1.2.2 圆的一般方程 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“圆的一般方程”，通过回顾圆的标准方程，以具体实例展开方程推导，引导学生探究一般形式及表示圆的条件，构建从旧知到新知的学习支架。 突出逻辑推理与数学运算素养，采用启发探究式教学，通过分组讨论、配方变形分类讨论方程表示圆的条件，结合待定系数法求方程、判断方程是否为圆等例题，助力学生深化理解，提升运算推理能力，教师可直接借鉴教学流程与例题设计，高效开展教学。

课题 1.2.2 圆的一般方程 学科 数学 教材 北师大版（2019）选择性必修第一册 章节 第一章第二节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 【教学目标】 1. 掌握圆的一般方程及其特点 2. 会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能指出圆心的坐标和半径的大小 3. 培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣 【教学重难点】 1. 圆的标准方程的求法及其应用（重点） 2. 会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题（难点） 核心素养 1.逻辑推理素养：通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理素养。 2.数学运算素养：在求圆的一般方程及圆心、半径的过程中，提升数学运算素养。 3. 数学抽象思维：对圆的一般方程的理解。 教学方法和手段 教学方法：启发法、讲授法、练习法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 引入新课 【导入语】 【旧知回顾】 同学们还记得我们上节课所学的圆的标准方程是什么吗？ 【师生活动】 学生思考后举手抢答，教师点评 【预设答案】 激发学生的学习兴趣，以及增强学习动力。 知识精讲 知识点：圆的一般方程 例题典析 过渡：那我们来想想那么圆的一般方程该如何表示？ 【探究】 已知圆心（2，3），半径为2. （1） 你能写出它的标准方程吗？ （2） 上述方程能否化为二元二次方程的形式？ 【师生活动】 学生根据上节课所学可以得到圆的标准方程，思考后将方程展开继而得到二元二次方程，教师点名回答，教师点评. 【教师总结】 （1） 标准方程： （2） 二元二次方程：+−4x−6y+9=0 【教师提问】 那么如果只看方程，+−4x−6y+9=0是否表示圆？ 【师生活动】 学生同桌两人讨论，试图将其化为圆的标准形式得出结论，教师点评. 【教师总结】 将方程进行配方得到0，因此方程不表示圆. 【教师追问】根据上述探究，你是否能总结出圆的一般表现形式呢？ 【师生活动】 学生分析上述问题，教师引导学生进行总结得到圆的一般表现形式. 【教师总结】 我们把圆的标准方程展开得到 +−2ax−2by++=0 由于a,b,r均为常数， 令−2a=D,−2b=E,+=F. 可见，任何一个圆的方程都可以写成下面形式： x2＋y2＋+＋F＝0. 【教师继续追问】那么此方程x2＋y2＋+＋F＝0表示的图形是否都是圆呢？ 【师生活动】 学生进行分组探究对方程分类讨论，派代表回答，教师总结得到3种情况，即圆的一般方程表圆的条件. 【教师总结】 将方程进行配方可得＝， （1）当−4F>0时，方程表示以(−,−)为圆心，为半径的圆； （2）当−4F=0时，方程仅有一组解，所以方程表示一个点(−,−) ； （3）当−4F<0时，方程没有解，因而它不表示任何图形. 因此，当−4F>0时，方程x2＋y2＋+＋F＝0表示一个圆. 【师生活动】 教师提出思考：你是怎样理解圆的一般方程？ 学生思考后举手发言，教师总结. 【教师总结】 x2,y2的系数相同，且不等于0； 没有xy项； 对方程x2＋y2＋+＋F＝0，当−4F>0时才表示圆. 【课堂回顾】 现在你能总结出圆的标准方程与圆的一般方程的不同之处吗？ 【师生活动】 学生交流讨论，教师引导学生分析归纳，教师总结. 【教师总结】 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 x2＋y2＋+＋F＝0 代数特征 平方和 特殊的二元二次方程 表示圆的条件 −4F>0 圆心 (a,b) (−,−) 半径 r 类型1：待定系数法求圆的方程 1. 求经过A(1,3),B(4,2),C(5,-5)三点的圆的方程. 2.