第二十章 勾股定理暑假复习专题 2025-2026学年数学八年级下册人教版

**基本信息** 暑假勾股定理专题复习卷，通过传感器控制灯、风筝放飞等真实情境，以基础计算（如直角三角形边长求解）、综合探究（如折叠问题、最短路径）梯度设计，覆盖定理应用、几何直观与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|勾股定理逆定理（第1题）、数轴表示无理数（第2题）|结合“毕达哥拉斯”图案（第7题），体现文化传承| |填空题|6|折叠问题（第13题）、角平分线性质应用（第14题）|分类讨论（第11题），培养严谨思维| |解答题|8|实际应用（第23题风筝高度计算）、综合探究（第24题三问递进）|卸货斜坡（第19题）等真实情境，强化模型意识与推理能力|

暑假复习专题：第二十章 勾股定理 一、单选题 1．下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 2．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 3．四边形中，，，，，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 5．如图，将一个有角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B落在纸带的另一边沿上，测得，则直角三角板的斜边的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，垂直平分，分别交于点，若，则的长为（     ） A．5 B．10 C．12 D．13 7．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至该灯5米及5米以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5米的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（     ） A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 10．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三角形组合而成．当时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 11．在直角三角形中，两边长分别为、，则第三条边长为________． 12．在中，，则的长为________． 13．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 14．如图，在中，平分，交于点E，，交于点D．若，，，则的长为______． 15．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点D．若，则的长为_________． 16．如图， 在中，，的垂直平分线交于点D，交的平分线于点E，则的长度是________ ． 三、解答题 17．在中，． (1)若，，求c． (2)若，，求b． (3)若，，求a． 18．已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 19．卸货时用斜坡木板，可以利用斜面原理实现省力搬运．如图，一辆汽车在卸货时，从车厢到地面搭了一个木板，其中，，，求木板的长． 20．如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由． 21．如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点． (1)求证：； (2)若，，求长． 22．如图，在中，．是边上的高，点E在边上，于点F． (1)求证：． (2)若，求证：． 23．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 24．如图1，在四边形中，，P是上一点，，． (1)求证：． (2)如图2，在四边形中，，P是上一点，，．那么，，之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明； (3)在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C D C B D A B 1．B 【分析】运用勾股定理逆定理计算，满足两短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故3，4，6不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； B、，故6，8，10能作为直角三角形三边，该选项符合题意； C、，故5，12，15不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； D、，故7，23，24不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意． 2．A 【分析】先利用勾股定理求出（如图），再根据数轴求出答案． 【详解】解：如图， 由勾股定理知， ． 又点在数轴的负半轴上， 的值为． 3．C 【分析】延长交的延长线于点K，求出，根据直角三角形的性质可得，，，从而得到，进而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点K， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 4．C 【详解】解：点到原点的距离为． 5．D 【分析】过C作于H，先根据含30度角的直角三角形的性质求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过C作于H，则， 由题意，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．C 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：垂直平分 ， 在中，． 7．B 【分析】根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，而正方形面积恰好等于边长的平方，因此只需在1、2、3、4中选出三组可重复数字，满足两个较小面积之和等于最大面积，依次列举符合条件的组合，共计4种，由此确定答案． 【详解】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， ∵所围成的三角形是直角三角形， ∴斜边的正方形的面积=两直角边的正方形的面积和， ∴有，，，，四种情况． 8．D 【分析】将木块的表面展开，利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知，，， 由勾股定理可得，． 9．A 【分析】过点C作于点E，利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：由题意，传感器A距地面的高度为米，人高米， 如图②，过点C作于点E，则人离墙的距离为，则米， ∴（米）， 当人离传感器A的距离米时，灯发光， 在中，根据勾股定理可得，米， 故一个身高1.5米的学生要走到离墙4米远的地方灯刚好发光 10．B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 11．或 【分析】分两种情况，再结合勾股定理计算第三边长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 若第三边为斜边，则长度为和长度为的两边都是直角边， ∴第三边长为： ； 若第三边为直角边，则长度为的边为斜边， ∴第三边长为： ； ∴第三边长为或． 12． 【分析】在中，由含角的直角三角形的性质，结合勾股定理列方程求解即可得到的长度． 【详解】解：如图所示： 在中，，则， 设，则， 由勾股定理得，则， ， ∵三角形边长为正数， ∴，则． 13．5 【分析】设，由翻折的性质可知，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由翻折的性质可知，则， 是的中点， ． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 即． 14．/ 【分析】在中，根据勾股定理可得的长，从而得到的长，再由角平分线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴点E到的距离相等， 设点E到的距离分别为，则 ， ∴， ∴， ∴． 15． 【分析】过D点作于E点，则，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：过D点作于E点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， 由作法得平分， 而，， ∴． 16． 【分析】设交于点F，连接，由勾股定理求得，根据垂直平分线及角平分线的性质得，由勾股定理求得，再证明，由勾股定理即可求解． 【详解】解：设交于点F，连接， ∵中，， ∴， ∵的垂直平分线交于点D，交的平分线于点E，垂足为点F， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案； （2）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案； （3）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 18．36 【分析】根据勾股定理求出，再证明是直角三角形，根据求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴在中，， ． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 19．木板的长为 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 即木板的长为． 20．(1)5；10； (2)解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，据此可得是直角三角形． 【详解】（1）解：由题意得，，， ； （2）略 21．(1)证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，，，则，然后利用证明结论即可； （2）先利用全等三角形的性质得到，，则，利用勾股定理求得，则 ，连接，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴， 如图，连接， 在中，，，， ∴． 22．(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2)证明：， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）首先根据是边上的高，于点F得出，然后根据等量代换得出，即可得到结果； （2）首先根据勾股定理得出，进而得出，再根据第（1）问的结论就可以证明． 【详解】（1）略 （2）略 23．(1) (2)解：不能成功，说明如下： 如图所示，延长至点，连接，使得， ． 在中，由勾股定理得． ，余线仅剩， ∴风筝线的总长度为， ∵， ∴， ∴不能成功． 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，可得，，在中，根据勾股定理求出 的长即可求解； （2）延长至点，连接，使得，利用勾股定理求出的长，再与风筝线的总长度比较即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， 答：风筝离地面的垂直高度为． （2）略 24．(1)证明：， ，， ， 又，， ， ，， ； (2)解：， 证明：过点作于，过点作于， 由（1）可知，， ，，， ，， ，，，， ， ； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在等腰直角三角形中，，则， 在中，，，则， 同理可得：， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $