第二章 一元二次方程单元检测卷2026-2027学年九年级上册数学北师大版

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心知识，融合新能源充电桩、人工智能等时代情境及《算术之钥》文化素材，通过10道选择、5道填空、8道解答题（含项目化探究）实现基础到应用的梯度考查，汇编校级期末及模拟真题。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|10|定义、判别式、根与系数关系|第6题新能源充电桩增长率问题，第7题《算术之钥》摘石榴问题| |填空题|5|方程解、等腰三角形周长、实际应用|第15题羊圈围栏面积计算，结合几何情境| |解答题|8|解方程、实际应用、项目化探究|第22题长方体收纳盒制作（含底面积计算与书本放置判断），第23题人工智能平台下载量与铁丝剪接问题，体现跨学科应用|

第二章 一元二次方程 单元检测卷 一、选择题 1．（2026春•城区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+3＝ C．2y﹣x＝1 D．x2＝2x﹣1 2．（2026•思明区模拟）已知方程2x2﹣3x﹣1＝0，利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（　　） A．a＝2，b＝3，c＝1 B．a＝2，b＝﹣3，c＝1 C．a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝1 3．（2026•沈丘县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1 4．（2026春•萨尔图区校级月考）已知Rt△ABC的两条直角边a，b分别是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且a2+b2＝25，a﹣b＝1，则p和q的值分别为（　　） A．﹣1，5 B．﹣7，12 C．3，4 D．7，﹣12 5．（2026•临川区校级模拟）已知α，β是一元二次方程x2﹣2025x﹣1＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．（2026•临沧模拟）某市为了满足新能源汽车充电的需求，计划再建一批快充充电桩．第一个月新建了360个充电桩，第三个月新建了480个充电桩．设该市新建快充充电桩个数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．360（1+x）2＝480 B．360（1﹣x）2＝480 C．480（1+x）2＝360 D．480（1﹣x）2＝360 7．（2026•前进区校级二模）《算术之钥》中记载着一道非常受人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，那么每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人？设这群人共有x人，则可列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝10x C． D．x（x+1）＝10x 8．（2026春•陇南月考）一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离h（米）与时间（t）的关系为g为重力加速度，g＝10m/s2）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（　　） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 9．（2026•临泉县模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2 10．（2026春•淮上区期末）一元二次方程x2+8x+2＝0，配方的结果是（　　） A．（x+4）2＝18 B．（x+4）2＝14 C．（x﹣4）2＝18 D．（x﹣4）2＝14 二、填空题 11．（2026春•金寨县期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个解为2，则k的值为　 　 ． 12．（2026•荔城区校级模拟）方程x2﹣7x+12＝0的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为　 　 ． 13．（2026•深圳校级模拟）已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程　 　 ． 14．（2026春•苍南县期中）将一元二次方程x（x+2）＝1化为一般式为　 　 ． 15．（2026春•明水县校级月考）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为　 　 米． 三、解答题 16．（2026春•新泰市期末）用适当的方法求解下列方程： （1）3x（x﹣1）＝2x﹣2； （2）2x2+x﹣2＝0． 17．（2026•茂名一模）对于解方程3（x﹣2）2＝x2﹣4，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2），…步骤① 等号两边同时除以（x﹣2），得3（x﹣2）＝（x+2），…步骤② 去括号，得3x﹣6＝x+2，…步骤③ 移项、合并同类项，得2x＝8，…步骤④ 系数化为1．得x＝4．…步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是　 　 （填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 18． （2025秋•武汉期末）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根． 19．（2026春•新泰市期末）某果园原计划种100棵苹果树，一棵苹果树平均结1000个苹果，现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种1棵苹果树，每棵苹果树的产量就会减少2个，但多种的苹果树不能超过120棵．设多种x棵苹果树． （1）直接写出多种x棵苹果树后，每棵苹果树的产量y（个）与x（棵）之间的函数关系式； （2）如果要使总产量增加35%，那么应多种多少棵苹果树（假设苹果大小不变）？ 20．（2026春•萨尔图区校级月考）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 21．（2026春•丰满区校级期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库ABCD如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为18米，且要在BC边上开一扇宽为2米的门，可用材料为30米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为120平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出AB的长；若不可以，请说明理由． 