第十九章 二次根式 暑假复习专题 2026-2027学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 暑假复习专题聚焦二次根式，通过基础巩固（如最简二次根式判断）、能力提升（如海伦-秦九韶公式应用）、创新应用（如新定义运算）三层设计，培养运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|最简二次根式、意义条件、同类二次根式等基础概念|结合数轴（第7题）考查二次根式化简，体现几何直观| |填空题|8|二次根式化简、求值、新运算定义|第15题新运算设计，培养数学语言表达能力| |解答题|6|计算、化简求值、实际应用、阅读材料|第23题矩形木板问题融合几何与二次根式，第24题阅读材料题提升推理能力，贴合中考命题趋势|

暑假复习专题：第十九章 二次根式 一、单选题 1．下列是最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 2．若在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 3．下列式子中和是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 6．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 7．实数a、b在数轴上对应的位置如图，则（     ） A． B． C． D． 8．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 9．如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式．称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积为（     ） A． B．6 C．18 D． 二、填空题 11．已知是整数，则满足条件的最小正整数n是___． 12．若，其中为最简二次根式，为有理数，___________． 13．若，则__________． 14．已知，，则的值为__________． 15．对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 16．已知，则________． 17．已知，则代数式的值为________． 18．已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为_______． 三、解答题 19．计算： (1)； (2) 20．先化简，再求值：，其中． 21．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 22．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n，如：1※2． （1）求（﹣2）※； （2）若3※m＜－6，化简． 23．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 24．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C D C A C A 1．C 【分析】根据最简二次根式的判定标准：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵，，， ∴选项均不是最简二次根式， 选项的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 2．B 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得， 选项中仅符合要求， 故选：B． 3．D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式； 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为； A选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； B选项：，化简后为整数，不符合要求； C选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； D选项：，最简二次根式的被开方数为，与的被开方数相同， 和是同类二次根式； 4．B 【分析】根据二次根式的除法得到，再进行无理数的估算即可． 【详解】解：． ． 又． ． 即． ． 5．C 【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 6．D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 7．C 【分析】根据数轴确定 a，b 与 1的大小关系，利用二次根式性质和绝对值的性质化简，最后利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由数轴可知 ， ∴， ， ∴ ． 8．A 【分析】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果． 先设小长方形卡片的长为，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为， 根据题意得：， ， 则图②中两块阴影部分周长和是： ， 图②中两块阴影部分的周长和是 故选：A 9．C 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的流程图是解本题的关键． 把代入程序计算即可得到输出结果． 【详解】解：若输入的值为， ， 故选：C． 10．A 【分析】首先根据题目给出的三边长，，，利用公式计算半周长的值，再将计算得到的以及三边长代入海伦—秦九韶公式，计算三角形的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， 把、、、代入面积公式得： 因此△ABC的面积为． 11．2 【分析】本题考查二次根式的定义和化简；先把化简成，再根据是整数分析最小正整数n的值即可. 【详解】解：∵且是整数， ∴是完全平方数， ∴正整数n的最小值是2. 故答案为：2. 12． 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 【详解】解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出和的值，再代入计算表达式． 【详解】解：， 又 ， ， 解得：， 又 ， ， 解得：， ， 故答案为：． 14． 【分析】利用平方差公式分解所求式子，再代入和的值计算，可简化运算过程． 【详解】解：由平方差公式可得 ∵，， ∴． ∴． ∴． 15． 【详解】解：∵新运算定义为，本题中，， ∴． 16．/0.125 【详解】由题意得， 解之得， ∴， ∴． 17．11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 18． 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 根据长方形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个长方形的宽为：． 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）利用平方差公式和完全平方公式展开计算，再合并常数项． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 20．， 【详解】解： ； 当时： 原式 ． 21．(1) (2) 【分析】（1）先求出，然后对因式分解，然后整体代入求值即可； （2）先对因式分解，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：． 22．（1）；（2） 【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得； （2）根据新定义列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围即可得到最终答案． 【详解】解：（1） ； （2）由已知可得：3m<-6， 解之可得：m<-2，即-m>2， ∴2-m>4>0，-m-2>0， ∴． 【点睛】本题考查实数运算的综合应用，熟练掌握新定义运算的解题方法、一元一次不等式的求解及二次根式的性质是解题关键． 23．(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， （2）矩形的长为，宽为， ∴剩余木料的面积； （3）剩余木条的长为，宽为， ∵，， ∴能截出个木条． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $