3.3+圆的对称性+课时1+圆心角、弧、弦之间的关系（教学课件）2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆的对称性，核心涵盖圆的中心对称性、等弧概念、圆心角弧弦关系定理及确定圆的条件。通过车轮旋转不变性问题导入，结合叠合透明纸旋转、分割扇形等操作活动，引导学生从具体现象抽象出中心对称性质，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点是以“猜想—证明—应用”为主线，通过动手操作培养几何直观与空间观念，如叠合旋转验证中心对称，例题中弧的加法推导圆心角体现推理意识，符号表达强化数学语言。助力学生发展探究能力，为教师提供结构化资源，提升教学效率。

3.3 圆的对称性（1） 第三章 圆 学习目标 过程与方法 知识与技能 探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆 理解三角形的外接圆、外心、内接三角形的概念 掌握用尺规作三角形的外接圆 知道外心是三角形三边垂直平分线的交点，能判断外心的位置 经历“类比—猜想—操作—证明”的探究过程，体会分类讨论和数形结合的数学思想 02 01 问题引入 把车轮轮廓看成圆，原地转动车轮，无论转到哪个位置，车轮轮廓都和原来重合，这说明圆有什么特殊性质？ 圆特有的性质→旋转不变性 新知讲解：圆的中心对称性 在两张透明纸上分别画一个半径相等的圆，并将它们分割成圆心角相等的扇形，将两张透明纸叠合，绕公共圆心转动其中一张透明纸，你有什么发现？ 新知讲解：圆的中心对称性 可以发现，两个圆始终保持重合.特别的，当旋转角为时，旋转前后的图形保持重合.根据中心对称图形的定义，我们得到如下结论: 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 特别的，圆的直径的两个端点关于圆心中心对称 数学活动 如图，在两张透明纸上分别画一个半径相等的圆，并将它们分割成圆心角相等的扇形．将两张透明纸叠合，绕公共圆心转动其中一张透明纸．你有什么发现？ 两个圆始终保持重合． 当旋转角为180°时， 旋转前后的图形也保 持重合. 新知归纳 根据中心对称图形的定义，我们得到如下结论： 圆是中心对称图形， 圆心是它的对称中心． 新知讲解：等弧的概念 通过上述操作进一步发现：在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形都可以重合，这两个扇形对应的弧和弦也都重合，我们把可以重合的弧叫做等弧。如图，若∠AOB = ∠A′OB′，则弦AB = 弦A′B′，弧AB = 弧A′B′ 注意事项： 等弧必须能够完全重合（长度相等且弯曲程度相同） 在同圆或等圆中讨论等弧才有意义 等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧 新知讲解：圆心角、弧、弦的关系定理 定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等，这两个圆心角也相等 定理3：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弦相等，那么它们所对的弧相等，这两个圆心角也相等 核心结论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 新知讲解：确定圆的条件 定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆 关键词理解： “不在同一条直线上”——三点共线时无法作圆 “确定”——有且只有一个圆 过任意三个不共线的点，能作且只能作一个圆 例题 1 C 下列条件中，不能确定一个圆的是（　　） A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点 操作思考 O A B A' B' (A') (B') 点A与点A'重合； 点B与点B'重合． AB与A'B'重合； 与 重合． 在⊙O中，当圆心角∠AOB与∠A'OB'相等时，它们所对的和相等吗？ 操作思考 在两张透明纸片上，分别画半径相等的⊙O和⊙O'．在⊙O和⊙O'中，分别画相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'，连接AB、A'B'．将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O′重合． ● A B O ● A' B' O' 当OA与O′A′重合时， ∵∠AOB＝∠A′O′B′， ∴ OB与O′B′重合. 又∵OA＝O′A′，OB＝O′B′， ∴点A与点A′重合，点B与点B′重合． ∴ 重合，AB与A′B′重合． 例题 1 。理由如下： ∵ ， ∴ （在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）， ∴ （等边对等角）。 方法归纳：先由圆心角相等推出弦相等，再由弦相等推出角相等，实现了从圆心角到圆周角的转化 如图，是的弦，。与相等吗？为什么？ 例题 2 在中，，。求的度数。 ∵， ∴ ， ∴ 。 ∵在同圆中，等弧所对的圆心角相等， ∴ 。 ∵ ， ∴ 。 获取新知 在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形都可以重合， 这两个扇形对应的弧和弦也都重合，我们把可以重合 的弧叫作等弧(equal arc)． 如图，如果∠AOB＝∠A'OB'，那么AB＝A'B′，＝． O A B A' B' 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 前提条件 前提条件 讨论交流 　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？ O A B A' B' (A') (B') ＝ 点A与点A'重合； 点B与点B'重合. ABA'B' ∠AOB∠A'OB' ABA'B' 点A与点A'重合； 点B与点B'重合. ＝ ∠AOB∠A'OB' 例题 3 在中，。求的度数。 在中，， （等弧对等弦）， 为等腰三角形，（等腰三角形两底角相等）。 又（三角形内角和为），且 ， 即， 。 新知讲解：弧的度数 我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，整个圆也被等分成360份。 我们把 的圆心角所对的弧叫作 的弧 结论：的圆心角对着的弧，的弧对着的圆心角 核心结论：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 新知归纳 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知一求二 圆心角、弧、弦的相等关系 前提条件 新知归纳 O A B A' B' AB＝A′B′ ＝ ∠AOB ＝∠ A′O′B′ ＝ AB＝A′B′ ∠AOB ＝∠A′O′B′ AB＝A′B′ ∠AOB＝∠ A′O′B′ ＝ ● ● A B A' B' O O' 新知讲解：多边形的外接圆 思考：任意四边形都有外接圆吗？ 不一定，只有对角互补的四边形才有外接圆 如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆 这个多边形叫作圆的内接多边形 例题 4 将△ABC绕它的外心O旋转任意角度得到△DEF。 求证：点A、B、C、D、E、F在同一个圆上。 证明思路： ∵ 旋转不改变点到旋转中心的距离， ∴ OA = OB = OC = OD = OE = OF， ∴ 点A、B、C、D、E、F都在以点O为圆心、OA长为半径的同一个圆上。 概念学习 O n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角． 　　我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角． 1°的圆心角 1°的弧 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份．我们把1°的圆心角所对的弧叫作1°的弧． n°的圆心角 n°的弧 新知归纳 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 1．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，并不是角和弧相等，它们是两类不同的图形； ∠AOB＝ 2．度数相等的角是等角，但度数相等的弧不一定是等弧，等弧的特征是能够互相重合（在同圆或等圆中）． 课堂小结 这节课，你的收获是--- 课堂小结 谢谢大家聆听 $