22．（2026春•金寨县期末）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为80cm，宽为60cm的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）． 方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为xcm的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形ABCD． 方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为acm宽均为bcm的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若EF和IJ两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形MNOP． （1）任务一：用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为　 　 cm，底面宽AB为　 　 cm． （2）任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为2400cm2，求裁去小正方形的边长x的值． （3）任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为1750cm2，请通过计算判断，图中长为32cm，宽为22cm，厚度为4cm的书本能否完全放入该收纳盒内． 23．（2026春•界首市期末）项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率．为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为144万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为32cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和能否等于30cm2？ 平台回复的结果：… 交流展示 … 请根据以上的活动报告，解答下列问题： （1）求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率； （2）请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 第二章 一元二次方程 单元检测卷 参考答案与试题解析 选择题 1．（2026春•城区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+3＝ C．2y﹣x＝1 D．x2＝2x﹣1 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【答案】D 2．（2026•思明区模拟）已知方程2x2﹣3x﹣1＝0，利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（　　） A．a＝2，b＝3，c＝1 B．a＝2，b＝﹣3，c＝1 C．a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝1 【分析】根据题意，而得出a，b，c的值即可． 【答案】C 3．（2026•沈丘县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，然后解关于m的不等式即可． 【答案】C 4．（2026春•萨尔图区校级月考）已知Rt△ABC的两条直角边a，b分别是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且a2+b2＝25，a﹣b＝1，则p和q的值分别为（　　） A．﹣1，5 B．﹣7，12 C．3，4 D．7，﹣12 【分析】利用完全平方公式，结合已知条件求出两直角边的和与积，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求出p和q的值． 【答案】B 5．（2026•临川区校级模拟）已知α，β是一元二次方程x2﹣2025x﹣1＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【分析】若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则，，求出α+β和αβ的值后整体代入计算即可． 【答案】D 6．（2026•临沧模拟）某市为了满足新能源汽车充电的需求，计划再建一批快充充电桩．第一个月新建了360个充电桩，第三个月新建了480个充电桩．设该市新建快充充电桩个数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．360（1+x）2＝480 B．360（1﹣x）2＝480 C．480（1+x）2＝360 D．480（1﹣x）2＝360 【分析】根据题意列出方程即可． 【答案】A 7．（2026•前进区校级二模）《算术之钥》中记载着一道非常受人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，那么每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人？设这群人共有x人，则可列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝10x C． D．x（x+1）＝10x 【分析】根据果园的石榴的总数不变，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【答案】A 8．（2026春•陇南月考）一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离h（米）与时间（t）的关系为g为重力加速度，g＝10m/s2）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（　　） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【分析】将已知的下落距离h和重力加速度g代入给定公式，解关于t的方程，结合时间为正数即可得到结果． 【答案】C 9．（2026•临泉县模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2 【分析】将已知根代入原方程，得到关于k的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除k＝﹣2，即可得到答案． 【答案】B 10．