1.1 集合的概念与表示 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦集合概念与表示，分层设计从概念辨析到综合应用，通过基础巩固、中档提升、拔高拓展三阶路径，培养抽象能力与推理意识，适配课时教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|集合定义、元素特性、基本表示法|单选考确定性（第1题），填空练描述法（第9题），夯实概念理解| |中档|集合关系、简单运算、元素互异性|多选结合方程解集（第11题），解答题综合表示方法（第10题），衔接课堂例题| |拔高|集合创新应用、跨知识整合|结合整数分类（第15题）、非零实数性质（第16题），发展逻辑推理与模型意识|

1.1　集合的概念与表示 1.下列能够构成一个集合的是(　　) A.不超过9的所有正整数 B.高中数学书上的难题 C.与2接近的数 D.高一学生中的篮球高手 2.下列四个集合中，是空集的是(　　) A.{0} B.{x|x>8或x<5} C.{x∈R|x2+1=0} D.{x∈N|3.5<x<4.5} 3. (2025·兰州期中) 下列关系中，正确的是（ ） A. -2∈ B. ∈Z C. π∉Q D. 5∉N 4.有4根火柴棒的长度可以作为集合的4个元素，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是(　　) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 5.(多选)设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中的元素可以为(　　) A.5 B.6 C.7 D.9 6.已知集合A={x|3ax-2≤0}，若1∈A且2∉A，则实数a的取值范围是(　　) A.<a< B.a<0 C.<a≤ D.a> 7.(多选)下列说法中不正确的是(　　) A.10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B.由2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2} C.方程x2-4x+4=0的所有解组成的集合是{2，2} D.∅与{∅}表示同一个集合 8.  (2026·上海高考) 若集合A={2, a+1}，且-1∈A，则a = ________ . 9.图中阴影部分(含边界)的点组成的集合B用描述法表示为B=　　　　　　　. 10.(12分)用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体；(2分) (2)大于-3.5小于12.8的整数的全体；(2分) (3)梯形的全体构成的集合；(2分) (4)所有能被3整除的数的集合；(2分) (5)方程(x-1)(x-2)=0的所有实数根；(2分) (6)不等式2x-1>5的解集.(2分) 11.关于x的方程ax2+x+a=0的解集有且只有一个元素，则a等于(　　) A.±或0 B.± C. D.- 12.非空数集T满足：若x∈T，则∈T.如果集合T中含有4个元素，那么这四个元素之积为　　　　. 13.(多选)设A={x|x=3m+1，m∈Z}，B={x|x=3k-1，k∈Z}，a，b∈A，c∈B，则(　　) A.a+b∈A B.ab∈A C.a+b∈B D.a+c∈B 14.(15分)  (2025高一上仁寿期末) 已知集合，且. (1) 求的值; (2) 写出集合的所有真子集. 15.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，下列四个结论中错误的是(　　) A.2 025∈[0] B.-3∈[3] C.若整数a，b属于同一“类”，则a-b∈[0] D.若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一“类” 16.设a，b，c为非零实数，则x=+++的所有值所组成的集合为(　　) A.{0，4} B.{-4，0} C.{-4，0，4} D.{0} 1.1　集合的概念与表示 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分 1.下列能够构成一个集合的是(　　) A.不超过9的所有正整数 B.高中数学书上的难题 C.与2接近的数 D.高一学生中的篮球高手 答案　A 解析　对于A，符合集合中元素的特性，正确； 对于B，C，D，都不符合集合中元素的确定性，错误. 2.下列四个集合中，是空集的是(　　) A.{0} B.{x|x>8或x<5} C.{x∈R|x2+1=0} D.{x∈N|3.5<x<4.5} 答案　C 解析　选项A，B，D中的集合都含有元素，而选项C中的集合不含元素，故选C. 3. (2025·兰州期中) 下列关系中，正确的是（ ） A. -2∈ B. ∈Z C. π∉Q D. 5∉N 答案　C 解析　A、-2是负整数，则-2∉∈; B、是分数，则∉Z，故B错误；C、π是无理数，则π∉Q，故C正确；D、5是正整数，则5∈N，故D错误. 4.有4根火柴棒的长度可以作为集合的4个元素，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是(　　) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 答案　A 解析　由题意可得4根火柴棒的长度互不相等，则四条边长互不相同，所以不可能连成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 5.(多选)设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中的元素可以为(　　) A.5 B.6 C.7 D.9 答案　ABC 解析　1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中的元素可以为5，6，7，8. 6.已知集合A={x|3ax-2≤0}，若1∈A且2∉A，则实数a的取值范围是(　　) A.<a< B.a<0 C.<a≤ D.a> 答案　C 解析　由题意可知1∈A且2∉A⇔ 解得<a≤. 7.(多选)下列说法中不正确的是(　　) A.10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B.由2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2} C.方程x2-4x+4=0的所有解组成的集合是{2，2} D.∅与{∅}表示同一个集合 答案　CD 解析　10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确；由集合中元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2}，故B正确；根据集合中元素的互异性可知，x2-4x+4=0的所有解组成的集合是{2}，故C错误；∅表示不含有任何元素的集合，{∅}表示仅含有一个元素∅的集合，故D错误. 8.  (2026·上海高考) 若集合A={2, a+1}，且-1∈A，则a = ________ . 答案　-2 解析　集合A ={2,a +1} ，且-1∈A ，则1 +a = -1 ，解得a = -2 ，集合A = {2,-1}．故答案为：-2． 9.图中阴影部分(含边界)的点组成的集合B用描述法表示为B=　　　　　　　. 答案　{(x，y)|-1≤x≤3，且0≤y≤3} 解析　设集合B中的代表元素是(x，y). 由题意知，-1≤x≤3，且0≤y≤3， 因此所求集合B={(x，y)|-1≤x≤3，且0≤y≤3}. 10.(12分)用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体；(2分) (2)大于-3.5小于12.8的整数的全体；(2分) (3)梯形的全体构成的集合；(2分) (4)所有能被3整除的数的集合；(2分) (5)方程(x-1)(x-2)=0的所有实数根；(2分) (6)不等式2x-1>5的解集.(2分) 解　(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. (2){-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}. (3){a|a是梯形}或{梯形}. (4){x|x=3n，n∈Z}. (5){1，2}. (6){x|x>3}. 11.关于x的方程ax2+x+a=0的解集有且只有一个元素，则a等于(　　) A.±或0 B.± C. D.- 答案　A 解析　当a=0时，方程为x+0=0，解得x=0，满足题意；当a≠0时，有即解得a=±. 12.非空数集T满足：若x∈T，则∈T.如果集合T中含有4个元素，那么这四个元素之积为　　　　. 答案　1 解析　因为非空数集T满足：若x∈T，则∈T， 又集合T中含有4个元素， 则x≠，=-∈T，=∈T，=x∈T， 可得T=，所以x···=1. 13.(多选)设A={x|x=3m+1，m∈Z}，B={x|x=3k-1，k∈Z}，a，b∈A，c∈B，则(　　) A.a+b∈A B.ab∈A C.a+b∈B D.a+c∈B 答案　BC 解析　设a=3u+1，b=3v+1，c=3w-1(u，v，w∈Z)，则a+b=3(u+v)+2=3(u+v+1)-1∈B，A错误，C正确； ab=9uv+3(u+v)+1=3(3uv+u+v)+1∈A，B正确； a+c=3u+1+3w-1=3(u+w)∉B，D错误. 14.(15分)  (2025高一上仁寿期末) 已知集合，且. (1) 求的值; (2) 写出集合的所有真子集. 解　(1) 当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； (2) 由(1) 可得，故集合的所有真子集为： ，，，，，， 15.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，下列四个结论中错误的是(　　) A.2 025∈[0] B.-3∈[3] C.若整数a，b属于同一“类”，则a-b∈[0] D.若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一“类” 答案　B 解析　对于A，因为2 025=405×5+0，所以2 025∈[0]，故A正确；对于B，因为-3=5×(-1)+2，所以-3∈[2]，故B错误；对于C，若a与b属于同一“类”，则a=5n1+k，b=5n2+k，a-b=5(n1-n2)∈[0](其中n1，n2∈Z，k=0，1，2，3，4)，故C正确；对于D，若a-b∈[0]，设a-b=5n，n∈Z，即a=5n+b，n∈Z，不妨令b=5m+k，m∈Z，k=0，1，2，3，4，则a=5m+5n+k=5(m+n)+k，m∈Z，n∈Z，k=0，1，2，3，4，所以a与b属于同一“类”，故D正确. 16.设a，b，c为非零实数，则x=+++的所有值所组成的集合为(　　) A.{0，4} B.{-4，0} C.{-4，0，4} D.{0} 答案　C 解析　∵a，b，c为非零实数， ∴当a>0，b>0，c>0时，x=+++=1+1+1+1=4； 当a，b，c中有一个小于0时， 不妨设a<0，b>0，c>0， ∴x=+++=-1+1+1-1=0； 当a，b，c中有两个小于0时， 不妨设a<0，b<0，c>0， ∴x=+++=-1-1+1+1=0； 当a<0，b<0，c<0时，x=+++=-1-1-1-1=-4； ∴x的所有值组成的集合为{-4，0，4}. 学科网（北京）股份有限公司 $