3.4 圆周角 课时2 圆周角定理的推论 课件 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“圆周角定理的推论”，核心内容为直径所对圆周角是直角及90°圆周角所对弦是直径。课堂导入通过木匠用三角尺找圆形木板直径的生活情境，结合温故知新环节复习圆周角定理、半圆概念等，以问题“半圆所对圆周角是多少度”搭建新旧知识桥梁，形成学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，如用三角尺找直径引导学生观察现实问题；通过定理到推论的推理过程发展数学思维，如从圆周角定理特殊化得出推论；以例题（如证明对角线为直径的四边形是矩形）和分层练习强化数学语言表达与应用意识。这有助于学生理解知识本质，教师可借此提升教学效率与学生推理、应用能力。

第三章 圆 3.4 圆周角 3.4.2 圆周角定理的推论 学习目标 过程与方法 知识与技能 掌握圆周角定理的两个推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 能运用推论证明一个四边形是矩形（两条直径作对角线） 能运用推论解决与圆有关的几何问题 经历从定理到推论的推理过程，体会“特殊化”是获得新结论的重要途径 02 01 课前自主·知识预习奠基 圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半 半圆的概念：直径的两个端点将圆分成的两条弧 矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形 思考：当圆周角所对的弧是半圆时，这个圆周角是多少度？ 温故知新 木匠师傅需要用一把三角尺来检验一块圆形木板的直径。他没有圆规，也没有刻度尺，只用一把三角尺就准确地找出了直径的位置。他把三角尺的直角顶点放在圆周上，两条直角边分别交圆于两点，连接这两个交点，说：“这条线就是直径。” 情境导入 问题：三角尺的直角顶点在圆上，斜边一定经过圆心吗？这里面有什么数学道理？ 新知讲解：圆周角定理的推论 当圆周角所对的弧是半圆时（如图，BC为直径）： 推论1：直径所对的圆周角是直角 反过来：如果一个圆周角是，那么它所对的弦是直径 推论2：的圆周角所对的弦是直径 新知讲解：两个推论的应用价值 推论1应用：已知直径 → 得直角 → 可证垂直、构造直角三角形 推论2应用：已知圆周角为 → 得直径 → 可确定圆心、证明共圆 拓展：利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径——将三角尺的直角顶点放在圆周上，斜边即为直径 例题 1 证明：以圆的两条直径为对角线的四边形是矩形。 已知：如图，在中，AC、BD是直径，连接AB、BC、CD、DA。 求证：四边形ABCD是矩形。 ∵ AC是直径， ∴ ∠ABC = ∠ADC = 90°（圆周角定理的推论）。 同理可得∠BAD = ∠BCD = 90°。 ∴ 四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。 例题 2 利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径，为什么？ 将三角尺的直角顶点放在圆周上，两条直角边分别交圆于A、B两点，则∠ACB = 90°。根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知弦AB是直径。 例题 3 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角。 求证：∠CBE = ∠D。 ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形对角互补）。 又∵ ∠ABC + ∠CBE = 180°（邻补角定义）， ∴ ∠CBE = ∠D。 圆周角的顶点必须在圆上，在圆内或圆外都不是圆周角 圆周角的两边必须都和圆相交（两边都必须是弦），一边是切线不算圆周角 同弧所对的圆周角相等，但同一条弦所对的圆周角不一定相等（弦两侧的圆周角互补） “圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”——前提是同弧 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1、如图，在中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若，则（ ） A. B. C. D. D 【解析】， 是的直径，， . 基础过关练 2、如图是用制作的表盘模型，其中点A与B分别与整钟点“2时”“6时”重合，要使，则点C应位于（ ） A.“7时”处 B.“8时”处 C.“9时”处 D.“10时”处 B 【解析】，是的直径，即点A与整钟点“2时”重合，整钟点“2时”与整钟点“8时”相对，点C应位于“8时”处. 基础过关练 3、如图，AB为的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，点D与圆心O不重合，，则的度数为 . 基础过关练 【解析】如图，连接是直径，.， .所对的圆周角为，所对的圆周角为.由翻折的性质得， ， 。 基础过关练 4、如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，AC=．在图中画出弦AD，使AD=1，则的度数为 . 或 基础过关练 【解析】如图，连接CB，则.在中，， ，. ①当AD与AC在直径AB的两旁时，连接OD. 为等边三角形，.②当AD(D')与AC在直径AB的同旁时，同理可得.综上，或. 基础过关练 5、如图，AB是的直径，弦于点E，连接AD，BD. （1）求证：； （2）作于点F，若的半径为，求OF的长. 基础过关练 5、如图，AB是的直径，弦于点E，连接AD，BD. （1）求证：； 【证明】是直径，，.，，. 基础过关练 5、如图，AB是的直径，弦于点E，连接AD，BD. （2）作于点F，若的半径为，求OF的长. 【解】如图，连接OD.，在中，.，. 课后测评·学业效果巩固 1. 如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆上的点，D 是 上的点。连接 AC，AD，CD。若 ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 课后测评 B 【解析】连接 BD，如图。 是半圆 O 的直径，。 ，， 。 2. 如图，A, B, C, D 均为圆周上的十二等分点，用直尺测量弦 CD 的长时，发现 C 点、D 点分别与刻度 1 和 4 对齐，则 A, B 两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 6 课后测评 C 课后测评 【解析】如图，连接 AD，取 AD 的中点 O，由圆的对称性可知 AD 为 的直径。连接 AC, OC。 A, B, C, D 均为圆周上的十二等分点， ，，。 ， 为等边三角形。 C 点、D 点分别与刻度 1 和 4 对齐， ，， 。 AD 为 直径，， ， 。故选 C。 3. 如图，点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的动点，D 在 BC 上，且 BD = 2CD，点 E, F, G 分别是 AC, DE, AD 的中点。若 AB = 12，则 面积的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 课后测评 B 课后测评 【解析】设 。 O, E, F, G 分别是 AB, AC, DE, AD 的中点， 。 。 是直径，。 。 ， ， ， 的面积的最大值为 3。 4. 如图， 内接于 ，将 绕点 A 逆时针旋转得到 ，点 C 的对应点 E 在 上，连接 BE，则四边形 ACBE 的面积（ ） A. 只与 AC 的长有关 B. 只与 AB 的长有关 C. 只与 BC 的长有关 D. 只与 BE 的长有关 课后测评 B 课后测评 【解析】如图，连接 AO, CE，过点 A 作 于点 F，过点 B 作 于点 G。 将 绕点 A 逆时针旋转 得到，点 C 的对应点 E 在 上， 是直径，。 点 F, O 重合，， 。 是直径，是定值， 是定值。 是直径，， ， 的值与 的值有关，或与 BG 的长有关。 当点 B 的位置变换，即线段 AB 的长改变时，BG 的长改变，随之 改变。 ， 四边形 ACBE 的面积改变， 四边形 ACBE 的面积只与 AB 的长有关，故选 B。 5. 如图，AB 是 的弦，半径 于点 C，AE 为直径，AB = 8, CD = 2，则线段 CE 的长为 。 课后测评 课后测评 【解析】连接 BE，如图。 是 的弦，半径 于点 C， 。 在 中，， 解得 。 分别是 AE, AB 的中点， 是 的中位线， 。 为 的直径，。 在 中，。 6. 如图，点 A, B, C, D 在圆上，，点 D 为 的中点，AC = 1, DB = 2，连接 AB，则 BC 的长为 。 课后测评 【解析】如图，连接 AD。 是直径，。 点 D 为 的中点，， 。 在 中，。 7. 如图，在直角 中，，点 D 是 AC 边上一动点，连接 BD，作 于点 E，连接 CE，则线段 CE 长度的最小值为 。 课后测评 课后测评 【解析】 于点 E， 点 A, B, E 在以 AB 为直径的圆上。 如图，取 AB 的中点 O，连接 EO, CO，则 ， 当 C, E, O 三点共线时，CE 的长度最小。 。 在 中，， 在 中，， CE 长度的最小值为 。 8. 如图，AB，CD 是 的直径，，AB=2，点 E 是弧 BC 上一动点（不与 B，C 重合），连接 BE, CE, DE，DE 与 AB 交于点 F。 (1) 求 的度数。 (2) 若点 E 是弧 BC 的中点，求证：EF = EB。 课后测评 8. 如图，AB，CD 是 的直径，，AB=2，点 E 是弧 BC 上一动点（不与 B，C 重合），连接 BE, CE, DE，DE 与 AB 交于点 F。 (1) 求 的度数。 课后测评 【解析】如图 ，连接 CB。 是 的直径，。 ，。 ，。 。 。 8. 如图，AB，CD 是 的直径，，AB=2，点 E 是弧 BC 上一动点（不与 B，C 重合），连接 BE, CE, DE，DE 与 AB 交于点 F。 (2) 若点 E 是弧 BC 的中点，求证：EF = EB。 课后测评 【解析】如图，连接 BC, BD。 点 E 是弧 BC 的中点，，。 由 (1) 知 ， 。 ，。 是 的外角，。 。。 课堂小结 第三章 圆 3.4 圆周角 3.4.2 圆周角定理的推论 $