对弧度数 应用：计算证明、尺规等分圆弧、作等角原理 感谢聆听！ $