第二章 实数与二次根式- 学案 2026--2027学年北师大版八年级上册

该初中数学导学案聚焦实数与二次根式，课堂导入通过数的发展历史引入，温故知新回顾立方根概念及性质，搭建从有理数到实数的知识支架，衔接前后学习内容。 资料特色在于分层设计典例与闯关练习，结合数轴直观分析实数关系，培养抽象能力和几何直观，通过二次根式化简与运算训练推理意识，提升运算能力，助力学生用数学语言表达数量关系，适合自主学习与课堂教学。

实数与二次根式 温故知新 一、上节课重点回顾 1、立方根的概念 如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。 记为 ，读作“三次根号”。 2、立方根的性质 注意：任何数都只有一个立方根，不可以与平方根的性质混淆。 3、开立方 ， 。 课堂导入 人是动物进化的产物,最初也完全没有数量的概念.但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步.这样,在漫长的生活实践中,由于记事和分配生活用品等方面的需要,才逐渐产生了数的概念. 提到数，大家都不陌生。小学期间我们学习了自然数和正分数，在初一学习了负数以后，解决了在有理数不够减的问题，数的范围扩充为有理数；之后又学习了无理数，解决了开方开不尽的矛盾，数的范围进一步扩大。 数字是个神秘的领域，它为我们学好数学奠定了基础，它们的家庭也在日益壮大折…… 知识要点一 实数的概念及分类 1、实数的概念及分类 有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。 （1）按定义分类： （2）按正负分类： 2、实数的性质 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同。 （1）相反数： 与 表示任意一对相反数；（2）绝对值： ； （3）倒数：如果表示一个非零数，那么与 互为倒数。 有关性质：（1） 与 互为相反数 ；（2） 与互为倒数； （3） ；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ； （5）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。 3、实数的运算及化简：实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数任然适用。 4、实数与数轴的关系：每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5、利用实数轴比较实数的大小 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数；两个负实数相比较，绝对值大的反而小。 典例分析 例1.的相反数是（　　） A．﹣ B． C． D．﹣ 例2.数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b 例3.次根式有意义的x的取值范围是（　　） A． x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1 例4.已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是　 　． 例5.填入它所在的数集内：﹣，﹣，﹣0.1010010001…，0，﹣（﹣2.28），﹣|﹣4|，﹣32 正数集合：{ 　…} 负分数集合：{　 　…} 非正整数集合：{　 　…}； 无理数集合：{　 　…}． 举一反三 1．﹣的绝对值是（　　） A．﹣ B．﹣ C． D．5 2.如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　　） A．P B．Q C．m D．n 3.1﹣的相反数是　 　，绝对值是　 ． 的算术平方根是　 　，的立方根的相反数是　 ． 4. +（2﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣1| 5.计算：|﹣3|﹣+（）0． 知识要点二 二次根式 1.二次根式的概念：一般地，形如 的式子叫做二次根式， 叫做被开方数。 2.积的算术平方根：积的算术平方根的性质： ，即积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 3.商的算术平方根：商的算术平方根的性质： 4.最简二次根式的概念 一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 5.二次根式的乘法与除法 二次根式的乘法法则： ：二次根式的除法法则： 6.分母有理化 （1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。如： 与，和。 （2）分母有理化的依据是：分式的基本性质； （3）分母有理化的方法是：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。 7.二次根式的加减法 二次根式加减法法则：二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并。（二次根式的加减与整式的加减相类似。） 8.二次根式的混合运算 二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最好算加减，有括号的先算括号里面的。 多项式乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用。 典例分析 例1.已知a2﹣b2=，a﹣b=，则a+b=　　 ． 例2.若x=﹣2，则代数式x2+1的值为　 　． 例3.把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）． 例4.先化简，再求值：，其中a=+1． 举一反三 1.下列各式分母有理化： （1） （2） （3）． 2．已知a=，求的值． 3．已知x=2+，y=2﹣，求的值． 4．化简求值：﹣，其中x=2，y=3． 5．已知+=b+8． （1）求a的值； （2）求a2﹣b2的平方根． 学霸说 判断一个二次根式是否为最简二次根式的依据是： （1）被开方数中的因数是整数，因式是整式。 （2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。 课堂闯关 初出茅庐 1. 下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．|﹣|与 C．与 D．与 2．的绝对值是（　　） A． B． C． D． 3．已知x2=3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是（　　） A．P1 B．P4 C．P2或P3 D．P1或P4 4．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（　　） A． B． C． D． 5．若二次根式有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2 6．要使式子有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0 7．把下列各数填入相应的大括号内． 0.302，，，，，﹣，0，﹣160 （1）无理数集合：{　 　 } （2）正有理数集合：{　 } （2）负实数集合：{　 　}． 8．的相反数是　 ，绝对值是　 ． 9．计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0． 10．计算：3+（﹣2）3﹣（π﹣3）0． 11．已知x=﹣，y=+，则x﹣y的值为　 ． 12．若m2=100，||=1，则m+=　 　． 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为　 　． 14．化简求值：（）÷，其中x=． 优学学霸 1．先化简再求值：，其中x=，y=． 2．化简求值：﹣，其中x=2，y=3． 3．已知x＞0，y＞0，且有（+2）=（6+5），求的值． 考场直播 1．【深圳罗湖期末】化简求值：（），其中a=2+． 2．【深圳南山期中】计算：﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2| 3．【深圳龙华期中】已知，且x为偶数，求的值． 自我挑战 1．实数a，b互为相反数，则下列结论正确的是（　　） A．a+b=0 B．ab=1 C．a÷b=﹣l D．a＞0，b＜0 2．下列关于实数a说法正确的是（　　） A．a的相反数是﹣a B．a的倒数是﹣a C．a的绝对值是±a D．a的平方是正数 3．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0 4．如图，实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大的数对应的点是（　　） A．点M B点N C．点P D．点Q 5．下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a＜1的是（　　） A． B． C． D． 6．要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x≤2 7．指出下列数中的有理数和无理数： ，，﹣3π，，3.1415926，，，0.121121112…． 有理数有：　 　；无理数有：　 　． 8．化简=　 ． 9．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，则点C表示的数为　 　． 10．计算：（π﹣3）0+|﹣2|﹣÷+（﹣1）﹣1． 11．计算：（2π）0+|﹣6|﹣． 12．下列二次根式中①②③④中，最简二次根式是　 　． 13．若x﹣y=﹣1，xy=，则代数式（x﹣1）（y+1）的值为　 ． 14．已知x+=，那么x﹣=　 ． 15．已知a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 实数与二次根式 温故知新 一、上节课重点回顾 1、立方根的概念 如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。 记为 ，读作“三次根号”。 2、立方根的性质 注意：任何数都只有一个立方根，不可以与平方根的性质混淆。 3、开立方 ， 。 课堂导入 人是动物进化的产物,最初也完全没有数量的概念.但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步.这样,在漫长的生活实践中,由于记事和分配生活用品等方面的需要,才逐渐产生了数的概念. 提到数，大家都不陌生。小学期间我们学习了自然数和正分数，在初一学习了负数以后，解决了在有理数不够减的问题，数的范围扩充为有理数；之前又学习了无理数，解决了开方开不尽的矛盾，数的范围进一步扩大。 数字是个神秘的领域，它为我们学好数学奠定了基础，它们的家庭也在日益壮大折…… 知识要点一 实数的概念及分类 1、实数的概念及分类 有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。 （1）按定义分类： （2）按正负分类： 2、实数的性质 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同。 （1）相反数： 与 表示任意一对相反数；（2）绝对值： ； （3）倒数：如果表示一个非零数，那么与 互为倒数。 有关性质：（1） 与 互为相反数 ；（2） 与互为倒数； （3） ；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ； （5）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。 3、实数的运算及化简：实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数任然适用。 4、实数与数轴的关系：每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5、利用实数轴比较实数的大小 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数；两个负实数相比较，绝对值大的反而小。 典例分析 例1.的相反数是（　　） A．﹣ B． C． D．﹣ 【解析】C 例2.数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b 【解析】D． 例3.次根式有意义的x的取值范围是（　　） A． x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1 【解析】D． 例4.已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是　1﹣2a　． 例5.填入它所在的数集内：﹣，﹣，﹣0.1010010001…，0，﹣（﹣2.28），﹣|﹣4|，﹣32 正数集合：{　﹣（﹣2.28）　…} 负分数集合：{　﹣　…} 非正整数集合：{　0，﹣|﹣4|，﹣32　…}； 无理数集合：{　﹣，﹣0.1010010001…　…}． 举一反三 1．﹣的绝对值是（　　） A．﹣ B．﹣ C． D．5 【解析】C． 2.如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　　） A．P B．Q C．m D．n 【解析】A． 3.1﹣的相反数是　﹣1　，绝对值是　﹣1　． 的算术平方根是　2　，的立方根的相反数是　﹣2　． 4. +（2﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣1| 【解析】+（2﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣1|=4+1﹣4+1=2． 5.计算：|﹣3|﹣+（）0． 【解析】原式=3﹣﹣4+1=﹣． 知识要点二 二次根式 1.二次根式的概念：一般地，形如 的式子叫做二次根式， 叫做被开方数。 2.积的算术平方根：积的算术平方根的性质： ，即积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 3.商的算术平方根：商的算术平方根的性质： 4.最简二次根式的概念 一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 5.二次根式的乘法与除法 二次根式的乘法法则： ：二次根式的除法法则： 6.分母有理化 （1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。如： 与，和。 （2）分母有理化的依据是：分式的基本性质； （3）分母有理化的方法是：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。 7.二次根式的加减法 二次根式加减法法则：二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并。（二次根式的加减与整式的加减相类似。） 8.二次根式的混合运算 二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最好算加减，有括号的先算括号里面的。 多项式乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用。 典例分析 例1.已知a2﹣b2=，a﹣b=，则a+b=　　． 例2.若x=﹣2，则代数式x2+1的值为　10﹣4　． 例3.把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）． 【解析】（1）原式==××==； （2）原式=﹣××=． 例4.先化简，再求值：，其中a=+1． 【解析】===， 当时，原式==． 举一反三 1.下列各式分母有理化： （1） （2） （3）． 【解答】解：（1）原式===﹣； （2）原式===； （3）原式===﹣． 2．已知a=，求的值． 【解答】解：∵a=，∴a﹣1＜0； ∴原式==a﹣1+， 当a=时，原式=﹣1+=． 3．已知x=2+，y=2﹣，求的值． 【解答】解：由已知，得x+y=2++2﹣=4， x﹣y=2+﹣2+=2， xy=（2+）（2﹣）=4﹣3=1， ∴原式=． 4．化简求值：﹣，其中x=2，y=3． 【解答】解：原式=﹣=， 当x=2，y=3时，原式=﹣5． 5．已知+=b+8． （1）求a的值； （2）求a2﹣b2的平方根． 【解答】解：根据题意得：， 解得：a=17； （2）b+8=0，解得：b=﹣8． 则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225， 则平方根是：±15． 学霸说 判断一个二次根式是否为最简二次根式的依据是： （1）被开方数中的因数是整数，因式是整式。 （2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。 课堂闯关 初出茅庐 1. 下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．|﹣|与 C．与 D．与 【解析】C． 2．的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【解析】C． 3．已知x2=3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是（　　） A．P1 B．P4 C．P2或P3 D．P1或P4 【解析】D． 4．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【解析】A． 5．若二次根式有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2 【解析】A 6．要使式子有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0 【解析】D． 7．把下列各数填入相应的大括号内． 0.302，，，，，﹣，0，﹣160 （1）无理数集合：{　，，﹣　} （2）正有理数集合：{　0.302，　} （2）负实数集合：{　，﹣，﹣160　}． 8．的相反数是　﹣　，绝对值是　﹣　． 9．计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0． 【解析】原式=5+3﹣1=7． 10．计算：3+（﹣2）3﹣（π﹣3）0． 【解析】原式=15﹣8﹣1=6． 11．已知x=﹣，y=+，则x﹣y的值为　﹣2　． 12．若m2=100，||=1，则m+=　13或﹣7　． 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为　4　． 14．化简求值：（）÷，其中x=． 【解析】原式=×=． 将x=代入，得原式==． 优学学霸 1．先化简再求值：，其中x=，y=． 【解析】解：原式=+==， ∵x=+1，， ∴，xy=3﹣1=2， ∴原式==． 2．化简求值：﹣，其中x=2，y=3． 【解析】解：原式=﹣=， 当x=2，y=3时，原式=﹣5． 3．已知x＞0，y＞0，且有（+2）=（6+5），求的值． 【解析】解：由（+2）=（6+5），整理得 （）2﹣4•﹣5（）2=0， 即（+）（﹣5）=0， ∵x＞0，y＞0， ∴+＞0，﹣5=0， 解得x=25y， ∴= ==． 考场直播 1．【深圳罗湖期末】化简求值：（），其中a=2+． 【解析】原式=[+]•+ =•+ ==， 当a=2+时，原式=+1． 2．【深圳南山期中】计算：﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2| 【解析】﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|=2﹣1﹣1=0． 3．【深圳龙华期中】已知，且x为偶数，求的值． 【解析】由题意得，解得：6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8． 原式=（1+x）=（x+1）=． ∴当x=8时，原式=． 自我挑战 1．实数a，b互为相反数，则下列结论正确的是（　　） A．a+b=0 B．ab=1 C．a÷b=﹣l D．a＞0，b＜0 【解析】A． 2．下列关于实数a说法正确的是（　　） A．a的相反数是﹣a B．a的倒数是﹣a C．a的绝对值是±a D．a的平方是正数 【解析】A．　 3．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0 【解析】D． 4．如图，实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大的数对应的点是（　　） A．点M B点N C．点P D．点Q 【解析】D． 5．下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a＜1的是（　　） A． B． C． D． 【解析】D． 6．要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x≤2 【解析】B． 7．指出下列数中的有理数和无理数： ，，﹣3π，，3.1415926，，，0.121121112…． 有理数有：　，3.1415926，　；无理数有：　，﹣3π，，，0.121121112…　． 8．化简=　﹣　． 9．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，则点C表示的数为　2﹣　． 10．计算：（π﹣3）0+|﹣2|﹣÷+（﹣1）﹣1． 【解析】原式=1+2﹣2﹣1=0． 11．计算：（2π）0+|﹣6|﹣． 【解析】原式=1+6﹣2=5． 12．下列二次根式中①②③④中，最简二次根式是　③　． 【解析】是最简二次根式，故答案为：③． 13．若x﹣y=﹣1，xy=，则代数式（x﹣1）（y+1）的值为　﹣1　． 【解析】原式=（xy+x﹣y﹣1）=（+﹣1﹣1）=﹣1． 故答案是：﹣1． 14．已知x+=，那么x﹣=　±3　． 【解析】∵x+=，∴（x+）2=13，∴x2++2=13， ∴x2+=11，∴x2+﹣2=（x﹣）2=9，∴x﹣=±3． 故答案为：±3． 15．已知a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，求的值． 【解析】∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0；∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0 ∴a=2，b=1，∴==7+． 学科网（北京）股份有限公司 $