（2026春•淮上区期末）一元二次方程x2+8x+2＝0，配方的结果是（　　） A．（x+4）2＝18 B．（x+4）2＝14 C．（x﹣4）2＝18 D．（x﹣4）2＝14 【分析】按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【答案】B 填空题 11．（2026春•金寨县期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个解为2，则k的值为　2　 ． 【分析】将x＝2代入x2﹣3x+k＝0，得到关于k的一元一次方程，解方程即可得到k的值． 12．（2026•荔城区校级模拟）方程x2﹣7x+12＝0的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为　10或11　 ． 【分析】先利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周长． 13．（2026•深圳校级模拟）已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程x2﹣x＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根x＝1代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 14．（2026春•苍南县期中）将一元二次方程x（x+2）＝1化为一般式为x2+2x﹣1＝0　 ． 【分析】去括号，移项，即可得出答案． 15．（2026春•明水县校级月考）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为　20，20　 米． 【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米，然后根据矩形的面积公式列出方程，结合题意舍掉不合适的结果即可． 解答题 16．（2026春•新泰市期末）用适当的方法求解下列方程： （1）3x（x﹣1）＝2x﹣2； （2）2x2+x﹣2＝0． 【分析】（1）根据因式分解法解方程即可； （2）根据公式法解方程即可． 【答案】 (1) 3x(x−1) = 2x−2 3x(x−1) − 2(x−1) = 0 (x−1)(3x−2) = 0 x = 1 或 x = 2/3。 （2）2x² + x − 2 = 0 这里a=2，b=1，c=-2 Δ = b² −4·a·c= 1² − 4·2·(−2) = 17 x = −1 ± √17/4。 17．（2026•茂名一模）对于解方程3（x﹣2）2＝x2﹣4，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2），…步骤① 等号两边同时除以（x﹣2），得3（x﹣2）＝（x+2），…步骤② 去括号，得3x﹣6＝x+2，…步骤③ 移项、合并同类项，得2x＝8，…步骤④ 系数化为1．得x＝4．…步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是　②　 （填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 【分析】（1）步骤②直接除以（x﹣2），未考虑（x﹣2）可能为0的情况，会丢失方程的根； （2）先对原方程右边因式分解，移项后提公因式（x﹣2），将方程化为乘积为0的形式，再令各因式为0，可求得方程的两个根． 【答案】②   (2) x = 2 或 x = 4 (1) 步骤②直接除以 (x−2)，未考虑 (x−2) 可能为 0，丢失了根 x = 2。 (2) 正确解答： 3(x−2)² = x² − 4 3(x−2)² − (x+2)(x−2) = 0 (x−2)[3(x−2) − (x+2)] = 0 (x−2)(3x−6−x−2) = 0 (x−2)(2x−8) = 0 x = 2 或 x = 4。 18．（2025秋•武汉期末）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根． 【分析】依据题意，设方程的另一个根为a，由根与系数的关系得到4a＝﹣8，4+a＝﹣m，进行求解即可． 【答案】 m = −2，另一个根为 −2 将 x = 4 代入 x² + mx − 8 = 0： 16 + 4m − 8 = 0 ⇒ 4m + 8 = 0 ⇒ m = −2。 方程为 x² − 2x − 8 = 0 ⇒ (x−4)(x+2) = 0 ⇒ 另一个根为 −2。 19．（2026春•新泰市期末）某果园原计划种100棵苹果树，一棵苹果树平均结1000个苹果，现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种1棵苹果树，每棵苹果树的产量就会减少2个，但多种的苹果树不能超过120棵．设多种x棵苹果树． （1）直接写出多种x棵苹果树后，每棵苹果树的产量y（个）与x（棵）之间的函数关系式； （2）如果要使总产量增加35%，那么应多种多少棵苹果树（假设苹果大小不变）？ 【分析】（1）根据每多种1棵树减产2个苹果，写出函数关系式； （2）用“总棵数×单棵产量＝目标总产量”列一元二次方程，结合0＜x≤120舍去不合理解即可． 【答案】  (1) y = 1000 − 2x   (2) 多种 50 棵 (1) 每多种 1 棵，每棵产量减少 2 个 ⇒ y = 1000 − 2x。 (2) 原产量 = 100×1000 = 100000 个，目标产量 = 100000×(1+35%) = 135000 个。 (100+x)(1000−2x) = 135000 100000 − 200x + 1000x − 2x² = 135000 −2x² + 800x − 35000 = 0 ⇒ x² − 400x + 17500 = 0 (x−50)(x−350) = 0 ⇒ x = 50 或 x=350（350 > 120，舍去）。 ∴ 多种 50 棵苹果树。 20．（2026春•萨尔图区校级月考）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【分析】（1）设月增长率为x，根据4月和6月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果； （2）设实际售价为y元，根据“总利润＝单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果． 【答案】  (1) 20%   (2) 60 元 (1) 设月增长率为 x： 500(1+x)² = 720 ⇒ (1+x)² = 1.44 ⇒ x = 0.2或x=-2.2， 因为x＞0，则 x= 20%。 则该品牌头盔销售量的月增长率为 20%。 (2) 设实际售价为 y 元。 单个利润 = y − 40，月销量 = 500 − 10(y−50) = 1000 − 10y。 (y−40)(1000−10y) = 8000 (y−40)(100−y) = 800 ⇒ −y² + 140y − 4800 = 0 y² − 140y + 4800 = 0 ⇒ (y−60)(y−80) = 0 ⇒ y = 60 或 80。 为让顾客得到实惠，取 y = 60 元。 因此，该品牌头盔的实际售价应定为60元 21．（2026春•丰满区校级期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库ABCD如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为18米，且要在BC边上开一扇宽为2米的门，可用材料为30米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为120平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出AB的长；若不可以，请说明理由． 【分析】列出方程求解．设AB＝x，表示出BC的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【答案】 可以，AB = 10 米 设 AB = x 米，则 BC = 30 + 2 − 2x = 32 − 2x（门宽 2 米不用材料，靠墙一边不用材料）。 面积 x(32−2x) = 120 ⇒ 2x² − 32x + 120 = 0 ⇒ x² − 16x + 60 = 0 (x−6)(x−10) = 0 ⇒ x = 6 或 10。 x = 6 时 BC = 20 > 18（墙长），不符合； x = 10 时 BC = 12 ≤ 18，符合。 ∴ 可以围成，AB = 10 米。 22．（2026春•金寨县期末）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为80cm，宽为60cm的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）． 方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为xcm的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形ABCD． 方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为acm宽均为bcm的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若EF和IJ两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形MNOP． （1）任务一：用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为　（80﹣2x）　 cm，底面宽AB为　（60﹣2x）　 cm． （2）任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为2400cm2，求裁去小正方形的边长x的值． （3）任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为1750cm2，请通过计算判断，图中长为32cm，宽为22cm，厚度为4cm的书本能否完全放入该收纳盒内． 【分析】（1）根据方案甲长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为xcm的小正方形，可得长和宽为原来的长和宽分别减去2x（cm）； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为bcm，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【答案】  (1) BC = 80−2x，AB = 60−2x   (2) x = 10   (3) 能 (1) 四个角裁掉边长为 x 的小正方形后，底面长 BC = 80 − 2x，宽 AB = 60 − 2x。 (2) (80−2x)(60−2x) = 2400 4800 − 280x + 4x² = 2400 ⇒ 4x² − 280x + 2400 = 0 ⇒ x² − 70x + 600 = 0 (x−10)(x−60) = 0 ⇒ x = 10 或 60（60 使底面宽为负，舍去）。 ∴ x = 10。 (3) 设方案乙收纳盒高为 y cm，则底面宽 = (80−2y)/2，长 = 60−2y。 (40−y)(60−2y) = 1750 ⇒ 2b² − 140b + 650= 0⇒ b² − 70b +325= 0 ⇒ (b-5)(b-65)= 0，所以b=5或b=65（舍去，y＜30），所以 b =5。 所以底面长 =50 cm，宽 =35 cm，高=5 cm。 书本 32×22×4 cm 可以完全放入。 ∴ 能放入。 23．（2026春•界首市期末）项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率．为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为144万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为32cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和能否等于30cm2？ 平台回复的结果：… 交流展示 … 请根据以上的活动报告，解答下列问题： （1）求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率； （2）请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 【分析】（1）设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为x，根据首日的下载量和第三天的下载量建立方程求解即可； （2）设其中一个正方形的周长为4ycm，则另一个正方形的周长为（32﹣4y）cm，假设这两个正方形的面积之和能等于30cm2列方程，然后利用判别式判断该方程是否有正实数解即可得到结论． 【答案】 (1) 20%   (2) 不能 (1) 设日平均增长率为 x：100(1+x)² = 144 ⇒ (1+x)² = 1.44 ⇒ x = 0.2或x=-2.2， 因为x＞0，则 x= 20%。 所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为 20%。 (2) 设其中一个正方形周长为 4y cm，则另一个为 32−4y cm。 两个正方形面积和 = y² + (8−y)² = 2y² − 16y + 64。 假设面积和 = 30，则 2y² − 16y + 64 = 30 ⇒ 2y² − 16y + 34 = 0 ⇒ y² − 8y + 17 = 0。 Δ = 64 − 68 = −4 < 0，无实数解。 ∴ 两个正方形的面积之和 不能 等于 30 cm²。 ( 第 1 页（共 10 页） ) 学科网（北京）股份有限公司 $