第十九章 二次根式 暑期专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦二次根式核心概念与运算，通过基础题型与综合应用构建从概念到实践的逻辑链条，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-2、7|考查有意义条件、最简二次根式判定|从定义出发，构建概念认知基础| |运算求解|单选3、8、9，填空11-13，解答16-18|涵盖加减乘除及化简求值|遵循“性质→法则→应用”递进逻辑| |几何应用|单选6，填空14，解答19-20|结合数轴、折叠及三角形周长计算|体现数形结合，强化模型意识| |规律探究|填空15|通过归纳推理发现运算规律|培养推理意识，提升创新思维|

人教版八年级下册数学第十九章《二次根式》暑期专项训练 一、单选题 1.若二次根式Vx- 有意义，则x的取值范围是() A.x≠7 B.x=7 C.x≥7 D.x≤7 x-3 2.下列选项中的数能使二次根式 无意义的是() A.x=3 B.x=2 C.x=4 D.x=5 1 3.计算V2 x/12 的结果为() A.-6 B-6 C.vG D.6 4.下列根式是最简二次根式的是() A.2 B.V1⑧ C.0.3 D. 5.已知a=3+22,b=3-2W2,则a2b-ab2的值为() A.1 B.17 C 4v2 6.若实数m,n在数轴上的位置如图所示，则代数式V(m+n-m-川的化简结果为() n m 0 A.4m 6m B. C 4m D -2m 7.下列命题中，是真命题的是() A.算术平方根等于自身的数只有1 B.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C.三角形一边上的高和这边上的中线重合 1 D.V2是最简二次根式 8.下列运算正确的是（) 试卷第1页，共3页 A.(5=3 B.3a-a=2 C.N2+V3=5 D.(a')=a 9.若a+2=11-6N ,则a=() A.-3 B.3 c.-9 D.9 10.已知x=5-5,y=2+5,则代数式VR+2v+y产+-y-4 的值为() 5 3 5-1 A.2 B.4 C.3-1 D.2 二、填空题 1化简：停 2W3×4V6= 12.计算： 13.已知m=5-1,n=5+1,则m- 14.如图，三角形纸片中，AB=AC,BC=18,∠C=30°，折叠这个三角形，使点B落 在AC的中点D处，折痕为EF,那么BF的长为 B- 15.观察下列各式，然后解答下列的问题： 1x2+2+3=1+ 2x++-1+ 1,1 3×4 ，11 (1)观察以上规律，请写出V++6= 1+ 试卷第2页，共3页 11 三、解答题 16计算(6+6-同)-3面 17.计算： --614- 8+2-3 18.计算 ①2÷5+2-(- 2N6+2v6-2) 试卷第3页，共3页 *5 V3x(W3+2) 19.(1)计算： (2)已知4方为等腰三角形的两边长，且a,b满足b=V3-a+v20-6+4,求此三角形 的周长 20.如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为48cm2和27cm的两个小正方形. 48cm2 27cm2 (1)求大正方形的周长： (2)求剩下部分的面积. 试卷第4页，共3页null 1.1定义与形式 ( 1.2有意义的条件 )一、二次根式的概念与有意义的条件 1.3双重非负性 2. 1性质1:(ja)²=a(a ( 二、二次根式的性质 )2.2性质2: √a² = lal 形如 含有二次根号“ ( 被开方数 aa 必须是非负 )两个关键要素： 易错点： √-4 -4 基本规则：被开方数≥0 √x-3 ×-3 常见题型变式： × √a≥0 a √x-1+√ 1-x x-1 应用：若 √a+Ibl+(c-1)²=0 a 考点提示：常用于求代数式的值或解方程组 含义：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 逆用：a=(a)²a=(a 示例：x²-2=(x+√2)(x-√2) 含义：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 当 a≥0a≥0 时 ， 重点化简规则： 当a<0a<0 时 ， 二次根式(人教版八年级下册) 三、最简二次根式， 四、二次根式的运算 五、常见易错点与备考策略， 易错陷阱：(-3)²= √9=3(-3)2 积的性质： √ab=va·√ b ab 2.3积与商的算术平方根 商的性质： = ba 作用：用于二次根式的化简和乘法/除法运算 被开方数不含分母 同时满足以下两个条件： 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 3.1定义标准 √88 21 示例判断： √x² (33)+y² 利用商的性质或分子分母同乘，将分母移出根号 第一步：去分母 例： 3.2化简步骤 分解被开方数，将完全平方数开出 ( 第二步：开方 )例： √ 12= √ 4×3=2 √ 312 第三步：整理 确保结果符合最简二次根式定义 前提：先化为最简二次根式 ( 忽略隐含条件 a≥0a≥0, 导致取值范 对策：看到根号，第一时间标注被开方数非负 误用分配律： √ a+b≠√a+ √b 漏掉括号导致符号错误，特别是在处理- √ a² 对策：严格遵循先乘除后加减，有括号先算括号内 结果未化为最简二次根式 分母中含有根号 对策：养成“最后一步检查是否最简”的习惯 )法则：同类二次根式(被开方数相同)才能合并 4.1加减法：合并同类二次根式 乘法： √a·√b=√ab 除法： ( 4.2乘除法 )=b 扩展公式： 4.3混合运算与乘法公式应用 混淆 √a² √8+ √ 18=2 √2+3 √2=5 √28 示例： √2+ √32 教学建议：类比整式中的“合并同类项”,强调“先看后算” a (ya)²=a va · √ b √ 匹 =√ abc a 整数运算律(交换律、结合律、分配律)同样适用 平方差公式：(ya+√b)(ja-√b)=a-b(a 完全平方公式：(a±√ b)²=a±2 √ab+b(a 单项分母： 分母有理化 多项分母： a2 5.1符号问题 5.2运算顺序与括号 5.3结果规范性 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级下册第十九章《二次根式》核心考点背诵清单 一、 核心定义与有意义条件 1. 二次根式的定义 · 形式：形如 ( ) 的式子叫做二次根式。 · 双重非负性： 1. 被开方数非负： 2. 算术平方根非负： 2. 有意义的条件（必考） · 单个根式： 有意义 。 · 分式中含根式： 有意义 （分母不为零且被开方数非负）。 · 复合情况：若式子为 ，需同时满足 且 。 二、 四大基本性质（背诵核心） 性质1： ( ) · 记忆口诀：先开方后平方，结果等于原数（前提是非负）。 · 应用：用于去根号或构造完全平方式。 性质2： · 记忆口诀：先平方后开方，结果等于绝对值。 · 注意：务必讨论 的正负，这是化简 类题目的关键。 性质3：积的算术平方根 ( ) · 逆向应用： ，用于乘法运算。 · 推广： ( )。 性质4：商的算术平方根 ( ) · 逆向应用： ，用于除法运算。 三、 最简二次根式与同类二次根式 1. 最简二次根式（两个标准） 一个二次根式若满足以下两点，即为最简二次根式： 1. 被开方数不含分母（即分母中不含根号，需分母有理化）。 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即提取所有完全平方因子）。 · 示例： 不是最简，应化为 ； 不是最简，应化为 。 2. 同类二次根式 · 定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 · 作用：只有同类二次根式才能合并（加减运算）。 · 示例： 和 是同类二次根式，因为 ， ，被开方数均为 2。 四、 运算法则与公式 1. 加减法 · 步骤：一化（化为最简）、二找（找同类）、三合并。 · 公式： ( )。 2. 乘除法 · 乘法： ( )。 · 除法： ( )。 3. 混合运算律 · 整式的运算律（交换律、结合律、分配律）及乘法公式在二次根式中同样适用。 · 平方差公式： 。 · 完全平方公式： 。 五、 分母有理化 1. 单项分母 · 方法：分子分母同乘分母的有理化因式。 · 示例： 。 2. 多项式分母（利用平方差） · 示例： 。 六、 易错点警示 1. 忽略隐含条件：看到 必须反应出 ；看到 必须反应出 。 2. 符号错误： ，而不是 。牢记 。 3. 乱用分配律： ； 。 4. 未化简彻底：计算结果必须化为最简二次根式，否则会被扣分。 5. 字母取值范围：在进行 化简时，若 ，则原式无意义；若化简结果为 ，需保证 符号符合定义域。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级下册数学第十九章《二次根式》暑期专项训练 解析 一、单选题 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选C． 2．下列选项中的数能使二次根式无意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式无意义要求被开方数小于，据此列式计算，得出，结合选项的数值进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次根式无意义， ∴， 解得， 观察四个选项的数值，唯有符合题意． 3．计算的结果为（　　） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则，先将两个根号内的数相乘，再化简结果，并注意符号的处理． 【详解】解：， 故选：B． 4．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的定义．当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号里面没有分母，即为最简二次根式，由此即可求解． 【详解】解：A. 是最简二次根式，符合题意； B. ，故该选项不是最简二次根式，不符合题意； C. ，故该选项不是最简二次根式，不符合题意； D. ，该选项不是二次根式，不符合题意． 故选：A． 5．已知，，则的值为（    ） A．1 B．17 C． D． 【答案】C 【分析】把所给式子先进行因式分解，再整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 6．若实数在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图得出，根据二次根式性质化简，再化简绝对值，最后合并即可. 【详解】解：由数轴可知 ， ，， 原式 . 7．下列命题中，是真命题的是（    ） A．算术平方根等于自身的数只有1 B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C．三角形一边上的高和这边上的中线重合 D．是最简二次根式 【答案】B 【分析】本题考查判断命题真假，涉及算术平方根，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，最简二次根式，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的概念，全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，最简二次根式的概念逐一判断选项即可 【详解】解：A、算术平方根等于自身的数为1和0，故原命题为假命题； B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原命题为真命题； C、只有等腰三角形底边上的高和中线才重合，一般三角形不一定，故原命题为假命题； D、不是最简二次根式，故原命题为假命题， 故选B． 8．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根，幂的乘方，二次根式的加减，整式的加减计算即可． 本题考查了算术平方根，积的乘方，二次根式的加减，整式的加减，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. ，选项A正确；     B. ，选项B错误； C. ，与不是同类二次根式无法计算，选项C错误； D. ，选项D错误； 故选：A． 9．若，则（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】利用完全平方公式展开左边，根据等式两边无理数部分系数相等列方程，即可求出a． 【详解】解：，， ∴， 解得． 10．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 二、填空题 11．化简：________． 【答案】 【详解】解：． 12．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据计算，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．已知，，则______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．把变形为，把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 14．如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点B落在的中点D处，折痕为，那么的长为___________． 【答案】7 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，由，，，可得AC的长，由点D是AC的中点，可得CD的长，再根据直角三角形的性质，可求得DG，CG的长，进而可得BG的长，设BF=x，则FG=-x，FD=BF=x，在△DFG中，由勾股定理列方程可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G， ∵，， ∴， 在Rt△AHC中，∠C=30°， ∴AC=2AH，， ∴， 又∵点D是AC的中点， ∴， ∴， ， ∴， 设BF=x，则FG=-x，FD=BF=x， 在Rt△DFG中，由勾股定理可得， ，即， 解得x=7， 故答案为7 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、折叠的性质、勾股定理等，准确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 15．观察下列各式，然后解答下列的问题： （1）观察以上规律，请写出_____ （2）计算的结果为______． 【答案】 【分析】先观察已知等式，归纳得到一般规律，根据规律直接写出（1）的结果，根据规律展开原式，再利用裂项相消法对（2）计算求和即可. 【详解】根据已知式子可归纳得到规律： （1）当时，代入规律得：； （2）根据规律展开原式，得： 原式 ． 三、解答题 16．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． 先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算减法即可． 【详解】解： ． 17．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简，二次根式的加减运算，掌握实数的运算法则和二次根式的运算法则是解题的关键 （1）根据乘方的定义、零指数幂和负整数指数幂分别运算，再相加减即可求解； （2）先对二次根式进行化简，再进行同类二次根式的加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） 18．计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式                      （2）解：原式                                                          19．（1）计算：； （2）已知a、b为等腰三角形的两边长，且a、b满足，求此三角形的周长． 【答案】（1）；（2）10或者11． 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算及二次根式的性质化简计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件求得的值，再根据等腰三角形的性质求得三角形的周长． 【详解】（1） ； （2）由题意得：， 解得， ， ， 等腰三角形的三边长为或者， 等腰三角形的周长为：或者． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，二次根式有意义的条件，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 20．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形． (1)求大正方形的周长； (2)求剩下部分的面积． 【答案】(1)大正方形的周长为 (2)剩余图形的面积为 【分析】（1）先利用算术平方根的意义和二次根式的性质求得两正方形的边长，然后求和即可； （2）用大正方形的面积减去阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为和， 正方形的边长分别为，， 大正方形的周长为； （2）解：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $