17.2 用公式法分解因式 预习自测2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦公式法分解因式，通过基础认知、技能巩固、综合应用三层设计，实现从单一公式到多方法综合应用的进阶，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|完全平方公式、平方差公式识别与简单应用|单选题考查公式选择（如第1题完全平方公式），夯实概念理解| |技能巩固|公式综合运用、简单开放性问题|填空题含开放性添加单项式（第10题），提升灵活应用能力| |综合应用|分组/十字相乘法、实际情境应用|解答题融入密码生成（第17题）、阅读材料学十字相乘（第18题），培养推理与建模意识|

17.2 用公式法分解因式 预习自测2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．把多项式分解因式，下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．小红是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、邓、州、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．邓州美 B．爱邓州 C．我爱美 D．我爱邓州 5．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 6．将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 7．学校有一块长和宽分别为，的长方形育苗基地，它的周长为，面积为，则的值为（   ）． A．480 B．240 C．120 D．200 8．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．因式分解：____________． 10．如果多项式加上一个单项式后，可以用公式法分解因式，那么这个单项式可以是____（写出一个即可）． 11．在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是_________________（填写序号）． 12．山西平遥推光漆器以“推光、描金、镶嵌”闻名，某非遗工坊接到一批定制漆器礼盒订单，礼盒编号为四位数（，为的整数）．已知符合订单要求的礼盒编号能被15整除，且漆器工坊按编号从小到大依次生产，则生产的合格礼盒最小的编号是______． 13．若，则的值为_______. 三、解答题 14．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程） （1）；                  （2）； （3）； （4）已知，，求的值． 15．常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 16．阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 17．在日常生活中我们经常用到密码，如取款、上网购物需要密码，有一种用因式分解法产生密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解：例如，当，时，，，则可以得到密码是145171，171451…，等等，根据上述方法当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？ 18．材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C B D C B C 1．【答案】D 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】分解因式要求结果为几个整式乘积的形式，将原式根据完全平方公式变形即可得到结果． 【详解】解： 选项：结果不是整式乘积的形式，不符合分解因式要求； 选项：展开得，与原式不符； 选项：展开得，与原式不符； 选项：，正确． 2．【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 3．【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题利用平方差公式分解，代入已知的的值，即可求出的值． 【详解】∵， 已知 ，， ∴， ∴． 4．【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．先提取公因式并利用平方差公式，得到，再根据，，分别对应下列三个字：爱、邓、州，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ， ∵，，分别对应下列三个字：爱、邓、州、 ∴结果呈现的密码信息可能是爱邓州， 故选：B． 5．【答案】D 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】将中的分子进行因式分解，再依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法，准确的计算是解决本题的关键． 根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选C． 7．【答案】B 【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用长方形周长和面积公式求出，，再将所求代数式因式分解后代入计算． 【详解】∵周长为， ∴， ∴， ∵面积为， ∴， ∴． 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 9．【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【详解】解： ． 10．【答案】（答案不唯一） 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 根据公式法分解因式即可求解． 【详解】解：若添加单项式，则， ∴多项式可以用公式法分解因式， ∴这个单项式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 11．【答案】①② 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可． 【详解】解：①； ②； ③； ， 所以计算结果与相同的是①②． 故答案为：①②． 12．【答案】8070 【知识点】因式分解的应用、数的整除 【分析】本题考查数的整除知识，灵活运用数的整除性质是解题关键． 礼盒编号为四位数，需被15整除，即同时被3和5整除．被5整除要求个位数字为0或5；被3整除要求数字之和被3整除，即被3整除．为求最小编号，应分类讨论的取值（或），并比较两种情况下得到的最小编号，取其中较小者． 【详解】解：礼盒编号为四位数，需被15整除，即同时被3和5整除． 由被5整除，可知：或． 若，则被3整除，即是3的倍数，所以，此时最小编号为． 若，则被3整除，即是3的倍数，所以，此时最小编号为8175，均大于8070． 故最小编号为8070． 故答案为8070． 13．【答案】1 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：1． 14．【答案】（1）7；（2）10；（3）0.999；（4） 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】（1）根据因式分解的方法，提出公因数，进而计算即可； （2）提出公因数，再进行计算即可； （3）提出公因数，再进行计算即可； （4）提出公因式，进而代入求值即可； 【详解】（1） ；                  （2） ； （3） ； （4） 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 15．【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用分组分解法分解即可； （2）用分组分解法分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 16．【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．【答案】124420，122044，441220，442012，201244，204412 【知识点】提公因式法分解因式、因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后依据、、的值可得到形成的密码． 【详解】解：， 当，时，则，，， 可以得到的数字密码是：124420，122044，441220，442012，201244，204412． 18．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $