河南省周口市郸城县第二实验中学2026-2027学年九年级数学上学期开学模拟练习卷

**基本信息** 聚焦九年级开学衔接，以黄河流域流量、“云健身”服务等现实情境为载体，通过分式、四边形、统计与概率等核心知识，考查数学抽象、几何直观与数据观念，体现素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|分式判定、不等式解集、平行四边形性质|结合轴对称（第9题）考查空间观念| |填空题|5/15|反比例函数定义、方差计算、正方形平移|以空气质量数据（第14题）强化数据意识| |解答题|8/75|分式方程、统计图表、圆的切线证明、几何探究|23题通过等边三角形动态探究，发展推理能力与创新意识|

河南省周口市郸城县第二实验中学2026-2027学年九年级数学上学期开学模拟练习卷 考试时间：100 分钟 满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1．下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 2．若分式的值等于0，则x的取值为（     ） A． B． C．或 D． 3．下列说法正确的是（    ） A．的正整数解只有一个 B．是的解 C．不等式的解集是 D．不等式的整数解有10个 4．如图，在平行四边形中， 平分，，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 5．下列命题中，真命题是（     ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 6．黄河流域某河段年均流量变化数据，若一组数据28，32，30，x，34的平均数为31，则x的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 7．已知点在反比例函数的图像上，则 与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 8．已知，，以下结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 9．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．小余从家出发去观看“河南省篮球城市联赛”信阳洛阳的比赛，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈从家里送来，同时小余也往家走，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续前往比赛现场，设小余从家出发后所用时间为t，小余与比赛现场的距离为s，下图能反映s与t关系的大致图象是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（5 小题，每题 3 分，共 15 分） 11．如果分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 12．若是反比例函数，则m的值为________． 13．如图，边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴、轴上，将正方形向右平移，当点落在函数的图象上时，点的对应点的坐标为______． 14．下表为某空气质量监测站一周的监测数据： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 天气 多云 多云 阴 阴 多云 扬沙 中雨 日均空气污染指数 90 100 120 110 80 180 20 经计算，日均空气污染指数一周数据的平均数为100，方差约为1971．若排除周六扬沙和周日中雨对空气污染指数的影响，仅计算周一到周五的日均空气污染指数，平均数仍为100，方差的计算结果会_____（填“变大”或“变小”）． 15．如图，在平行四边形中，，则平行四边形的面积为_________． 三、解答题（8 小题，16题至22题，每题9分，23题12分，共 75 分） 16．计算： (1)； (2)． 17．解分式方程： 18．2022年河南省全民健身（线上）运动会最终各奖项于12月20日公布，此次盛会充分展示疫情防控常态化下我省全民健身开展情况，某健身房于此推出“云健身”服务，针对特殊人群开展活动．活动方案如下：方案一：不购买“云”，每次收费10元；方案二：购买“云”，每次另行额外收费． 设王先生“云健身”次数为（次，按照方案一所需费用为（元，且；按照方案二所需费用为 （元，且．其函数图象如图所示．    (1)　　；购买“云”需 　　元； (2)两种方案的函数图象交于点，请求出点的坐标并解释点的实际意义； (3)若王先生准备“云健身”25次，选择方案 　　（选填“一”或“二” 所需费用较少；若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案 　　（选填“一”或“二” 可以获得更多的次数． 19．如图，内接于，直线l与相切于点C． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：过点O作射线，交直线l于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，若，求的长． 20．某校九年级进行了体育模拟测试，现从中随机抽取了部分学生的体育成绩进行分段（A：50分；B：分；C：分；D：分；E：分），已知C等级人数占，其他结果在统计图中显示． 回答下列问题： (1)抽取的样本中，A等级的人数有______人，并补齐条形统计图； (2)抽取的样本中，考试成绩的中位数所在分数段是______； (3)请估算该校1000名九年级学生的体育模考成绩平均分是多少？ 21．如图，是直径，点是上一点，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为点，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求长． 22．某超市用2000元购进某种水果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨6000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次提高了，购进的数量比第一次的2倍还多200千克，超市此时按每千克10元的价格出售，当大部分售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该种水果的第一次的进价是每千克多少元？ (2)超市第二次销售该种水果盈利了多少元？ 23．已知点O是内任意一点，连接并延长到点E，使得，以，为邻边作平行四边形． (1)问题发现 如图1，若为等腰直角三角形（为斜边），连接，与交于点H，连接，则线段与的位置关系是______，数量关系为______； (2)拓展探究 如图2若为等边三角形，连接，与交于点H，连接．猜想与的位置关系与数量关系，并说明理由． (3)解决问题 如图3，若为等边三角形，，，，求的长． 试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《河南省周口市郸城县第二实验中学2026-2027学年九年级数学上学期开学模拟练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C C D B C C B 1．C 【分析】分式的定义为：若两个整式，（），且中含有字母，则式子为分式，据此判断即可． 【详解】解：根据分式的定义逐一判断： 选项A：中分母为常数，是整式，不是分式； 选项B：中是常数，分母不含字母，是整式，不是分式； 选项C：中分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式； 选项D：是整式，不是分式； 故选：C． 2．A 【分析】根据分式值为的条件，可知分子为且分母不为，先求分子为对应的，再排除使分母为的取值，得到结果． 【详解】解：∵分式的值等于 ∴ 解得， 解得． ∴． 3．B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，根据解不等式的步骤和一元一次不等式的整数解的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、的正整数解有1和2，共2个，原说法错误，不符合题意； B、解不等式得，则是不等式的解，原说法正确，符合题意； C、解不等式得，原说法错误，不符合题意； D、不等式的整数解有无数个，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．C 【分析】根据平行四边形对边平行的性质，利用“两直线平行，内错角相等”可得到,再根据角平分线的定义求出的值，最后利用“平行四边形对角相等”的性质求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴,, ∴， ∵， ∴, ∵平分， ∴, ∴． 5．C 【分析】本题根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定定理，逐一判断各命题即可得到结果. 【详解】解： A、对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故A是假命题； B、对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等的四边形不是正方形，故B是假命题； C、根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，故C是真命题； D、一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故D是假命题． 6．D 【分析】根据平均数计算公式列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得 解得． 7．B 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴点在反比例函数第二象限的双曲线上，且y随x的增大而增大， ∵， ∴． 8．C 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，先对B进行通分化简，再将化简后的B与A进行运算，验证各选项结论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴， 故选项C正确， ∵， ∴， 故选项A不正确， ∵， ∴， 故选项B不正确， ∵， ∴， 故选项D不正确， 故选：C 9．C 【分析】根据轴对称的性质得到，再在中利用勾股定理求出斜边的长，即可得到的长度． 【详解】解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 10．B 【详解】解：纵轴的实际意义代表小余与比赛现场的距离，由题意图象分为四段， 第一段，小余从家出发随时间增加与比赛现场的距离在减小， 第二段，小余往家走，随时间增加离赛场的距离在增大， 第三段，与妈妈聊了一会，随时间的增加与赛场的距离不变， 第四段，接着继续前往比赛现场，随时间增加小余离赛场逐渐变小，直至为0； 观察各选项，只有B选项的图象符合． 11．x 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式并求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 12． 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且，； 解得，又； ． 故答案为： 13． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及坐标与图形变化-平移，利用一次函数图象上点的坐标特征及平移的性质，找出正方形平移的距离是解题的关键．利用正方形的性质，可得出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，再结合平移的性质，即可得出点的坐标． 【详解】解：边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴、轴上， 点的坐标为，点的坐标为， 将正方形向右平移，当点落在函数的图象上时，则时，， 解得， 点的对应点的坐标为， 即当点落在函数的图象上时，正方形往右平移（个单位长度）， 此时点的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 14．变小 【分析】计算周一到周五的日均空气污染指数的方差，即可判断． 【详解】解：仅计算周一到周五的日均空气污染指数，方差为 ， ∵， ∴方差变小． 15． 【分析】勾股定理求出的长，进而求出的面积，即可得出结果. 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴四边形的面积. 16．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17． 【详解】解： ， ， 解得：， 检验：当时分母不为0， ∴原方程解为． 18．(1)， (2)点A的坐标为；点A的实际意义为：当“云健身”20次时，两种方案所需费用相同，均为元 (3)二；一 【分析】（1）分别根据题意和函数的图象求解； （2）先根据待定系数法求出两个函数的解析式，再求出交点坐标，结合实际说出点的意义； （3）根据图象可知，次数大于20次时，方案二的费用较少，费用小于200时，方案一次数较多，由此求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 由图象得：当时，，即购买“云”需 120元， 故答案为：，； （2）由题意得：， ，在 上， ， 解得：， ， 令， 解得， ， 点的坐标为； 点的实际意义为：当“云健身”20次时，两种方案所需费用相同，均为200元； （3）由图象得：王先生准备“云健身”25次，选择方案二所需费用较少； 若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案 一可以获得更多的次数； 故答案为：二；一． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． 19．(1) (2) 【分析】（1）过点作的垂线即可； （2）连接，如图，先利用勾股定理计算出，再利用切线的性质得到，利用平行线的性质得到，接着证明，则可判断，然后利用相似比可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， 则有， ， ， 直线与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 20．(1)， (2)B (3)分 【分析】（1）根据C等级人数以及所占百分比求出抽查总人数，进一步根据题意求出A等级人数即可； （2）根据中位数的定义即可得出； （3）根据这250人的平均成绩估计全校1000名的平均成绩，取各段的中点值进行计算即可． 【详解】（1）解：抽取的总人数为：（人）， A等级的人数有：（人）； 统计图略； （2）解：由统计图可知，中位数在B等级； （3）解：因为是随机抽取的250人进行考查，所以可以用这250人的平均成绩估计全校1000名的平均成绩， 取各段的中点值进行计算： ． ∴估计全校1000名九年级学生的体育模考的平均成绩是分． 21．(1)证明：如图，连接，则， ， 是的切线， ∴， 又∵， ， ， ， 平分． (2) 【分析】（1）连接，得到，再由切线得到，结合得到，然后得到，最后得到，然后得证结果； （2）过点作于点，先通过，，求得， ，然后设半径为，进而表示出、的长，再利用勾股定理列出关于的方程求解的值，最后得到的长度． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ， ， 设，则 ， 在中，， ， 解得：， ． 22．(1)该种水果第一次进价是每千克5元 (2)超市第二次销售该种水果盈利了3800元 【分析】（1）设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）利用（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元， 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种水果第一次进价是每千克5元； （2）解：（千克）， （元）． 答：超市第二次销售该种水果盈利了3800元． 23．(1)， (2)，， 理由：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴点A为的中点，点H为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴． (3) 【分析】（1）连接，利用平行四边形对角线互相平分，再结合等腰直角三角形三线合一的性质得到，，由三角形中位线定理推出，，从而推导出线段与的位置关系和数量关系； （2）同（1）方法得出，，利用等边三角形的性质，结合解直角三角形推导出，从而推导出线段与的位置关系和数量关系； （3）连接，与交于点D，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，结合已知条件，利用等边三角形的性质，旋转的性质及勾股定理逆定理推导出是直角三角形，再利用正弦的定义得出，从而求出，利用勾股定理求得等边三角形的边长，最后利用（2）的结论即可求得结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴点A为的中点，点H为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴． （2）略 （3）解：如图，连接，与交于点D，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴． 答案第2页，共14页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $