专题1.2.1 圆的标准方程（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦圆的标准方程核心知识点，从圆的几何与集合定义切入，借助两点间距离公式推导方程并明确几何意义，进而梳理特殊位置圆方程、点与圆位置关系判定方法，最终落实求方程及动点距离最值问题，构建完整学习支架。 资料以思维导图辅助知识脉络梳理，通过“即学即练”结合“典例+变式”题型设计，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（应用意识）。课中助力教师系统授课，课后分层练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

专题2.1 圆的标准方程 教学目标 理解圆的几何定义与集合定义，借助两点间距离公式自主推导圆的标准方程，明确中的几何意义。 熟记各类特殊位置圆的标准方程（圆心在坐标轴、过原点、与坐标轴相切、直径式圆方程）。 掌握点与圆三种位置关系的两种判定方法（距离比较法、代入代数法）。 熟练运用待定系数法，结合定点、切线、直径、圆心所在直线等条件求圆标准方程；能由圆方程逆向求解参数范围。 掌握圆上动点到定点距离最值模型，会求解距离取值区间。 教学重难点 1.重点 圆的标准方程推导、标准形式及几何含义； 特殊位置圆、直径式圆方程快速书写； 点与圆位置关系的判定（距离法、代入法）； 待定系数法求圆标准方程（已知圆心半径、两点、直径、切线基础条件）； 2.难点 已知点在圆内 / 圆上 / 圆外，求解含参圆中参数取值范围； 圆上动点到定点最大、最小值的几何模型理解与计算； 知识点 1 圆的定义 几何定义：平面内到定点C（圆心）的距离等于定长r(r>0)（半径）的点的集合； 集合语言： 辨析：r=0表示单点、r<0无轨迹，均不是圆。 【即学即练】 圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 知识点 2 圆的标准方程 标准形式： 圆心C(a,b)，半径r； 特殊形式：圆心在原点：；单位圆：； 直径式方程：若为直径端点，则圆方程： 【即学即练】 圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 知识点 3 点与圆的位置关系 设点，圆 点在圆外 点在圆上 点在圆内 【即学即练】 点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 知识点 4 求圆标准方程的两类方法 直接法：根据条件直接找出圆心和半径r； 待定系数法：设，代入条件构建方程组求解参数。 【即学即练】 已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型 01 已知圆心、半径（几何条件）求圆的标准方程 【典例1】与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【变式1】以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【变式2】根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 题型 02 求经过已知三点的圆的标准方程 【典例1】数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 题型 03 由圆的标准方程确定圆心与半径 【典例1】若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【变式1】过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型 04 判断点与圆的位置关系 【典例1】已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【变式2】已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 题型 05 利用点与圆的位置关系求参数 【典例1】若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【变式2】若圆与曲线有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知点在圆内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若点在圆O：的外部，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 6．设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 7．已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 8．若坐标原点在圆的内部，则实数的取值可以是（   ） A． B．2 C． D．1 9．已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 10．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______. 11．已知圆，为圆的一条直径，点，则点的坐标为________． 12．设，且过点作圆的切线有两条，则的取值范围是__________. 13．已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 14．若点在圆的外部，则实数m的取值范围________________ 15．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 1．若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知中，，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 4．点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 5．已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 6．在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若，则或 D．存在直线，使得 7．在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 8．已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是_________. 9．已知点，，. (1)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离. (2)求的外接圆方程； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 圆的标准方程 教学目标 理解圆的几何定义与集合定义，借助两点间距离公式自主推导圆的标准方程，明确中的几何意义。 熟记各类特殊位置圆的标准方程（圆心在坐标轴、过原点、与坐标轴相切、直径式圆方程）。 掌握点与圆三种位置关系的两种判定方法（距离比较法、代入代数法）。 熟练运用待定系数法，结合定点、切线、直径、圆心所在直线等条件求圆标准方程；能由圆方程逆向求解参数范围。 掌握圆上动点到定点距离最值模型，会求解距离取值区间。 教学重难点 1.重点 圆的标准方程推导、标准形式及几何含义； 特殊位置圆、直径式圆方程快速书写； 点与圆位置关系的判定（距离法、代入法）； 待定系数法求圆标准方程（已知圆心半径、两点、直径、切线基础条件）； 2.难点 已知点在圆内 / 圆上 / 圆外，求解含参圆中参数取值范围； 圆上动点到定点最大、最小值的几何模型理解与计算； 知识点 1 圆的定义 几何定义：平面内到定点C（圆心）的距离等于定长r(r>0)（半径）的点的集合； 集合语言：； 辨析：r=0表示单点、r<0无轨迹，均不是圆。 【即学即练】 圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 知识点 2 圆的标准方程 标准形式：，圆心C(a,b)，半径r； 特殊形式：圆心在原点：；单位圆：； 直径式方程：若为直径端点，则圆方程：。 【即学即练】 圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断是否在圆上即可. 【详解】由的圆心为，A错； 由的圆心为，B错； 由的圆心为，显然点在圆上，C对； 由的圆心为，D错； 故选：C. 知识点 3 点与圆的位置关系 设点，圆 点在圆外 点在圆上 点在圆内 【即学即练】 点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可. 【详解】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A 知识点 4 求圆标准方程的两类方法 直接法：根据条件直接找出圆心和半径r； 待定系数法：设，代入条件构建方程组求解参数。 【即学即练】 已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 题型 01 已知圆心、半径（几何条件）求圆的标准方程 【典例1】与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 【变式1】以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 【变式2】根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 题型 02 求经过已知三点的圆的标准方程 【典例1】数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 【变式1】已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 【变式2】已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 题型 03 由圆的标准方程确定圆心与半径 【典例1】若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 【变式1】过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 题型 04 判断点与圆的位置关系 【典例1】已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 【变式1】点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 【变式2】已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 【变式3】若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 【答案】C 【分析】将点坐标代入圆的方程左侧，判断所得结果与右侧大小，即可得位置关系. 【详解】因为， 当且仅当时取等号，所以点在圆内或圆上． 故选：C 题型 05 利用点与圆的位置关系求参数 【典例1】若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，表达出圆心与的距离为，数形结合得到，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的圆心为，半径为1， 与的距离为， 要想圆上总存在两个点到点的距离为2， 则，即，解得. 故选：B 【变式1】点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【答案】A 【分析】求出点与圆心的距离，和半径比较即可判断位置关系. 【详解】圆（）的圆心为，半径为. 因为点与圆心的距离为，且， 所以，故， 所以点在圆（）外. 故选：A. 【变式2】若圆与曲线有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心和半径，再将问题转化为圆心到直线的距离不超过半径的不等式，分析求解得到的取值范围. 【详解】圆的方程为，可得圆心，半径， 又的值域为，圆与曲线有公共点，等价于存在，使得直线与圆有交点， 直线与圆有交点的条件为圆心到该直线的距离不大于半径，即， 问题转化为存在使该不等式成立。该不等式化为， 因，故，所以，即， 要使存在满足此条件，需区间与有交集，故，解得， 综上，的取值范围是. 【变式3】“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】求出点在圆外部满足的充要条件，据此求解即可. 【详解】若点在圆外部， 则，解得或， 所以“”是“点在圆外部”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 1．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 2．点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系求解. 【详解】由题意可知，点在圆外， 则，得， 故的取值范围为. 故选：B 3．已知点在圆内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，将点坐标代入圆方程列出不等式，求解即可． 【详解】由题知，解得， 故选：A． 4．若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 5．若点在圆O：的外部，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用点在圆的外部满足不等式求解即可. 【详解】由点在圆O：的外部， 则， 解得：或, 所以实数a的取值范围是或, 故选：C. 6．设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 7．已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依次求点到圆心的距离进行判断即可. 【详解】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB 8．若坐标原点在圆的内部，则实数的取值可以是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】AD 【分析】根据原点在圆内可建立不等式，求解即可. 【详解】由题意，得，解得， 结合选项，实数的取值可以是，1. 故选：AD. 9．已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为， 即，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 10．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______. 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时点到直线的距离即为等腰斜边上的高. 11．已知圆，为圆的一条直径，点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，得到圆心的坐标，然后结合题意以及中点坐标公式即可求解. 【详解】由可得，所以圆心， 设，又因为，是圆的一条直径，则由中点坐标公式得，解得， 所以点的坐标为． 12．设，且过点作圆的切线有两条，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】过点作圆的切线有两条， 则点在圆外， 所以，解得， 因为，所以. 13．已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由点与圆的位置关系可得答案. 【详解】由题知， 解得. 故答案为： 14．若点在圆的外部，则实数m的取值范围________________ 【答案】 【分析】由点在圆外及圆的方程的条件列不等式组求解. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为：. 15．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点，结合已知条件用点的坐标表示出点的坐标，再利用点与圆的关系，即可求解． 【详解】如图，设点的坐标是，点的坐标是， 由于点的坐标是，且是线段的中点，所以，． 于是有，， 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即．    ② 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为． 1．若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在圆外建立不等式，再由辅助角公式化简后转化为，解不等式即可得解. 【详解】因为点在圆外， 所以， 即存在，使得（其中）， 所以只需， 故，即， 解得， 故选：B 2．已知中，，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图建系，取，设，利用求出动点的轨迹方程，作出轨迹图形圆，易得点到直线距离的最大值为圆的半径长2，即得的面积的最大值. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则， 设，由可得，整理得， 其轨迹是以点为圆心，半径为的圆.点到直线距离的最大值为圆的半径长2， 所以的面积的最大值为． 故选：D．    3．已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 4．点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 【答案】ABD 【分析】利用点到直线的距离公式、圆的定义结合基本不等式判定各选项即可. 【详解】设，则. 点到直线的距离为，点到直线的距离为. 对于A，.故A正确. 对于B，由于，且， 所以. 因此.当且仅当时取等，故B正确. 对于C，若，则. 平方得，化简得. 单位圆上满足的点有（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），共4个，故C错误. 对于D，由，得.故D正确. 5．已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 6．在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若，则或 D．存在直线，使得 【答案】ABCD 【分析】由题意可将，到直线的距离分别表示出来，从而得到弦长，，再逐一分析四个选项即可. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为．直线化为． 两个圆心到直线的距离分别为，． 两圆的半径均为1，故弦长满足． 对于A，当时，，所以．故A正确； 对于B，当时，，所以．故B正确； 对于C，若，则，即，化简得． 所以或．故C正确； 对于D，若取直线，则该直线经过两个圆的圆心，此时， 故．故D正确． 7．在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用解析法求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设三角形内切圆半径为，则， 即，解得，所以圆心为， 故圆的方程为，设， 则 8．已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是_________. 【答案】 【分析】利用代入法，通过解方程组进行求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，，且圆心在直线上， 所以有， 因此圆的标准方程为， 故答案为： 9．已知点，，. (1)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离. (2)求的外接圆方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点关于直线的对称点，再由点到直线的距离求解即可. （2）设外接圆的一般方程，代入点的坐标计算得解； 【详解】（1）设， 由，可知， 所以直线的方程为，即， 因为点与点关于直线的对称，所以，解得， 所以点坐标为， 所以，直线方程为，即， 所以点到直线的距离. （2）设的外接圆方程为， 则，解得，，， 所以的外接圆方程为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $