精品解析： 河南省周口市郸城实验中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

2025-2026学年河南省周口市郸城实验中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．利用一元二次方程的定义，即可找出结论． 【详解】解：A．方程是一元二次方程，选项A符合题意； B．方程是分式方程，选项B不符合题意； C．方程，为一元一次方程，选项C不符合题意； D．是二元一次方程，选项D不符合题意． 故选：A． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：因为，所以A不是最简二次根式； 因为，所以B不是最简二次根式； 因为，所以C不是最简二次根式； 因为是最简二次根式，所以D符合题意． 故选：D． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．先求出的值，再判断，即可解题． 【详解】解：， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 将方程化成的形式，则的值分别为（　　） A. 4，8，25 B. 4，2， C. 4，8， D. 1，2，25 【答案】C 【解析】 【分析】将移项化为一元二次方程的一般式即可求解． 【详解】解：将原方程化为一般形式得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键． 5. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，同类二次根式才可以合并，熟记定义并应用是解本题的关键．先化简各项，再根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、，不能与合并，故本选项不符合题意； 、，不能与合并，故本选项不符合题意； 、，能与合并，故本选项符合题意； 、不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：． 6. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，二次根式的性质以及二次根式的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．根据零指数幂，二次根式的性质以及二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 一元二次方程的一根是，则方程的另一根是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设方程的另一个根为，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵3和是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴方程的另一根是， 故选：A． 9. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设这次会议到会的人数为x人，则一人握次，根据每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了次，可列方程，然后作答即可． 【详解】解：设这次会议到会的人数为x人， 依题意得，， 故选：A． 10. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴图可知，，再根据化简式子即可． 【详解】解：根据数轴图可知，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查数轴和二次根式及绝对值的化简，分式的基本性质，解题关键是根据数轴图判断绝对值里数值的正负． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，二次根式的除法计算，直接把方程两边同时除以即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 13. 已知一元二次方程，则其判别式的值______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，直接根据求解，即可解题． 【详解】解：一元二次方程判别式的值为， 故答案为：8． 14. 已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是的根，则该三角形的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法、勾股定理的逆定理，正确求解方程，从而得出三角形的第三边长是解题关键．先解一元二次方程求出该方程的实数根，然后根据勾股定理的逆定理得出这个三角形是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解： 解得， 第三边长是， ， 该三角形为直角三角形， 该三角形的面积为， 故答案为：6． 15. 如图，在中，，动点分别从点同时开始运动（运动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点运动到点C后停止，点P也随之停止运动．若使的面积为，则点运动的时间是______，______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练的建立方程求解是解本题的关键．先求解，设运动时间为，可得，再利用面积建立方程求解，即可求出时间t，再根据勾股定理即可求出． 【详解】， ， 设运动时间为， ， 的面积为， ， 解得：， 当时，，不成立，舍去， ， ， ， 故答案为：3，． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，对于（1），先移项，再因式分解，求出解；对于（2），先求出，再根据求根公式求出解． 【小问1详解】 解：整理，得， 因式分解，得， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 则， ∴． 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：第一项运用乘法分配律进行计算；第二项运用平方差公式进行计算即可. 试题解析：原式=5+15-12 =. 18. 一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个数小1，求这个两位数． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；用到的知识点为：两位数十位数字个位数字． 等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和这个两位数，把相关数值代入求得整数解即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（舍），， 这个两位数为35． 19. 已知，，． （1）______，______； （2）求的值． 【答案】（1）4， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，分式的化简求值，以及平方差公式的运用． （1）根据二次根式的加减混合运算法则代入求解即可； （2）先对原式进行化简，再结合平方差公式代入求值即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， 故答案为：4，． 【小问2详解】 解： ． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两根之积为8，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 证明： ， 方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：记关于的一元二次方程的两个根分别为，， 有， ，即， ． 21. 阅读下面的例题： 例：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得（舍去），； ②当时，原方程可化为，解得（舍去），； 综上所述，原方程的根是，． 依照题目所给出的例题解法，解方程． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分为两种情况：①当时，原方程化为；②当时，原方程化为，求出方程的解即可． 【详解】解：①当即时， 原方程化为，即， ， 方程没有实数根； ②当即时， 原方程化为，即， 即， 解得， 综上所述，原方程的解为． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解答此题的关键是进行分类讨论并正确去掉绝对值符号． 22. 随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次． （1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）从六月份起，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，租金每降价1元，全天包车数增加次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？ 【答案】（1）全天包车数的月平均增长率为60% （2）当租金降价70元时，公司将获利8800元 【解析】 【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为；五月份的全天包车数为，又知五月份的全天包车数为64次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可； （2）每辆全天包车的租金全天包车数量列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设全天包车数的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）， 答：全天包车数的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设租金降价a元，则， 化简得：， 解得：． 为了尽可能让利顾客，． 答：当租金降价70元时，公司将获利8800元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键． 23. 阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： （1）当，时，______，______； （2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当，时，令，，，…，，且，求T的值． 【答案】（1）， （2） 猜想结论： 证明： ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）结合题意利用（2）中结论求解即可． 【小问1详解】 解： 当，时， 原式； 当，时， 原式； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省周口市郸城实验中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 4. 将方程化成的形式，则的值分别为（　　） A. 4，8，25 B. 4，2， C. 4，8， D. 1，2，25 5. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程的一根是，则方程的另一根是（ ） A. B. 1 C. D. 3 9. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 12. 方程的解是______． 13. 已知一元二次方程，则其判别式的值______． 14. 已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是的根，则该三角形的面积为______． 15. 如图，在中，，动点分别从点同时开始运动（运动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点运动到点C后停止，点P也随之停止运动．若使的面积为，则点运动的时间是______，______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 计算： ． 18. 一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个数小1，求这个两位数． 19. 已知，，． （1）______，______； （2）求的值． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两根之积为8，求的值． 21. 阅读下面的例题： 例：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得（舍去），； ②当时，原方程可化为，解得（舍去），； 综上所述，原方程的根是，． 依照题目所给出的例题解法，解方程． 22. 随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次． （1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）从六月份起，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，租金每降价1元，全天包车数增加次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？ 23. 阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： （1）当，时，______，______； （2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当，时，令，，，…，，且，求T的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $