3.4圆周角（第2课时）课件2026-2027学年数学苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角定理推论（直径对直角、直角对直径）及圆内接四边形性质（对角互补、外角等于内对角），通过“温故知新”复习圆心角、弧的度数等旧知，以“顶点在圆上的角与圆心角的不同”引发思考，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于采用“操作—猜想—分类—证明”探究流程，结合三角尺确定直径、检查半圆形零件等实例，发展学生几何直观（数学眼光）与推理意识（数学思维），规范符号语言表达（如直径与直角互推的符号表述）强化模型意识（数学语言）。易错提醒与课堂小结助力学生夯实基础，教师可高效组织教学，提升学生知识应用能力。

3.4 圆周角（2） 第三章 圆 学习目标 过程与方法 知识与技能 理解圆周角的概念，能正确识别圆周角 掌握圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半 能运用圆周角定理进行简单的计算和证明 经历“操作—猜想—分类—证明”的探究过程，体会分类讨论和转化的数学思想 02 01 圆心角的定义：顶点在圆心的角叫作圆心角 弧的度数：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 等腰三角形的性质：等边对等角 思考：顶点在圆上的角与顶点在圆心的角有什么不同？ 温故知新 C A B 获取新知 O m 直径所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径． 于是，我们得到圆周角定理的推论： 分析两句话的条件与结论，你有什么发现？ 你能用符号语言表述这两句话吗？ 符号语言：∵ BC为⊙O的直径，∴ ∠BAC＝90°． ∵ ∠BAC＝90°，∴ BC为⊙O的直径． 例2 证明：以圆的两条直径为对角线的四边形是矩形． 例题讲解 O A B C D 证明：∵ AC 是直径， ∴ ∠ABC＝∠ADC＝90°（圆周角定理的推论）． 同理可得∠BAD＝∠BCD＝90°． ∴ 四边形ABCD是矩形． 求证：四边形ABCD是矩形． 已知：如图，在⊙O中，AC，BD是直径， 连接 AB，BC，CD，DA． 新知讲解：圆周角定理的推论 当圆周角所对的弧是半圆时（如图，BC为直径）： 推论1：直径所对的圆周角是直角 反过来：如果一个圆周角是，那么它所对的弦是直径 推论2：的圆周角所对的弦是直径 新知讲解：两个推论的应用价值 推论1应用：已知直径 → 得直角 → 可证垂直、构造直角三角形 推论2应用：已知圆周角为 → 得直径 → 可确定圆心、证明共圆 拓展：利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径——将三角尺的直角顶点放在圆周上，斜边即为直径 新知巩固 1．利用三角尺可以确认图中的弦 AB 是圆的直径，为什么？ C A B 解：因为“90°的圆周角所对的弦是直径”，所以，由∠C＝90°，可知弦 AB 是圆的直径． 思考：你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？ 利用上述方法，确定出圆的两条直径，交点即为圆心． 新知巩固 2．如图,工人师傅用直角曲尺检查半圆形的零件,哪个是合格的为什么？ 解：(2)是合格的，因为工件凹面所对的弦是直径，而直径所对的弧是半圆． 例题 1 证明：以圆的两条直径为对角线的四边形是矩形。 已知：如图，在中，AC、BD是直径，连接AB、BC、CD、DA。 求证：四边形ABCD是矩形。 ∵ AC是直径， ∴ ∠ABC = ∠ADC = 90°（圆周角定理的推论）。 同理可得∠BAD = ∠BCD = 90°。 ∴ 四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。 例题 2 利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径，为什么？ 将三角尺的直角顶点放在圆周上，两条直角边分别交圆于A、B两点，则∠ACB = 90°。根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知弦AB是直径。 新知巩固 3．如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠DCB＝30°．求∠ABD的度数． A B C O D 解：∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ADB＝90°． ∵ ＝，∠DCB＝30°， ∴ ∠DAB＝∠DCB＝30°， ∴ ∠ABD＝180°－∠ADB－∠DAB ＝180°－90°－30° ＝60°． 探究交流 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，它的内角之间有怎样的数量关系？ A B D C · O 因为∠A所对的弧为，∠C所对的弧为， 而和 的度数的和为360°， 所以 ∠A＋∠C＝×360°＝180°， 同理，∠B＋∠D＝180°. 例题 3 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角。 求证：∠CBE = ∠D。 ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形对角互补）。 又∵ ∠ABC + ∠CBE = 180°（邻补角定义）， ∴ ∠CBE = ∠D。 圆周角的顶点必须在圆上，在圆内或圆外都不是圆周角 圆周角的两边必须都和圆相交（两边都必须是弦），一边是切线不算圆周角 同弧所对的圆周角相等，但同一条弦所对的圆周角不一定相等（弦两侧的圆周角互补） “圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”——前提是同弧 易错提醒 新知归纳 圆内接四边形的对角互补． 于是，我们得到圆内接四边形的性质： 符号语言：∵ 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴ ∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°． └ E A C D B O 例题讲解 例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D．求证：AC＝BD． 方法1：连接OA，OB，OC，OD． 证明△OAC≌△OBD(或证明△OAD≌△OBC)． 方法2：连接OA，OB，OC，OD．过点O作OE⊥AB于点E，利用等腰三角形的性质证明． 方法3：过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证． 哪种方法更简洁？ └ E A C D B O 例题讲解 例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D．求证：AC＝BD． 解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E． ∵ OE⊥AB， ∴ AE＝BE，CE＝DE (垂径定理)． ∴ AE－CE＝BE－DE， 即 AC＝BD． 方法总结：同心圆，共弦长，作垂线，分两双；大圆小圆各平分，等量相减得短长． 新知巩固 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角． 求证：∠CBE＝∠D． B D A O E C 证明：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠D＋∠ABC＝180°． ∴ ∠D＝180°－∠ABC． ∵ ∠CBE＋∠ABC＝180°， ∴ ∠CBE＝180°－∠ABC． ∴ ∠CBE＝∠D． 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 新知巩固 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，判断∠BOD与∠BCD 的数量关系． B A C D O 证明：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠BAD＋∠BCD＝180°． ∵ ∠BAD＝∠BOD， ∴ ∠BOD＋∠BCD＝180°． 垂径定理中的“直径”是过圆心的直线（弦所在直线），理解成线段也可以 2. 定理中的弦不能是直径（直径被平分但不一定垂直于另一条直径） 3. 运用垂径定理时，常需连接半径构造直角三角形，不要忘记连接辅助线 4. 利用垂径定理求值时，注意方程中r的表达式要正确 易错提醒 归纳总结 2．与圆周角有关的问题：弦的条件需转化成弧的条件． 1．对于圆内接多边形: 角：既可以看作是多边形的内角，也可以看作是圆的圆周角； 线段：既可以看作是多边形的边，也可以看作是圆的弦． 课堂小结 这节课，你的收获是--- 课堂小结 3.4 圆周角（2） 圆周角定理的推论：直径⇒直角；直角⇒直径 圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补； 推论：外角等于内对角 核心解题思路：①见直径，想直角；②见四点共圆，想对角互补 核心数学思想：特殊到一般；转化 谢谢大家聆听 $