专题04 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形倒角四大模型，通过模型化总结与递进式训练，系统构建角平分线与高线夹角的推理体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双内角角平分线|3题（含n等分线拓展）|∠P=90°+1/2∠A等3个核心公式|从三角形内角和推导角平分线夹角，延伸至凸多边形| |一内一外双角平分线|3题（含累计平分线）|∠P=1/2∠A及n次平分公式|外角性质与角平分线结合，构建递推关系| |双外角角平分线|3题（含旁心模型）|∠P=90°-1/2∠A及旁心性质|外角和定理应用，关联内角平分线形成完整体系| |高线与角平分线|3题（含延长线变式）|∠DAE=1/2|∠B-∠C|等2个模型|直角三角形性质与角平分线结合，拓展图形变换情境|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型（难） 题型2三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型（难） 题型3三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型（难） 题型4三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1. 【答案】(1)解：：OB,OC平分∠ABC和∠ACB,∠ABC=60°，∠ACB=40°， :20c-4Bc-x0=30<0ca=号4c8-x40-20. ∴.在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB =180°-30°-20° =130°， ∴∠B0C的度数为130°： (2)解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A, :OB,OC平分∠ABC和∠ACB, &208c=48c,20c8=54CB, ∴在△OBC中，∠0=180°-∠0BC-∠OCB =1s0-48c-4ca (ABCACB) -180°-2080-20 1/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =180°-90°+5∠A 2. 【答案】(1)解：∠BDC=120°， :.∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-120°=60°， :∠ABD=30°，∠ACD=40°， .∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=30°+40°+60°=130°， .∠ABC+∠ACB=130°. .∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-130°=50°： (2)解：①：∠BDC=110°， :.∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-110°=70°， :BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB, .∠ABC=2LDBC,∠ACB=2LDCB. ·∠ABC+∠ACB=2(LDBC+∠DCB)=140°， .∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-140°=40°： ②：∠BDC=a, ·.∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-a, :BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB, .∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠DCB, :∠ABC+∠ACB=2(LDBC+∠DCB)=2180°-a), 、.∠A=180°-（∠ABC+∠4CB)=180°-2180°-a)=2a-180° 3. 【答案】（解：：当n=2时，∠G,8C+∠GCB=(ABC+∠4CB8)80-∠A), :∠BGC=180°-(2GBC+∠GCB)-=180°-80-∠A=90+7A; (2解：当n=3时，∠G,sc+∠G,CB-∠4BC+∠4Ca)-80-∠A, ∠BG.C-180r-号乙ABc+∠cB=-180-30-L周=60+号A, 2/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 故答案为：60°+54： (解：由n=2n=3可知，∠BG,C-10”∠4 故答案为： 180°+n-1∠A 一十 nn ◆题型2三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 4. 【答案】（山解：DA=25,理由见(2）： 故答案为：25° 1 (2)解：∠D=7∠A,证明如下： 2 如图， D 5 BE C E:∠5=∠6 ∠1+∠A=∠3+∠D. 1=∠2，∠3=∠4， ∴.∠2+∠A=∠4+∠D. 又：∠4=∠2+∠D, ∴.∠2+∠A=∠2+∠D+∠D, 1 2D=2A: 1 (3)解：由(2)结论可知：∠G=2D, 又D-4 3/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠G=∠A 4 5. 【答案】解：(1)①：P是△ABC内角∠ABC和外角∠ACD的平分线的交点， :∠Psc-ABc,∠Pn=AcD, ,∠PCD是△PBC外角，∠ACD是△ABC外角， P=PCD-∠PsC-(ACD-∠AC)=A=30. 2 ②'，P是△ABC内角∠ABC和外角∠ACD的平分线的交点， ∴2PBc-ABc,∠ncD-ACD, :∠PCD是△PBC外角，∠ACD是△ABC外角， &P=∠PD-∠PBc=4CD-∠Bc)=A, 2∠P=1∠A n 证明：：∠PCD是△PBC外角，∠ACD是△ABC外角， A∠P=∠PCD-∠PBC=L∠ACD-I∠ABC=(∠ACD-∠ABC)=∠A, n n n (3):P是△ABC内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点， 六由()②得∠BPC=)A=18: 2 :P是△CDE内角∠CDE和外角∠ACE的平分线的交点， ÷由1)②得∠DPC=)∠E=20°， 2 .∠BPD=∠BPC+∠DPC=38° 故答案为：38. 6. 【答案】(1)解：∠A=40°，∠B=60°， .∠ACB=180°-40°-60°=80°， ,CP平分∠ACB, :∠PCB=∠PCA=)∠ACB=)x80=40°， 2 2 4120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DE∥BC, ∴∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠PCB=40°， DP平分∠ADE, :∠PDG=}∠ADE=x60=30°， 2 .∠DPC=180°-∠PDG-∠PGD=180°-30°-40°=110°， ,∠ACB=80°， ,∠ACF=180°-80°=100°， :CQ平分∠ACF, :∠4C0=)∠4CF=x10°=50， 2 2 .∠PC0=∠PCA+∠AC0=40°+50°=90°， ∴∠0=∠DPG-∠PC0=110°-90°=20°， ∴.综上所述，∠DPC=110°，∠Q=20°： 故答案为：110；20： (2)解：∠A=a, .∠B+∠ACB=180°-a, ,CP平分∠ACB, 1 &∠PCB=∠PCM=2∠ACB, ,DE∥BC, 六LADE=LB' ∠PGD=∠PcB-ACB, DP平分∠ADE, :∠PDG=)∠ADE=)∠B. 21 2 .∠DPC=180°-（∠PDG+∠PGD), =180°-（∠PDG+∠PGD) =180-G4B+4c8 =180-(B+∠CB) 5/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 180°7180°-Q 1 =90°+2 CQ平分∠ACF, ACQ-ACF :∠Pc0=∠PCA+∠AC0=)∠ACB+;∠ACF=5×180°=90. 2 :∠0=∠DPG-∠PC0=90+&-90° 1 2, ∴综上所述，∠DPC=90°+a,∠Q=5a 21 ◆题型3三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 7. 【答案】(1)解：：∠A=80°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°， :BG、CG分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线， 2o8c-i8c,∠ccg-4c. :∠GBC+∠GCB=)∠ABC+;∠ACB=50,. 2 .∠BGC=180°-∠GBC-∠GCB=130°： (2)解：90-4，证明见解析： ,∠DBC=180°-∠ABC,∠ECB=180°-∠ACB 、∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB) :∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ÷.∠DBC+∠ECB=360°-(180°-∠A)=180°+∠A, :两外角∠DBC、∠ECB的平分线交于点F, 2cF-D8c,∠BcF-acE, 6120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBF+∠BCF=;∠DBC+5∠BCE=90°+5∠A, 2 &∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=90°)A 8. 【答案】(1)解：：∠A=100°， .∠ABC+∠ACB=180°-100°=80° :BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB, .ZCBP-ARC CP-LACD 2 :∠CBP+∠BcP-ABC+4CB=40, :∠BPC=180°-（∠CBP+∠BCP）=140°： 故答案为：140° ②：N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP,NC交于点M :∠4CM=∠DCM=∠BCN=∠rCN-ACD=BCr, :2AMcD=∠M+∠caM=M+ABc,NcD-4CD=4+∠c)-A+A8c, 即∠A=2∠M, 故答案为：∠A=2∠M (2)解：∠BPC+∠N=180°：理由如下： :BP、BN分别平分∠ABC、∠CBE, ∠CBP=)∠ABC,∠CBN=)∠CBE, 2 CPCNCE(CCBE)- ×180°=90°， 即∠PBN=90°， 同理得：∠PCW=90°， .∠BPC+∠N=360°-∠PBN-∠PCN=180°： (3)解：，CN为△ABC的外角∠FCB的角平分线， ∴CM是△ABC的外角∠ACD的平分线， 7/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACD=2∠MCD, ,BM平分∠ABC, ·.∠ABC=2∠MBC, ,∠MCD=∠MBC+∠M, .2∠MCD=2∠MBC+2∠M,即∠ACD=∠ABC+2LM, 又，∠ACD=∠ABC+∠A, ∴.∠A=2∠M, 根据解析(2)可知：∠MBN=90°， .∠M+∠N=90°， 如果△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： 若∠MBN=3∠M=90°，则∠M=30°， ∴.∠A=2∠M=60°： 若∠NBM=3∠N=90°，则∠N=30°， ∴∠M=60° .∠A=2∠M=120°： 若∠N=3∠M,则∠M=22.5°， ∠A=45°： 若∠M=3∠N,则∠M=67.5°， .∠A=135°： 综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135° 9. 【答案】(1)解：∠A=80° ∴∠ABC+∠ACB=100°， ,点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∠BPC=180-(2ABc+ZACB)=180-X100=130; (2):外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q, ∴∠QBC+∠0CB=(2MBC+∠NCB). 260-∠A6c-∠4C8). 8/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2180+∠A). 1 =90°+5∠A, :∠0=180°- ∠A=a, 1 ∠Q=90° 2: (3)延长BC至F, E P B 为 的外角 的角平分线， M 图③ .CQ△ABC ∠NCB ∴.CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， .∠ACF=2LECF, :BE平分∠ABC, ·.∠ABC=2∠EBC, :∠ECF=∠EBC+∠E, ∴.2∠ECF=2∠EBC+2∠E, 即∠ACF=∠ABC+2∠E, 又∠ACF=∠ABC+∠A, ∠A=2∠E'即∠E=2A: :∠EBQ=LEBC+∠CBQ, -∠ABC+MBc, =ABc+∠4+∠4C）=90, 如果△BE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： 9/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①∠EB0=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°： ②∠EB0=2∠0=90°，则∠0=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°； @∠Q=2E,则0-A=4,解得∠4=60： 解得∠A=120 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°. ◆题型4三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 10. 【答案】(1)证明：在△ABC中，∠BAC=180°-（∠B+∠C), :AE是∠ABC的平分线， ∠EAC= 2 ZBAC=90°2B+zC) :AD是△ABC的高， .∠ADC=90°， 在Rt△ACD中，∠CAD=90°-∠C, ∠D1E=∠E1C-∠CD=90-7(∠B+∠C)-(90°-∠C)=(<C-∠B): (2)解： ∠BFD与∠C,∠B之间的等量关系是：∠EFD-(<C-∠B),理由如下 过点A作AH⊥BC于点H,如图2所示： B EDH C 图2 由①)可知： ∠EAH=(<C-∠B), FD⊥BC于点D,AH⊥BC于点H, .FDI‖AH, .∠EFD=∠EAH, 10/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EFD=(<C-∠B8) (③解：∠EFD与∠C∠B之间的等量关系是：∠EFD-<C-∠B),理由如下 过点A作AK⊥BC于点K,如图3所示： D B EK C 图3 0可知：∠E4K=(<C-∠8)， ~FD⊥BC于点D,AK⊥BC于点K, .FDIAK, ∴.∠EFD=∠EAK, <0-<c- 11. 【答案】(1)如图1，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°， :AD平分∠BAC, ∠BAD=2∠BAC=408 AE⊥BC, ∠AEB=90°， ∴∠BAE=90°-∠B=55°， ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=55°-40°=15° (2)如图2，作AH⊥BC于点H,由(1)可得∠DAH=15°， FE⊥BC, 、AH∥EF, ∴.∠DFE=∠DAH=15° (3)如图3，作AH1BC于点H,由(1)可得∠DAH=15°， 11/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,FE⊥BC, ∴AH∥EF, ∴.∠DFE=∠DAH=15° D HE C B EDH 图1 图2 FV图3 12 【答案】(1)解：∠A=70°，∠B=40°， ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=70°， :CE平分∠ACB, ∠ACE= 2∠4CB=35, :CD⊥AB,∠A=70°， ∴.∠ACD=90°-∠A=20°， .∠DCE=∠ACE-∠ACD=15°， 故答案为：15°： (2解：∠DCE=A-∠B),里由如下： 如图1， ADE B 图1 :∠ACB+∠B+∠A=180°， ∠ACB=180°-∠B-∠A, :CE平分∠BCA, ÷∠ACE=∠BCA=I80°-∠A-∠B), CD⊥BA, 12/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ADC=90°， ∴.∠ACD=90°-∠A, ∠DCE=∠ACE-∠ACD I80°-∠A-∠B)-(90°-LA 48 21 --∠8， (3)解：如图2，∠A=a,∠B=B. D E B 图2F :∠ACB+∠B+∠A=180°， .∠ACB=180°-∠B-∠A=180°-B-a, CE平分∠ACB, ∠AcE-4cB-080-A-a). 2D5c=4+∠4cE=a+08w-B-a）-0+0. DF⊥AB, .∠FDE=90° .or-pec-F-) 即∠DFE的度数为(a-B), 故答案为：a-), 13/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 二、填空题 6.42°142度 7.5°15度 8.75° 1 9. 90+ 45° 10.205 三、解答题 11. 【答案】(1)解：，AE是边BC上的高， ∴.∠AEB=90° .∠BAE=180°-∠B-∠AEB=60°， ∠DAE=20°， ∴.∠BAD=∠BAE-∠DAE=40° AD是∠BAC的平分线， ∠BAC=2∠BAD=80°， ∴.∠C=180°-∠B-∠BAC=70° (2)∠C-∠B=2∠F,理由如下： ,AE是边BC上的高， 14/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE⊥BC,∠AEB=90」 .∠BAE=180°-∠B-∠AEB=90°-∠B, ∴.∠BAD=∠BAE-∠DAE=90°-∠B-∠DAE, ,AD是∠ABC的平分线， ·.∠BAC=2LBAD=180°-2LB-2∠DAE, ∴.∠C=180°-∠B-∠BAC=∠B+2LDAE, .FG⊥BC,AE⊥BC, .FG∥AE, ∴∠F=∠DAE, .∠C=∠B+2∠F,即∠C-∠B=2∠F 12. 【答案】(I)解：·AE平分∠BAC,BE平分∠CBD, ∴∠BAC=2∠BAE,∠CBD=2∠DBE. ,∠DBE=∠E+∠BAE, .2∠DBE=2∠E+2∠BAE. ∴.∠CBD=2∠E+∠BAC, :∠CBD=∠C+∠BAC」 ∴.2∠E+∠BAC=∠C+∠BAC E-C=45度 (2)解：AE平分∠BAC,BE平分∠CBD, ∴.∠BAC=2∠BAE,∠CBD=2∠DBE ∠DBE=∠E+∠BAE, .2∠DBE=2∠E+2∠BAE. ∴.∠CBD=2∠E+∠BAC, :∠CBD=∠C+∠BAC, ∴.2∠E+∠BAC=∠C+∠BAC :∠E=∠C=m. 1 2 2 (3解：∠CME=4∠B1C,∠CBE=ZCBD 15/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE= 4<BAC,∠DBE= 3 ∠CBD ∠DBE=∠E+∠BAE, .3 ∠CBD=LE+ ∠BAC」 4 :∠CBD=4∠E+∠BMC, 3 :∠CBD=∠C+∠BAC, 4 …3 ∠E+∠BAC=LC+∠BAC B=∠C,即∠E=∠C=2m :.3 4 4 13 【答案】(1)解：：∠ABC=80°，∠ACB=50°，点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， PBC-ABC-40 nCP-LACB-25. .∠BCP+∠P+∠PBC=180°， .∠P=180-∠BCP-∠PBC=180°-40°-25°=115°. (2)解：∠A=a, ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-a, ∠MBC+∠NCB=360°-（∠ABC+∠ACB)=360°-(180°-Q)=180°+&， ①：∠ABC与∠ACB的角平分线BP与CP相交于点P, ∠PBc=ABC,∠Bn-ACB, ∠Psc+Bcp4c+∠4c8)-=0s0-a)-=0-a, ∠BCP+∠P+∠PBC=180°， :.∠P=180°-（∠BCP+∠PBC)=180°-9 ②：∠MBC与∠NCB的角平分线相交于点O, 0c-Nc,∠Bc0-cB. 20sc+∠Bc0-MBc+∠Nca)-l80e+a）-=0+5a. 2 16120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠QBC+∠Q+∠QCB-180° 、.∠0=180°-（∠0BC+∠QCB)=180°- ,1） 90°+20=90° (3)解：如图：延长BC至D, R P D N ,CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴.∠BCQ=∠NCQ. .∠BCQ=∠DCR,∠NCQ=∠ACR, .∠ACR=∠DCR ∴.CR是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴.∠ACD=2∠RCD, BR平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠RBC, .∠RCD=∠RBC+∠R, ∴.2∠RCD=2∠RBC+2∠R,即∠ACD=∠ABC+2∠R, 又：∠ACD=∠ABC+∠A, 六A=2∠R即∠R=A, 2 由2)可蜘0=0-4 :在△BQR中，除∠RB0外，若一个内角是另一个内角的3倍， ①当∠0=3∠R时，印0-4=3x4,解得：∠4=45： 2 ②当2R=320时，即2A=3x90-4, 解得：∠A=135o 综上所述，∠A的度数是45°或135° 14. 17/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)解：：∠AOB=90°，∠BAO=40°， .∠AB0=180°-∠AOB-∠BA0=180°-90°-40°=50°， :BC平分∠ABO 48c-<A80=25 (2)∠AD0=45°+∠BCE,证明如下： :BC平分∠ABO, LLABO, :.LABC=∠OBC= CE∥OB, :.∠BCE=∠OBC=∠ABO】 :AC平分∠BAO, A∠BAD=∠DA0=)∠BA0, 2 ∠AOB=90°， ∴.∠BA0=180°-∠A0B-∠AB0=90°-∠AB0, ∴.∠ADO=∠ABO+∠BAD =∠ABO+5∠BA0 =∠AB0+(90°-∠AB0y E45°+5∠AB0 =45°+∠BCE: (3)解：如下图， D C y K 0 ∠AOB=90°， ∴.∠BOK=180°-∠AOB=90° 18/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :ON平分∠BOK, :∠BON=)∠B0K=45°， AM⊥AN, .∠MAN=90° :∠M>∠N,且∠M+∠N=180°-∠MAW=90°， .∠N<∠M<∠MAN, 当∠MHN=3∠N时，为∠N-写MN=30, .∠AD0=∠N+∠BON=30°+45°=75°， :.∠DAO=180°-∠AD0-∠AOB=15° .∠BAO=2LDAO=30°： 当∠M=3∠N时，则∠M+∠N=3∠N+∠N=90°， .∠N=22.5° .∠AD0=∠N+∠B0N=22.5°+45°=67.5°， .∠DAO=180°-∠AD0-∠AOB=22.5 .∠BAO=2∠DAO=45°： 当∠MMN=3ZM时，则∠M-写AN=30, N=90°-∠M=60°， .∠N>∠M,不合题意，舍去. 综上所述，∠BA0的度数为30°或45° 15. 【答案】(1)解：如图①，：BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ZABP=∠CBP∠ABC,∠ACP=∠BCP=ZACB 2 .:∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°， ∠P=180°-（∠CBP+∠BCP)=180°-（∠ABC+∠ACB)=I30: 如图②，：BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD, ∠CBM=∠4Bw-Ac∠DcM=∠4CM-4D, .∠ACD=∠A+∠ABC,∠DCM=∠M+∠CBM, 19120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2LDCM=∠ACD=∠A+2∠CBM=2(∠M+LCBM), 整理得，∠A=2∠M; (2)解：：BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB, :∠CN=UBBN-<CBE,∠BCN=rCN-BCF. 2 .∠ABC+∠ACB=180°-∠A, .∠CBE+∠BCF=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB)=180°+∠A, ∠N=180-(<CBN+∠BCN)=I80-(<CBE+∠Bcr)=0-A, A∠N=90-}∠A, 2 (a)解：由冠意，∠N8M=∠CBN+Cp-4CE+4Bc<CE+∠A8C)-9p. ∠N=0°-A,∠A=2N 2 ∴当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①∠NBM=2∠M,②∠NBM=2∠N,③ ∠M-2∠W,④∠N=2∠M,四种情况求解： ①当∠NBM=2∠M时，∠A=2∠M=∠NBM=90°： ②当∠NBM=2∠N时，2∠N=90°，则∠A=2(90°-∠N)=90°； 国当2M-2ay时.号4=20-4解得，4-r ④当N=2∠M时，90- A=∠A,解得，∠A=60°： 综上所述，∠A的度数为60°或90°或120° 20120西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型（难） 题型2三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型（难） 题型3三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型（难） 题型4三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 模型总结： 1)两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 ∠P=0+∠A 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P;结论： ∠PBC=L∠ABC∠PCB=L∠ACB 2 证明：，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P,, 1 1 2 ∴.∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°- (∠ABC+∠4CB)=180.2(180-∠A0-0+2 ∠A 2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB,两条角平分线相交于点P;结论：2∠P=∠A+∠D. ∠PBc-iABc∠PcB-5Dca 2 证明：，BP、CP平分∠ABC、∠DCB, 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 2 ∴.∠P=180°.（∠PBC+∠PCB)=180°.（∠ABC+∠DCB)=180°. （360∠4∠D)_2 (∠A+∠D) 即：2∠P=∠A+∠D 3)凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,两条角平分线相交于点P;结论： 2∠P=∠A+∠B+∠E-180° ∠PCD=I∠BCD∠PDC=I∠CDE 2 2 证明：CP、DP平分∠BCD、∠CDE,∴. 1 1 ∴.∠P=180°.（∠PCD+∠PDC)=180°-2（∠BCD+∠CDE)=180°.2(540°-∠A-∠D-∠E) =∠A+∠D+∠E-90°即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180° 1.(25-26八年级上广东肇庆月考)在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O. B A (①)若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠B0C的度数： (2)求证：∠0=90°+∠4 2 2.(25-26八年级上山东滨州·月考)数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在△ABC的内部有 一点D,分别连接BD和CD.”所形成的图形展开研究. 图1 图2 (1)如图1，若∠BDC=120°，∠ABD=30°，∠ACD=40°，求∠A的度数： (2)如图2，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB ①若∠BDC=110°，求∠A的度数： ②若∠BDC=a,请直接写出∠A的度数（用含a的式子表示）. 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上安徽阜阳月考)在△ABC中，已知∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于点 Gn1,试猜想：∠BGnC与∠A的数量关系.(n≥2且n为整数) G 图1 图2 图3 (1)如图1，当n=2时，探究∠BGC与∠A的数量关系： (2)如图2，当n=3时，∠BG,C与∠A的数量关系：∠BG,C=」 (3)如图3，猜想∠BCnC与∠A的数量关系：∠BGC= (用含n的式子表示) ◆题型2三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 棋型总结： 图1 图2 1)一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P:结论： ∠P=∠A 2 ∠PBC=5ABc∠PcD-5AcD 证明：，BP、CP平分∠ABC、∠ACD, 1 ∴.∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC)-2 ∠A 2)一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线) ∠A=C P∠PBC,∠PCD P 条件：如图2， ，,∠ABC、∠ACD的平分线相交于点 的平分线相交于点， a ∠PBC∠PCD P ∠P 的平分线相交于点…以此类推；结论： 的度数是2 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠PBC= I∠ABC∠PCD=L∠ACD 证明：，BPI、CPI平分∠ABC、∠ACD,. 1 1 1 1 3 22 2 ∠P1=∠PCD-∠PBC=(∠ACD-∠ABC)=∠A=.同理：∠P=∠P ,∠P=1 4.(25-26八年级上广东东莞·月考)如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平 分线相交于点D. M B 图1 图2 (1)若∠A=50°，则∠D= (2)判断∠D与∠A的数量关系，并加以证明； (3)若∠DBC的平分线与△DBC的外角∠DCE的平分线相交于点G(如图2)，直接写出∠G与∠A的数 量关系 5.(25-26八年级上·吉林·月考)(1)【探究发现】如图①，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角 ∠ACD的平分线的交点. ①若∠A=60°，求∠P的度数： ②试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）： (2)【迁移拓展】如图②，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即 ∠P8C=∠ABC,∠PCD-∠ACD,试特想∠p与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想： n (3)【应用创新】如图③，AD、BE相交于点C,∠ABC、∠CDE、∠ACE的平分线交于点P,若∠A=36°， ∠E=40°，则∠BPD= 度、 图① 图② 图③ 6.(25-26八年级上山东临沂月考)如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC,交AC于 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点E,DP平分∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,点F在BC的延长线上， ∠ACF的平分线CQ与DP相交于点O. (1)若∠A=40°，∠B=60°，则∠DPC=°，∠Q= (2)若∠A=a,当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不 变化，求出∠DPC、∠O的度数（用a的代数式表示）. ◆题型3三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 棋型总结： B A 图1 图2 图3 1)两外角平分线的夹角模型 ∠0=90°-1 ∠A 条件：如图1，在△ABC中，BO,CO是△ABC的外角平分线；结论： ∠OBC3<EBC ∠OCB= ·∠BCF 证明：，BO、CO平分∠CBE、∠BCF, 1 1 2 ∴.∠O=180°.（∠OBC+∠OCB)=180°.（∠EBC+∠BCF)=180°.（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A) 1 1 2 =180°.2(180°+∠A)=90°+∠A 2)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D;结论：AD平分 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAD. 证明：如图3，过点D作DMLBA、DN⊥AC、DH⊥BC, BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角， ∴.DH=DM,DH=DN,∴.DM=DN,∴.AD平分∠CAD. 7.(25-26八年级上广东江门月考)如图，BG、CG分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线，两 外角∠DBC、∠ECB的平分线交于点F, G 9 (1)若∠A=80°，求∠BGC的度数. (②)若用含有∠A的式子表示∠BFC,则LBFC=一，并给予证明. 8.(25-26八年级上山东济宁·月考)如图，点P是△ABC两内角平分线的交点，N是△ABC两外角平分 线的交点，延长BP,NC交于点M B (1)①若∠A=100°，则∠BPC= ②∠A,∠M的数量关系是_； (2)请探索证明∠BPC与∠N之间的数量关系： (3)在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍时，求∠A的度数 9.(25-26八年级上浙江宁波期中)如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O 图① 图② 图③ (1)如果∠A=80°，求∠BPC的度数： (2)如图②，作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点2，己知∠A=a,求∠Q(用u表示). (3)如图③，延长线段BP、QC交于点E,当∠A= 时，△BE中存在一个内角等于另一个内角 的2倍（直接写出∠A的度数）· ◆题型4三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 模型总结： 1D条件：如图1，在△MBC中，D,E分别是△1BC的高和角平分线，结论： ∠DAE=(∠C-∠B) 2)条件：如图2，P为△MBC FD⊥BC 的角平分线AE的延长线上的一点， 于D,结论： <D1=c- ED 图1 图2 1》证明：：5平分<B4C,.∠B1C=<B1C ∠B4C=180-∠B-∠C,∠EiC-080-∠8-2C=0-号B-4c 21 EDECDACc-(-c)(C-8) 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2》证明：如图，过A作1G1BC下G ∠EAG=(LC-∠B) C于0，由(2)可知： 2 :AG⊥BC∠AGB=90°：FD⊥BC∠FDC=90°.∠AGD=∠FDC FD∥AG 乙AFD=∠EG,∠AFD-uC-∠B倒) 10.(25-26八年级上全国期中)如图1，AD,AE分别是∠ABC的高和角平分线（∠C>∠B) ED ED 图1 图2 求证：∠DE=(C-∠B), (2)如图2，若点F为AE上一点，且FD⊥BC于点D,试推导∠EFD与∠C,∠B之间的等量关系： (3)当点F在AE的延长线上时，且FD⊥BC于点D,其余条件都不变，请直接写出∠EFD与∠C,∠B之 间的等量关系 11.(25-26八年级上山西忻州月考)(1)如图1，在△ABC中，点D,E在边BC上，AD平分∠BAC, AE⊥BC,∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数； DE C 图1 (2)如图2，若把(I)中的条件“AE⊥BC”变成“点F为DA的延长线上一点，FE⊥BC”,其他条件 不变，求∠DFE的度数： F 4 DE C 图2 (3)若把(1)中的条件“AE⊥BC”变成“点F为AD的延长线上一点，FE⊥BC”,其他条件不变， 请画出相应的图形，并求出∠DFE的度数. 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(24-25八年级上河南信阳·期末)在△ABC中，CE平分∠ACB,∠A>∠B, D E 图1 图2F ()如图1，若CD⊥AB于点D,∠A=70°，∠B=40°，则∠DCE的度数为 (②)如图1，若CD⊥AB于点D,猜想并写出∠A、∠B、∠DCE之间的数量关系，并说明理由： (3)如图2，设∠A=a,∠B=P,当点F在射线EF上时（不与点E重合），且DF⊥AB于点D,直接写出 LDFE的度数为：一（用含a、B的式子表示）. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级上湖北武汉期末)如图，在△ABC中，∠A=110°，∠1=∠2，∠3=∠4，则x的值为 () B C A.135 B.140 C.145 D.150 2.(25-26八年级上浙江金华期末)如图，在△ABC中，∠C=70°，F在AB延长线上，∠CAB的角平 分线与∠CBF的角平分线交于点E,则LE的度数为() B A.30° B.35 C.40° D.45° 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26七年级下四川达州期末)如图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，F是AE延长线上一点， 且FD⊥BC于点D,∠B=28°，∠F=18°，则∠BAC=() B A.88 B.85° C.65 D.72° 4.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在四边形ABCD中，∠D+∠C=230°，∠DAB的平分线与外 角∠CBE的平分线相交于点F,则∠F的度数为() B E A.10° B.15 C.25 D.30° 5.(25-26七年级下重庆期中)如图，直线AB‖CD,E、F分别为直线AB、CD上的点，P为直线 AB上方一点.若∠BEP的角平分线与∠DFP的角平分线交于点H,∠EPF的角平分线与∠PFC的角平分 线交于点G,PG交EH于点M,∠GFP=559,∠PMH-∠EHF=20°，则下列结论： ①LGFH=90°；②∠PFH-∠PEH=∠EHF:③∠PGF=110°：④∠PEM=∠EPM.正确的个数是(） D B D A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 6.(25-26七年级下山西晋中期未)如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=35°， ∠2=22°，则∠B= 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 7.(24-25七年级下·上海阶段检测)如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作 DE∥BC,分别交边AB、AC于点D和点E,如果∠BAC=70,∠ABC=50°，那么∠EOC-∠BOD= D B 8.(2026七年级下·江苏·专题练习)如图，在△ABC中，E为△ABC角平分线AM的延长线上一点，过点 E作ED⊥BC于点D,若∠B=45°，∠CAE=2∠E,则LC的度数为 9.(25-26七年级下四川成都期中)如图所示，△ABC中，∠A=x°，BP,CP，,BM,CM分别是 ∠ABC,∠ACD,∠PBC,∠PCB的平分线，则∠M的度数为 (结果用x表示) D 10.(25-26七年级下·山东东营期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的角平分线和外角∠CBD的 平分线交于R,∠RAB的平分线和外角∠RBD的平分线交于B,∠BAB的平分线和外角∠BBD的平分线 交于B,…,则∠P06= 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P2 三、解答题 11.(25-26七年级下·山东潍坊阶段检测)在△ABC中，∠C>∠B,AE是边BC上的高，AD是∠BAC的 平分线. B DE 图① 图② (1)如图①，若∠D1E=20°，∠B=30°，求∠C的度数： (②)如图②，若F是AD的延长线上一点，FG⊥BC于点G,试探究∠F与∠C,∠B之间的数量关系，并 说明理由. 12.(25-26七年级下·吉林长春·期末)【问题再现】如图①，在△ABC中，∠CAB的平分线AE与外角 ∠CBD的平分线BE交于点E.若∠C=90°，求∠E的度数. 图① 图② 图③ 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： :AE平分∠BAC,BE平分∠CBD, ∴.∠BAC=2∠BAE,∠CBD=2∠DBE」 ∠DBE=+∠BAE, .2∠DBE=2∠E+2∠BAE :∠CBD=+∠BAC, 1 .∠E= ∠C=度 2 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将小明的过程补充完整。 【应用】 (2)如图②，在△ABC中，∠CAB的平分线AE与外角∠CBD的平分线BE交于点E.设∠C的度数为m,求 ∠E的度数.（用含m的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在△ABC中，∠C为锐角，∠BAC内部的射线AE与外角∠CBD内部的射线BE交于点E(∠E 为锐知)，若<C4=84C,一CE=CD,设∠C的度数为m,则∠B的大小为一飞用 4 含m的代数式表示) 13.(25-26七年级下·吉林长春期末)在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线BP与CP相交于点P. D B M O 图1 图2 图3 (1)如图1，若LABC=80°，∠ACB=50°，求∠P的度数： (2)如图2，延长AB至M,延长AC至N,∠MBC与∠NCB的角平分线相交于点Q,若 ∠A=a(0°<a<180) ①用含“的代数式表示∠P的大小为 ②用含x的代数式表示∠Q的大小为 (3)如图3，在(2)的条件下，延长BP、QC交于点R.在△BQR中，除∠RBO外，若一个内角是另一个 内角的3倍，直接写出∠A的大小. 14.(25-26七年级下·北京期末)已知，在△AOB中，∠AOB=90°，AC,BC分别平分∠BAO与∠AB0」 B D C 图1 图2 图3 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，当∠BAO=40°时，则∠ABC= (2)如图2，延长AC与OB交于点D,过C作CE∥OB交AB于点E,用等式表示∠AD0与∠BCE的数量关 系，并证明： (3)如图3，△AOB的外角平分线ON与AC的延长线交于点N,过点A作AM⊥AN交ON的反向延长线于 点M,∠M>∠N.在△AMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠BAO的度数. 15.(25-26七年级下·河南南阳期末)【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、3页第4、 5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧. 图① 图② 图③ 图④ (I)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.若∠A=80°，则∠P= °；如图②， BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD,则∠A与∠M的数量关系是 【继续探索】 (2)如图③，BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB.请探索∠A与∠N之间的数量关系： 【拓展应用】 (3)如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点 M.在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数. 14/14 专题04 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型 常考题型·精准突破 题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型（难） 题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型（难） 题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型（难） 题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 模型总结： 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：. 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，. ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A. 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D. 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，. ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）.即：2∠P=∠A+∠D. 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：. 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，. ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°.即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°. 1．（25-26八年级上·广东肇庆·月考）在中，和的平分线相交于点O． (1)若，求的度数； (2)求证： 【答案】(1)的度数为 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，利用整体思想是解题的关键． （1）首先根据平分和，可得，再根据三角形内角和定理即可算出的度数； （2）根据三角形的内角和定理把表示出来，再根据角平分线的定义表示出，然后在中利用三角形的内角和定理列式整理即可得证． 【详解】（1）解：∵平分和，， ∴， ∴在中， ， ∴的度数为； （2）解：在中，， ∵平分和， ∴， ∴在中， ． 2．（25-26八年级上·山东滨州·月考）数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在的内部有一点D，分别连接和．”所形成的图形展开研究． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，和分别平分和． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，运用以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，结合已知条件，根据角的运算进而得到，最后由三角形内角和定理即可求得答案； （2）①根据三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的定义得到，最后由三角形内角和定理即可求得答案；②同①的原理即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）在中，已知的等分线与的等分线相交于点，试猜想：与的数量关系．（且为整数） (1)如图1，当时，探究与的数量关系； (2)如图2，当时，与的数量关系：________； (3)如图3，猜想与的数量关系：________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理． （1）当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数； （2）当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数； （3）根据与的结论可得出猜想． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴； （2）解：∵当时，， ∴； 故答案为：； （3）解：由可知，． 故答案为：． ◆题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 模型总结： 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，. ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A. 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，. ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=.同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 4．（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，则______； (2)判断与的数量关系，并加以证明； (3)若的平分线与的外角的平分线相交于点（如图2），直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线、三角形内角和、三角形的外角的性质： （1）（2）如图（见解析）利用三角形内角和定理、并结合角平分线和三角形的外角的性质即可得； （3）利用（2）中结论即可得到，从而可得． 【详解】（1）解：，理由见（2）； 故答案为：． （2）解：，证明如下： 如图， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）结论可知：， 又， ∴， 即． 5．（25-26八年级上·吉林·月考）（1）【探究发现】如图①，在中，点P是内角和外角的平分线的交点． ①若，求的度数： ②试猜想与之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）： （2）【迁移拓展】如图②，在中，点P是内角和外角的n等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【应用创新】如图③，相交于点C，的平分线交于点P，若，，则________度． 【答案】（1）①，②；（2），理由见解析；（3）38 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角定理等知识． （1）①根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可求出； ②根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可证明； （2）根据三角形外角性质和角的代换即可证明； （3）根据（1）②分别求出，，即可求出． 【详解】解：（1）①∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； ②∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； （2）． 证明：∵是外角，是外角， ∴； （3）∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东临沂·月考）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，点F在的延长线上，的平分线与相交于点Q． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，． ◆题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 模型总结： 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，. ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A. 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD. 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD. 7．（25-26八年级上·广东江门·月考）如图，分别是的内角、的平分线，两外角、的平分线交于点， (1)若，求的度数． (2)若用含有的式子表示，则______，并给予证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）根据三角形的外角的定义，结合角平分线的定义，求出的度数，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是的内角、的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明见解析： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵两外角、的平分线交于点， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，点 P是两内角平分线的交点，N是两外角平分线的交点，延长交于点M． (1)①若 ，则 ②的数量关系是 ； (2)请探索证明与之间的数量关系； (3)在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍时，求的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，关于角平分线的计算等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，得出，根据角平分线定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可；②求出，，即可得到答案； （2）根据角平分线定义得出，，根据，得出，同理得出，根据四边形内角和求出即可； （3）先证明， 根据，得出，分四种情况分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： ②∵N是两外角平分线的交点，延长交于点M． ∴， ∵，， ∴， 即， 故答案为： （2）解：；理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 即， 同理得：， ∴； （3）解：∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： 若，则， ∴； 若，则， ∴， ∴； 若，则， ∴； 若，则， ∴； 综上所述，的度数是或或或． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． ◆题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 模型总结： 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高线，垂线的定义，理解三角形的角平分线和高线，垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再根据即可得出； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系． 【详解】（1）证明：在中，， 是的平分线， ， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ； （3）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ． 11．（25-26八年级上·山西忻州·月考）（1）如图1，在中，点D，E在边上，平分，，，，求的度数； （2）如图2，若把（1）中的条件“”变成“点F为的延长线上一点，”，其他条件不变，求的度数； （3）若把（1）中的条件“”变成“点F为AD的延长线上一点，”，其他条件不变，请画出相应的图形，并求出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）图见解析， 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形内角和、平行线的性质，解题的关键是能够举一反三，通过第一小问的结论能够想到构造辅助线来解决后面的问题． （1）关根据角平分线的性质和三角形内角和的性质求角度； （2）作于H，由（1）的结论和平行的性质得到； （3）作于H，由(1)的结论和平行的性质得到． 【详解】（1）如图1，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）如图2，作于点H，由（1）可得， ∵， ∴， ∴. （3）如图3，作于点H，由（1）可得， ∵， ∴， ∴. 12．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，平分，． (1)如图，若于点，，，则的度数为______； (2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角性质，垂直的定义的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用三角形内角和求出，结合角平分线定义求出，再结合垂直定义、以及三角形内角和求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意，结合图形，用、表示出，利用角平分线，表示出，仿照第（1）题，表示出，即可得到结果； （3）结合图形，用，表示出，利用角平分线，表示出，利用是的外角，表示出，同时也是的外角，即可得到结果． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，结合题意得到，由此三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得，，利用角平分线的定义求得，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，． ∴． ∴． 故选：B． 3．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出，再利用即可求解． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵， ∴ ， ∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∴ 故选：C． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，则下列结论： ①；②；③；④．正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角定理逐一进行判断即可． 【详解】解：，平分， 平分， ， ，①正确； ， 是的角平分线， ， ；②正确； 是的角平分线，平分， ， ， ， ， ，③正确； ，故④错误； 二、填空题 6．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，平分，若，，则________． 【答案】/42度 【分析】根据角平分线的定义，得到，求出的度数，再利用垂直的定义和三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 【答案】/度 【详解】先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质得出，即可求解． 【分析】解：由条件可知 ， ， ， 平分， ∴ ， ∵， ∴， ． 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 【答案】 【分析】由E为角平分线的延长线上一点，得，则，因为，所以，由于点D，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E为角平分线的延长线上一点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 【答案】 【分析】先根据三角形外角的性质和角平分线的性质求出，再根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出． 【详解】解：∵、分别是、的一个外角 ∴，， 又 ∵、 分别是、的平分线， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵中，、分别是和的平分线， ∴，， ∴ ． 10．（25-26七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，的角平分线和外角的平分线交于，的平分线和外角的平分线交于，的平分线和外角的平分线交于，…，则____________________． 【答案】 【分析】根据的平分线和外角的平分线交于，得出，同理得出，，依此类推出，即可求解． 【详解】解：∵的平分线和外角的平分线交于， ∴，， ∴， 同理可得：， ， …… 依此类推，． 三、解答题 11．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 12．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若，求的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： 平分，平分， ，． ______， ． ______， ______度． 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点．设的度数为，求的度数．（用含的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在中，为锐角，内部的射线与外角内部的射线交于点（为锐角）．若，，设的度数为，则的大小为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)；；45 (2) (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （2）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （3）先说明，，再利用三角形外角的性质以及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ 度． （2）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ ． （3）解：∵，， ∴，， ， ． ， ， ∴ ∴，即． 13．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形内角和定理可得，进而得到；①②利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）如图：延长至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得，再结合，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点P是和的平分线的交点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ①∵与的角平分线与相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴． ②∵与的角平分线相交于点Q， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：延长至D， ∵为的外角的角平分线， ∴, ∵，, ∴, ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； 由（2）可知 ∵在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍， ∴①当时，即，解得：； ②当时，即，解得：； 综上所述，的度数是或． 14．（25-26七年级下·北京·期末）已知，在中，，，分别平分与． (1)如图1，当时，则___________； (2)如图2，延长与交于点，过作交于点，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图3，的外角平分线与的延长线交于点，过点作交的反向延长线于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，证明如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ； (3)或 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理确定，再根据角平分线的定义求解即可； （2）首先根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，，，再由三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的定义和性质，即可确定答案； （3）首先确定，，然后分、和三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 当时，则， ∴， ∴ ∴； 当时，则， ∴ ∴， ∴ ∴； 当时，则， ∴， ∴，不合题意，舍去． 综上所述，的度数为或． 15．（25-26七年级下·河南南阳·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． (1)如图①，在中，平分，平分．若，则____________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是____________； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长、交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $