第二十章 勾股定理 暑假专项作业 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦勾股定理从概念辨析到综合应用的递进训练，覆盖基础判断、几何计算、实际建模等中考核心题型，强化空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3、填空11-12|直角三角形判定、点距计算、等腰三角形三线合一|从勾股定理基本公式出发，构建"概念-性质-简单应用"认知链| |几何应用|选择4-8、填空13-14|古算题建模、网格线段计算、赵爽弦图面积、方向角问题|结合几何直观，实现"公式应用-图形转化-面积关系"的逻辑递进| |综合拓展|选择9-10、填空15-16、解答17-21|最短路径、中线计算、定理证明、动态模型探究|通过坐标系、动态几何、跨知识综合，培养推理能力与模型意识|

暑假专项作业：勾股定理-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、选择题 1．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．3、4、5 B．3、4、6 C．6、8、10 D．5、12、13 2． 如图，，以点 A 为圆心，为 半径画弧交y轴正半轴于点 B ，则点 B 的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，△ABC中，∠ACB=90°， 则BC的长为(　　) A． B．2 C． D． 4．《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　） A．32+82=x2 B．（x-8）2+32=x2 C．x2+82=（x+3）2 D．（x-3）2+82=x2 5．一个长方形零件如图所示，根据所给尺寸（单位： mm) 可知两孔中心A，B之间的距离是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 6．如图， 在小正方形组成的网格中， 有AB，CD，EF，GH 四条线段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是（　　） A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH 7．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面的容器上底边点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（　　）． A．12 B．13 C． D． 8． 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（　　） A．8 B．14 C．16 D．18 9．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点均在格点（网格线的交点）上，若为的中线，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知点P（-1，4)是平面直角坐标系中一点，则点P到原点的距离为　 　. 12．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是　 　cm。 13．如图，在水塔O 的东北方向32m处有一座抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一个建筑工地B，在A，B间建一条直水管，则水管的长为　 　. 14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为　 　． 15．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，E，，，则线段的长为　 　. 16．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点D；②分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，则　 　． 三、解答题 17．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上. （1）在图①中画一条长度为的线段； （2）在图②中画一个面积为5的正方形. 18．如图，四边形ABCD中，BD为对角线，，，，，，求证：. 19．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： （1）求的度数； （2）求出，两点间的距离． 20．我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则．在平面直角坐标系中，已知点和点，则的中点坐标为． （1）如图1，请以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，点和点，请以代数推理的方法完成这个定理的证明． （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 21．综合与实践 （1）【模型建立】如图①，在Rt△ABC与Rt△ADE中，D是边BC上的动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，AD＝AE，连接CE. ①求DE的最小值； ②判断BD，CD，AE之间的数量关系，并证明． （2）【模型应用】如图②，已知△ABC是等边三角形，∠CDB＝120°，AD＝2，求AB的最小值． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】 12．【答案】8 13．【答案】40 14．【答案】2400 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】（1）如图，AB即为所求； （2）如图，正方形CDEF即为所求． 18．【答案】证明：，，， ， ， ， 是直角三角形， ， . 19．【答案】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 20．【答案】（1）解：如图，以C为坐标原点，OB为x轴，OA为y轴，建立平面直角坐标系，过点D作与点E ， ， 在中，，由勾股定理可得， ∵D为AB中点， ∴D的坐标为， ， 在中，，有勾股定理可得， ； （2）解：连接BE、DE， ∵点E是AC的中点，， ， 由题意可得：，， ． 21．【答案】（1）解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，AD＝AE， ∴DE＝＝AD，BC＝＝2.∴要使DE最小，则使AD最小．当AD⊥BC时，AD最小．易得此时AD＝BC＝，∴DE＝2. ②2AE2＝BD2＋CD2. 证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD＋∠ACE＝45°＋45°＝90°. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE2＝CE2＋CD2. 由①知DE＝AD， ∴DE＝AE， ∴2AE2＝BD2＋CD2 （2）解：)如图，延长DB到点D'，使BD'＝CD. ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC. ∵∠CDB＝120°，∴∠BAC＋∠CDB＝180°， ∴易知∠DBA＋∠ACD＝180°. ∵∠DBA＋∠ABD'＝180°，∴∠ACD＝∠ABD'， ∴△ABD'≌△ACD， ∴AD'＝AD，∠DAC＝∠BAD'， ∴∠DAD'＝60°， ∴△DAD'是等边三角形， ∴AD＝DD'＝2.当AB⊥DD'时，AB最短，由等边三角形的性质可知，BD＝BD'＝DD'＝1. 由勾股定理，得AB＝＝， ∴AB的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $