3.4 圆周角（第2课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角定理的两个推论（直径对直角、直角对直径）及圆内接四边形对角互补的性质，通过知识回顾旧知（圆周角定义与定理），结合问题引导自然过渡到新知，构建连贯的学习支架。 其亮点在于通过探究交流（如圆内接菱形是否为正方形）培养数学思维的推理意识，结合符号语言规范表达强化数学语言的符号意识，生活实例（三角尺测直径）发展数学眼光的几何直观。采用例题讲解、分层巩固及小结提炼核心思路的教学方法，助力学生提升推理能力与应用意识，也为教师提供高效备课资源。

3.4 圆周角（2） 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 理解并掌握圆周角定理的两个推论：直径所对的圆周角是直角．90°的圆周角所对的弦是直径． 理解并掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补． 3 能够运用圆周角定理的推论和圆内接四边形的性质进行几何计算和证明． 知识回顾 1．什么是圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角． 2．如果圆周角所对的弧是半圆，这个圆周角是多少度？ 同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. O C A B C A B 圆周角定理的内容是什么？ 如图，∠BAC＝×180°＝90°． 如果圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弧是多少度？ C A B 获取新知 O m 直径所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径． 于是，我们得到圆周角定理的推论： 分析两句话的条件与结论，你有什么发现？ 你能用符号语言表述这两句话吗？ 符号语言：∵ BC为⊙O的直径，∴ ∠BAC＝90°． ∵ ∠BAC＝90°，∴ BC为⊙O的直径． 例2 证明：以圆的两条直径为对角线的四边形是矩形． 例题讲解 O A B C D 证明：∵ AC 是直径， ∴ ∠ABC＝∠ADC＝90°（圆周角定理的推论）． 同理可得∠BAD＝∠BCD＝90°． ∴ 四边形ABCD是矩形． 求证：四边形ABCD是矩形． 已知：如图，在⊙O中，AC，BD是直径， 连接 AB，BC，CD，DA． 新知巩固 1．利用三角尺可以确认图中的弦 AB 是圆的直径，为什么？ C A B 解：因为“90°的圆周角所对的弦是直径”，所以，由∠C＝90°，可知弦 AB 是圆的直径． 思考：你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？ 利用上述方法，确定出圆的两条直径，交点即为圆心． 新知巩固 2．如图,工人师傅用直角曲尺检查半圆形的零件,哪个是合格的为什么？ 解：(2)是合格的，因为工件凹面所对的弦是直径，而直径所对的弧是半圆． 新知巩固 3．如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠DCB＝30°．求∠ABD的度数． A B C O D 解：∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ADB＝90°． ∵ ＝，∠DCB＝30°， ∴ ∠DAB＝∠DCB＝30°， ∴ ∠ABD＝180°－∠ADB－∠DAB ＝180°－90°－30° ＝60°． 探究交流 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，它的内角之间有怎样的数量关系？ A B D C · O 因为∠A所对的弧为，∠C所对的弧为， 而和 的度数的和为360°， 所以 ∠A＋∠C＝×360°＝180°， 同理，∠B＋∠D＝180°. 新知归纳 圆内接四边形的对角互补． 于是，我们得到圆内接四边形的性质： 符号语言：∵ 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴ ∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°． 例题讲解 例3 证明：圆的内接平行四边形是矩形． 已知：如图，▱ABCD是⊙O的内接四边形． 求证：四边形ABCD是矩形． C O A B D 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A＝∠C． ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠A＋∠C＝180°（圆内接四边形的性质）． ∴ ∠A＝∠C＝90°． 同理可得 ∠B＝∠D＝90°． ∴四边形ABCD是矩形． 新知巩固 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角． 求证：∠CBE＝∠D． B D A O E C 证明：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠D＋∠ABC＝180°． ∴ ∠D＝180°－∠ABC． ∵ ∠CBE＋∠ABC＝180°， ∴ ∠CBE＝180°－∠ABC． ∴ ∠CBE＝∠D． 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 新知巩固 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，判断∠BOD与∠BCD 的数量关系． B A C D O 证明：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠BAD＋∠BCD＝180°． ∵ ∠BAD＝∠BOD， ∴ ∠BOD＋∠BCD＝180°． 探究交流 圆的内接菱形一定是正方形吗？圆的内接梯形一定是等腰梯形吗？ C O A B D 解：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠A＋∠C＝180°． ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ ∠A＝∠C． ∴ 2∠A＝180°． ∴ ∠A＝90°． ∴ 圆的内接菱形一定是正方形． 探究交流 圆的内接菱形一定是正方形吗？圆的内接梯形一定是等腰梯形吗？ ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠A＋∠C＝180°． ∵ AD∥BC， ∴ ∠A＋∠B＝180°． ∴ ∠B＝∠C． ∴ 圆的内接梯形一定是等腰梯形． ∴ 综上,圆的内接菱形一定是正方形,圆的内接梯形一定是等腰梯形． C O A B D 归纳总结 2．与圆周角有关的问题：弦的条件需转化成弧的条件． 1．对于圆内接多边形: 角：既可以看作是多边形的内角，也可以看作是圆的圆周角； 线段：既可以看作是多边形的边，也可以看作是圆的弦． 能力提升 C B A O 1．如图，AB是⊙O的弦，以OA为直径的圆交AB于点C，AB＝10． 求AC的长． 解：连接OC． ∵ OA是小圆的直径．点C在小圆上， ∴ ∠ACO＝90 °， ∴ OC⊥AB． ∴ AC＝BC＝AB． ∵ AB＝10． ∴ AC＝×10＝5． 能力提升 2． A，B，E，C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD＝∠BAE，AE是 ⊙O的直径吗？为什么？ ┐ A O D B C E 解：AE是⊙O的直径．理由如下： 连接BE． ∵ ＝，∴ ∠E＝∠C． ∵ AD是△ABC的高，∴ ∠ADC＝90 °， ∴ ∠CAD＋∠C＝90°， ∵ ∠CAD＝∠BAE， ∴ ∠BAE＋∠E＝90°． ∴ ∠ABE＝90°． ∴ AE是⊙O的直径． 能力提升 3．在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为3:4:6． 求四边形ABCD各内角的度数． 解：设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝6x°． ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°， ∴ 3x°＋6x°＝180°，解得， x＝20． ∴∠A＝3×20°＝60°，∠B＝4×20°＝80°，∠C＝6×20°＝120°． ∴∠D＝180°－∠B ＝180°－80°＝100°． 能力提升 4．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一 个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？ B D A O E C 解：∠DAE与∠DAC相等．理由如下： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DAB＋∠DCB＝180°． ∵∠DAB＋∠DAE＝180°， ∴∠DCB＝∠DAE． ∵ DB＝DC，∴∠DCB＝∠DBC． ∴ ∠DAE＝∠DBC． ∵ ∠DAC＝∠DBC ， ∴ ∠DAE＝∠DAC． 课堂小结 3.4 圆周角（2） 圆周角定理的推论：直径⇒直角；直角⇒直径 圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补； 推论：外角等于内对角 核心解题思路：①见直径，想直角；②见四点共圆，想对角互补 核心数学思想：特殊到一般；转化 感谢聆听！ $