第25章 一元二次方程的判别式 专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别式，通过阶梯式题型构建从概念理解到综合应用的知识逻辑链，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|1题|直接求判别式值|从Δ=b²-4ac公式切入，夯实概念基础| |根的判断|4题|选择/填空判断根的情况|应用Δ与0的大小关系，建立“计算-判断”思维| |参数取值|6题|已知根的情况求参数范围|逆向运用判别式，强化符号运算与推理| |综合证明|5题|证明根的情况/结合几何应用|深化逻辑论证，构建“判别式-方程-几何”模型|

1. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）． A. B. C. D. C 、 、 、 、 故答案为 ，故 有两个相等的实数根； ，故 无实数根； ，故 有两个不相等的实数根； ，故 有两个相等的实数根； ． 【知识点】一元二次方程根的判别式 2. 已知关于的一元二次方程． （ 1 ）利用根的判别式判断方程根的情况． （ 2 ）当为最大的负整数时，求方程的根． （ 1 ）一元二次方程有两个不相等的实数根． （ 2 ） ， ． （ 1 ）已知 ， ∵ ∴即 ， ， ． ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）当 为最大的负整数 时．方程为 ， ∴ ， 10 学科网（北京）股份有限公司 那方程的根为 ， ， ． 【知识点】因式分解法求一元二次方程的根 3. 请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是；②方程有两个相等的实数根．此方程可以是 ． 答案不唯一 设方程为 ，有两个相等的实数根， 则 ， 设 ，则 ． 故方程可以是 ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 4. 解关于的方程，有两个不相等的实数根． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）若为整数，且，是方程的一个根，求代数式 的值． （ 1 ） （ 2 ） ． 且 ． （ 1 ）∵ ∴ 有两个不相等的实数根， ，解得 且 ， ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∴ ∴ 的取值范围为 为整数，且 且 ， 且 ， ， ． ， ， ∵ 是方程的一个根， ∴ ， ∴代数式 ， ， ， ∵ ∴ ∴将 ， ， ， ， 代入 ， ，得 ， ∴代数式 的值为 ． 【知识点】利用根求代数式的值 5. 已知关于的两个一元二次方程：． 方程①： ， 方程②： （ 1 ）若方程①有两个相等的实数根，求：的值． （ 2 ）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根． （ 3 ）若方程①和②有一个公共根，求代数式 的值． （ 1 ） ． （ 2 ）方程①没有实数根，说明见解析． （ 3 ）代数式的值为 ． （ 1 ）∵方程①有两个相等的实数根， ∴ ， 则 ∵ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ （ 2 ）∵ ． 6. 已知方程，根据下列条件，求的值．． ∴无论 为何值时，方程②总有实数根． ∵方程①、②只有一个方程有实数根， ∴此时方程①没有实数根． （ 3 ）根据 是方程①和②的公共根， ∴ ③， ④， ∴③ 得： ⑤+④得：代数式 ⑤， ， ， ， ， 故代数式的值为 ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 （ 1 ）方程有两个相等的实数根． （ 2 ）方程有两个相反的实数根． （ 3 ）方程的一个根为． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ， ． ． ． （ 1 ）∵ ∴ ， ． ∵方程有两个相等的实数根， ∴令 即 且 ， ， ， ， ． ． （ 2 ）∵方程有两个相反的实数根， ∴ ． ∵ ， ∴ ． （ 3 ）∵方程有一个根为 ， ∴当 时， ． ， 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 7. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （ 1 ）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． （ 2 ）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． （ 3 ）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 是等腰三角形，理由见解析． 是直角三角形，理由见解析． ， ． （ 1 ）当 时，方程为 ，整理得 ， ∴ 是等腰三角形． （ 2 ）∵方程有两个相等的实数根， ∴ ， ， 整理得 ， ∴ 是直角三角形． （ 3 ）∵ 是等边三角形， ∴ ∴原方程为 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ． 【知识点】因式分解法求一元二次方程的根 8. 回答下列问题： （ 1 ）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案，并说出理由． （ 2 ）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ） ， ， ， ， ， ． ， ∴无论 为何值， 方程恒有 个不等实根． （ 2 ） ， ， ， ， ， （舍）， ， ∴ ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 9. 已知关于的一元二次方程． （ 1 ）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （ 2 ）若是方程的一个实数根，求的值． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∵无论 取何值， ， 恒大于 ， ∴原方程总有两个不相等的实数根． （ 2 ）∵ 是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得： ， 解得： ． 【知识点】一元二次方程根的判别式 10. 已知关于的方程 ． （ 1 ）求证：方程恒有两个不相等的实数根． （ 2 ）若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）方程的另一个根为 ．以 ， 为边长的直角三角形的周长为 ． 或者 （ 1 ） ∵ ∴即 ． ， ， ， ∴方程恒有两个不相等的实数根． （ 2 ）∵方程的一个根是 ， ∴将 得 代入 ， ， ∴原方程为 解得 ， ， ， ∴方程的另一个根为 ． 当 ， 为直角三角形的两直角边时，第三边为 ， ∴周长为 ， 当 为直角边， 为直角的斜边时，第三边为 ， ∴周长为 ， ∴以 ， 为边长的直角三角形的周长为 或者 ． 【知识点】一元二次方程根的判别式 11. 已知关于的方程． （ 1 ）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （ 2 ）若方程有两个异号的实数根，求的取值范围． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ） ， ， ∵ ∴ ， ， （ 2 ） ∴无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根． ， ， ， ∵方程有两个异号的实数根， ∴ ，解得 ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 12. 已知关于的方程． （ 1 ）求证：此方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）设此方程的两个根分别为，，其中 ，若，求的值． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ） ， ， ， ， ， ， ， ∴方程有两个不相等实根． （ 2 ） ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】一元二次方程根的判别式 13. 已知关于的一元二次方程 ． （ 1 ）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （ 2 ）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 的值为 ，方程的另一个根为 ． （ 1 ）方法一：原方程可化为 ∴ ． ． ∵ ， ∴ ∴对于任意实数 方法二： ， ，方程总有两个不想等的实数根． ， ， ， 而 ， ， 方程总有两个不相等的实数根． （ 2 ）方法一：把 代入原方程，得 ， ∴ 把 ∴ ∴ ． 代入原方程，得 ， ， 的值为 ． ，方程的另一个根为 ． 方法二： 方程的一个根是 ， ， 解得： 原方程为：解得： 即 的值为 ， ， ， ． ，方程的另一个根是 ． 【知识点】一元二次方程根的判别式 14. 已知关于的方程 ． （ 1 ）求证：方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）当为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此方程的解． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ， ， ． （ 1 ） ∵ ∴即 ， ， ， ， 所以方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）设方程的两个根为 ， ，由题意得： ，即 ，解得 ， 当 当 解得： 时，方程两根互为相反数， 时，原方程为 ， ， ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 15. 已知一元二次方程 ． （ 1 ）求证：方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为．当是等腰三角形时，求的值． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 或 ． （ 1 ）∵一元二次方程 ， ， ∴此方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）∵ 的两边 、 的长是这个方程的两个实数根， 由（ ）知， ∴必然有 ， 第三边 的长为 ，且 是等腰三角形． 或 ，即 将 得 当 解得 代入方程 是原方程的一个根． ， ，解得 或 ． 时，原方程为 ， ， ， 以 ， ， 为边长能构成等腰三角形． 当 解得 时，原方程为 ， ， ， 以 ， ， 为边长能构成等腰三角形． ∴ 的值是 或 ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 $ 1. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程． （ 1 ）利用根的判别式判断方程根的情况． （ 2 ）当为最大的负整数时，求方程的根． 3. 请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是；②方程有两个相等的实数根．此方程可以是 ． 4. 解关于的方程，有两个不相等的实数根． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）若为整数，且，是方程的一个根，求代数式 的值． 5. 已知关于的两个一元二次方程：． 方程①： ， 方程②： （ 1 ）若方程①有两个相等的实数根，求：的值． （ 2 ）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根． （ 3 ）若方程①和②有一个公共根，求代数式的值． 6. 已知方程，根据下列条件，求的值． （ 1 ）方程有两个相等的实数根． （ 2 ）方程有两个相反的实数根． （ 3 ）方程的一个根为． 7. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （ 1 ）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． （ 2 ）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． （ 3 ）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 8. 回答下列问题： （ 1 ）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案，并说出理由． （ 2 ）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 9. 已知关于的一元二次方程． （ 1 ）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （ 2 ）若是方程的一个实数根，求的值． 10. 已知关于的方程． （ 1 ）求证：方程恒有两个不相等的实数根． （ 2 ）若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 11. 已知关于的方程． （ 1 ）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （ 2 ）若方程有两个异号的实数根，求的取值范围． 12. 已知关于的方程． （ 1 ）求证：此方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）设此方程的两个根分别为，，其中 ，若，求的值． 13. 已知关于的一元二次方程 ． （ 1 ）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （ 2 ）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 14. 已知关于的方程． （ 1 ）求证：方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）当为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此方程的解． 15. 已知一元二次方程． （ 1 ）求证：方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为．当是等腰三角形时，求的值． $ 1. 方程 的判别式的值等于 ． ． 【知识点】一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程的根的情况为（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 B 根据题意 ∴方程有两个不相等的实数根．故选： ． ， 【知识点】一元二次方程根的判别式 3. 下列一元二次方程中没有实数根是（ ）． A. B. C. D. D A． B． C． D． ，方程有两个不相等的实数根． ，方程有两个相等的实数根． ，方程有两个不相等的实数根． ，方程没有实数根． 【知识点】一元二次方程根的判别式 4. 方程的根的情况是（ ）． A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 10 学科网（北京）股份有限公司 C. 方程没有实数根 D. 方程的根的情况与的取值有关 A 由方程 可得 ， ∴方程有两个不相等的实数根，故答案为 ． 【知识点】一元二次方程根的判别式 5. 对于任意实数，关于的一元二次方程的根的情况是 ． 有两个不相等的实数根 ， ∵ ∴ ∴方程 ， ， 有两个不相等的实数根． 【知识点】一元二次方程根的判别式 6. 已知关于的一元二次方程 ． （ 1 ）当时，利用根的判别式判断方程根的情况． （ 2 ）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的，的值，并求出此时方程的根． （ 1 ）原方程有两个不相等的实数根． （ 2 ） ， ，（答案不唯一）满足 的 、 值，则符合题意． （ 1 ） ∵ ∴ ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根． （ 2 ） ， ，（答案不唯一） ∵方程 ∴ ∴ ∴ 满足 有两个相等的实数根， ， ， ， 的 、 值，则符合题意． 【知识点】一元二次方程根的判别式 7. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． ∵方程 ∴ ∴ 有两个相等的实数根， ， ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 8. 如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 由于方程没有实数根，故 ，解得 ． 【知识点】一元二次方程根的判别式 9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 且 D ∵关于 的方程 ∵该方程有两个不相等的实数根，∴ 即 ∴ ，解得 是一元二次方程，∴ ， ． ． 且 ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 10. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. A ∴ 分为两种情况： 时，方程时， ． 为一元一次方程，一定有实数根， ， 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 11. 关于的一元二次方程 无实数根，写出一组满足条件的实数，值： ， ． ; ∵关于 的一元二次方程 ， 无实数根， ∴ ∴ ． ∴ 符合要求． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数、的值： ， ． （答案不唯一，满足 即可） 且 即可） ; （答案不唯一，满足 且 ∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴ 即 ∴ ， ， ， ， （ ） 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 13. 一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. A 一元二次方程 ∵一元二次方程有实数根， ∴ 可化为 ， ， 解得 ． 【知识点】一元二次方程根的判别式 14. 若关于的方程有实数根． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）若为符合条件的最小整数，求此时方程的根． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ） ∵该方程有实数根， ． ∴ ． 解得 ． （ 2 ）当 为符合条件的最小整数时， ． 此时方程化为 ，方程的根为 ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 15. 若关于的方程有两个相等实根，则代数式的值为 ． ∴ ∵关于 的方程 ． 有两个相等实根， ∴代数式 的值为 ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 16. 已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）当取满足条件的最大整数时，求方程的根． （ 1 ） 的取值范围是 （ 2 ）方程的根为 且 ， ． ． （ 1 ）∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ 且 ， ， 解得 且 ． ∴ 的取值范围是 且 ． （ 2 ）在 且 此时，方程化为 ∴方程的根为 的范围内，最大整数为 ． ． ， ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 17. 已知关于的方程． （ 1 ）若该方程的两个相等的实数根，求实数的取值范围． （ 2 ）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根． （ 1 ） （ 2 ） ． ， ． （ 1 ） ， ， ， ， ， ， ， ， ． （ 2 ）把 代入原方程中， ， ， ， 把 ， 代入 ， ， ， ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 18. 回答下列问题： （ 1 ）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （ 2 ）已知关于的一元二次方程．求证：此方程总有两个不相等的实数根． （ 1 ） 且 ． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵关于 的一元二次方程 ∴ 且 有两个不相等的实数根， ， 解得： ， 即 的取值范围是 （ 2 ） 且 ， ． ， ∵不论 为何值， ， ∴ ， 即此方程总有两个不相等的实数根． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 19. 已知关于的方程． （ 1 ）求证：方程总有两个不相等的实数根． （ 2 ）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ，方程的另一根为 ． （ 1 ）由于 是一元二次方程， ， 无论 取何实数，总有 ， ∴ ， ∴方程总有两个不相等的实数根． （ 2 ）把 有 代入方程 ， ， 整理，得 ． 解得 ， 此时方程可化为 解此方程，得 ∴方程的另一根为 ． ， ． ． 【知识点】因式分解法求一元二次方程的根 20. 已知关于的方程 ． （ 1 ）求证：无论取任意实数，方程总有实数根． （ 2 ）若等腰三角形的一边，另两边长、恰是这个方程的两个根，求的周长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 或 ． （ 1 ） ， ， 中， ， ， ∴方程总有实数根． （ 2 ） 为等腰三角形， ①当 即 ∴ 时，则 ， ， ， 则方程为 解得即 ， ， ， 此时， 、 、 的值满足三角形三边关系， ∴ ． ②若其中有一个与 相等，设 ， 则有 ， 解得 ， ∴此时方程为 ， 解得 即 ， 时， ， ， 此时满足三角形的三边关系， ∴ ， 综上所述， 的周长为 或 ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 21. 关于的一元二次方程 ． （ 1 ）求证：方程总有两个实数根． （ 2 ）若方程有一个根大于，求的取值范围． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）依题意，得 ． ∵ ， ∴方程总有两个实数根． （ 2 ）由求根公式，得 ∴ ， ． ∵方程有一个根大于 ， ∴ ∴ ∴ ． ． 的取值范围是 ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 22. 已知：，求证：关于的方程有两个不相等的实数根． 证明见解析． ∵ ， ∴ ． ∴ ， ∴原方程有两个不相等的实数根． 【知识点】一元二次方程根的判别式 $ 1. 方程 的判别式的值等于 ． 2. 一元二次方程的根的情况为（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 下列一元二次方程中没有实数根是（ ）． A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ）． A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 方程的根的情况与的取值有关 5. 对于任意实数，关于的一元二次方程的根的情况是 ． 6. 已知关于的一元二次方程 ． （ 1 ）当时，利用根的判别式判断方程根的情况． （ 2 ）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的，的值，并求出此时方程的根． 7. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 8. 如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 且 10. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 11. 关于的一元二次方程 无实数根，写出一组满足条件的实数，值： ， ． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数、的值： ， ． 13. 一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 14. 若关于的方程有实数根． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）若为符合条件的最小整数，求此时方程的根． 15. 若关于的方程有两个相等实根，则代数式的值为 ． 16. 已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）当取满足条件的最大整数时，求方程的根． 17. 已知关于的方程． （ 1 ）若该方程的两个相等的实数根，求实数的取值范围． （ 2 ）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根． 18. 回答下列问题： （ 1 ）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （ 2 ）已知关于的一元二次方程．求证：此方程总有两个不相等的实数根． 19. 已知关于的方程． （ 1 ）求证：方程总有两个不相等的实数根． （ 2 ）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根． 20. 已知关于的方程 ． （ 1 ）求证：无论取任意实数，方程总有实数根． （ 2 ）若等腰三角形的一边，另两边长、恰是这个方程的两个根，求的周长． 21. 关于的一元二次方程 ． （ 1 ）求证：方程总有两个实数根． （ 2 ）若方程有一个根大于，求的取值范围． 22. 已知：，求证：关于的方程有两个不相等的实数根． 2 学科网（北京）股份有限公司 $