已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 【师生活动】 学生独立完成，设出圆的一般方程，再根据已知条件来联立条件，得出答案，教师给出规范解析并引导学生用待定系数法求圆的方程： 1．如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. 2．如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F. 类型2：判断二元二次方程是否为圆 1.下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)x2＋y2－4x－2y－5＝0. 2.下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. (1). (2). (3). 【师生活动】 学生独立完成，在判断是否是圆时，亦可以采用圆的一般方程的定义来完成，以及可以观察是否与圆的标准方程的标准形式一致，得出结论，教师给出规范解析并引导学生进行技巧归纳：形如x2＋y2＋+＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可用如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义令>0，成立则表示方程是以(−,−)为圆心，为半径的圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋+＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解. 通过对标准方程的讨论，得到圆的一般表现形式，并指出不是所有的方程都可以表示圆，使得学生的认识不断加深，同时培养思维的严谨性. 引导学生自己探索寻求圆的一般方程在什么时候表示圆，形成、分类讨论等价转换等数学思想。培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦. 让学生分析圆的标准方程和一般方程的不同之处，有利于学生理清知识脉络，深化学生对知识点的理解和记忆. 通过不同类型的练习题，让学生掌握圆的一般方程，理解其数学意义和应用价值。学会运用一般方程的特征判断某方程是否为圆，会求圆的一般方程，提升数学运算、数学推理的学科素养. 当堂达标 学生独立完成教师出示的课件练习题 通过多个练习题，让学生实际操作，教师巡视指导，及时纠正错误。 课堂总结 教师带领学生一起回顾本节课的知识点 回顾本节课的重点内容，加深学生记忆。 板书设计 1.2.2 圆的一般方程 一、内容梳理 1.圆的一般方程 2. 3.待定系数法求圆的方程 4.判断某方程是否为圆 二、例题解析 0. 展示具体题目 0. 逐步推导解题过程 0. 强调关键步骤和思路 三、练习与巩固 0. 设计几道练习题 0. 引导学生独立完成 点评典型错误与解题思路 四、课堂小结 总结本节课的主要内容 提醒学生注意的问题 五、作业布置 布置相关练习题 鼓励学生自主探索更多实际应用问题 教学设计反思 高中数学中的圆的一般方程是数学几何领域的基础知识点，在教授这个内容时，教学反思至关重要，这有助于提升教学质量并促进学生的理解。 1. 基础知识的预热：教学前应确保学生已经掌握了直角坐标系、点的坐标、平方差公式以及等式的性质等基础知识，这些都是理解圆的一般方程的关键。 2. 理论与实践结合：可以通过绘制图形或使用动态几何软件帮助学生形象地理解和推导出圆的一般方程，使得抽象概念变得具象，帮助学生更好地接受新知识。 3. 实例应用：引入实际问题，如测量、工程设计等，展示圆的方程在现实生活中的应用，增强学生的学习兴趣和解决问题的能力。 4. 深度学习引导：鼓励学生对一般方程进行变形处理，例如找出特殊情形下的方程（如：圆心在原点或与坐标轴相切），这样有助于深化理解和记忆。 5. 强化计算与变换技巧：安排相关的练习题，让学生通过解决不同的题目掌握如何根据方程找出圆的特性，例如圆心坐标、半径长度等。 6. 小组讨论和合作学习：组织分组讨论，让学生互相交流解决问题的方法，这样可以提高他们的协作和交流技巧，同时也能激发不同思维方式碰撞出新的火花。 7. 反思与总结：在课程结束后，引导学生回顾整个学习过程，思考自己在理解和应用圆的一般方程上遇到的困难和解决方法，从而进行个人学习策略的调整。 总的来说，教学反思旨在不断优化教学方法，针对学生的需求调整教学策略，确保每一个学生都能在这个过程中得到充分的发展。教师应时刻关注学生的学习体验，以培养他们自主学习、逻辑推理和问题解决的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $