第二章实数-立方根与估算 辅导讲义 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦八年级上册“立方根与估算”核心知识点，系统梳理立方根的概念（定义、记法）、性质（正负数及0的立方根特点）、开立方运算（与立方的互逆关系），并通过“夹逼法”构建估算无理数大小及比较数的大小的学习支架，形成从基础到应用的递进式知识脉络。 该资料以分考点例题（如综合算术平方根与立方根的例5）和分层练习（课堂狙击、课后反击、直击中考）为特色，培养学生抽象能力（概念理解）、运算能力（开立方计算）和推理意识（估算逻辑）。课中助力教师系统授课，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 第04讲-立方根与估算 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 1 了解立方根、开立方的概念； 2 学会运用立方根的性质； 3 掌握估算的方法及估算比较数的大小。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) 1、 知识梳理 1、立方根的概念 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。 注意：每一个数有且只有一个立方根，记为 ，读作“三次根号”。 2、立方根的性质 （1）正数的立方根是正数；（2）0的立方根是0；（3）负数的立方根是负数。 注意：任何数都只有一个立方根，不可以与平方根的性质混淆。 3、开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中叫做被开方数。 注意：（1）开立方与立方是互逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成； （2）开平方时，被开方数是非负数；开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0； （3） ， 。 4、估算 （1）用估算法确定无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”逐级夹逼，首先确定其正数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 （2）用估算的方法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小时，一般至少有一个是无理数。在比较大小时，通常先通过分析，估算出无理数的大致范围，在进行具体的比较。 注意：（1） ；（2） 。 考点一：立方根的概念 例1、﹣8的立方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣ 【解析】故选：B． 例2、﹣64的立方根是（　　） A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8 【解析】故选C． 　 例3、若是一个正整数，满足条件的最小正整数n=　3　． 【解析】∵，∴满足条件的最小正整数n=3，故答案为：3． 例4、计算的结果是　﹣　． 【解析】==，故答案为：﹣． 例5、已知m+2的算术平方根是4，2m+n+1的立方根是3，求m﹣n的平方根． 【解析】由题意得，，解得： 故可得m﹣n=16，m﹣n的平方根是±4． 　 例6、已知一个正数x的平方根是3a+2与2﹣5a． （1）求a的值； （2）求这个数x的立方根． 【解析】（1）∵一个正数x的平方根是3a+2与2﹣5a．∴（3a+2）+（2﹣5a）=0，∴a=2． （2）当a=2时，3a+2=3×2+2=8，∴x=82=64．∴这个数的立方根是4． 考点二：实数大小比较 例1、下列四个数中，最大的一个数是（　　） A．2 B． C．0 D．﹣2 【解析】根据实数比较大小的方法，可得﹣2＜0＜＜2，故四个数中，最大的一个数是2．故选：A． 　 例2、下面实数比较大小正确的是（　　） A．3＞7 B． C．0＜﹣2 D．22＜3 【解析】故选B． 例3、在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（　　） A．﹣3 B．0 C． D．﹣1 【解析】故选：B． 例4、比较大小：﹣3　＜　． 【解析】∵4＜5＜9，∴2＜＜3， ∴﹣3＜0，﹣2＞0，∴﹣3＜．故答案为：＜． 例5、先比较大小，再计算． （1）比较大小：与3，1.5与； （2）依据上述结论，比较大小：2与； （3）根据（2）的结论，计算：|﹣|﹣|﹣2|． 【解析】（1）∵7＜9，∴＜3，∵1.52=2.25＜3，∴1.5＜； （2）∵＞1.5，∴2＞3，又3＞，∴2＞； （3）原式=﹣﹣2+=2﹣3． 考点三：估算无理数的大小 例1、估计的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【解析】故选B． 例2、估计+1的值（　　） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【解析】故选：C． 例3、判断2﹣1之值介于下列哪两个整数之间？（　　） A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7 【解析】∵2=，且＜＜，即6＜2＜7，∴5＜2﹣1＜6，故选：C． 　 例4、若a、b分别是、的整数部分，则a+b的平方根是　±3　． 【解析】∵5＜＜6，∴的整数部分a=5， ∵4＜＜5，∴的整数部分b=4， ∴a+b=5+4=9，∴9的平方根是±3，故答案为：±3． P(Practice-Oriented)——实战演练 ( 实战演练 ) · 课堂狙击 1．下列叙述中，不正确的是（　　） A．绝对值最小的实数是零 B．算术平方根最小的实数是零 C．平方最小的实数是零 D．立方根最小的实数是零 【解析】故选D． 2．的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2 【解析】故选：A． 3．在实数，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（　　） A． B．﹣2 C．0 D．3 【解析】故选：C． 4．下列实数中，﹣（﹣π），|﹣3|，3中，最大的是（　　） A． B．﹣（﹣π） C．|﹣3| D．3 【解析】故选B． 　 5．已知a、b为两个连续整数，且a＜﹣＜b，则a+b=（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【解析】∵16＜20＜25，∴4＜＜5． ∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴﹣3＜﹣＜﹣2， ∴4﹣3＜﹣＜5﹣2，即1＜﹣＜3， ∵a、b为两个整数，∴a=2，b=3，∴a+b=5．故选：B． 6．把表示成幂的形式是　　． 【解析】把表示成幂的形式是．故答案为：． 　 7． 的立方根是　﹣　． 【解析】∵（﹣）3=﹣，∴的立方根是﹣．故答案为：﹣． 8．比较大小：　＜　1（填“＜”或“＞”或“=”）． 【解析】∵≈0.62，0.62＜1，∴＜1；故答案为：＜． 　 9．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是　4　． 【解析】∵a=﹣|﹣2|=﹣2，b=﹣（﹣1）=1，c==﹣3， ∴则a、b、c中最大实数是b，最小实数是c， ∴a、b、c中最大实数与最小实数的差是b﹣c=1﹣（﹣3）=4；故答案为：4． 10．若n＜＜n+1，且n是正整数，则n=　3　． 【解析】∵9＜13＜16，∴3＜＜4．∵n是正整数，∴n=3．故答案为：3． 11．已知：2x+3y﹣2的平方根为±3，3x﹣y+3的立方根为﹣2，求的平方根． 【解析】∵2x+3y﹣2的平方根为±3，3x﹣y+3的立方根为﹣2，∴，解得：． ∴3x+4y+2=﹣6+20+2=16，∴=4．∴4的平方根是±2． 　 12．已知实数x、y满足，求2x﹣的立方根． 【解析】由非负数的性质可知：2x﹣16=0，x﹣2y+4=0， 解得：x=8，y=6．∴2x﹣y=2×8﹣×6=8． ∴2x﹣的立方根是2． 13．设A=+，B=+，试比较A，B的大小． 【解析】∵A=+＞0，B=+＞0， ∴A2=（+）2=8+2，B2=（+）2=8+2， ∵12＜15，∴2＜2，∴A2＜B2，∴A＜B． · 课后反击 1.下列说法正确的是（　　） A．9的倒数是﹣ B．9的相反数是﹣9 C．9的立方根是3 D．9的平方根是3 【解析】故选：B． 2. 设a是小于1的正数，且，则a与b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定 【解析】∵o＜a＜1，∴a可为，，等，∴a=时，b=，依此类推，∴b＞a．故答案为B． 　 3. 给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是（　　） A．0 B． C．π D．﹣1 【解析】根据实数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜＜π， 故给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是﹣1．故选：D． 4. ﹣2的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【解析】∵16＜17＜25，∴4＜＜5．∴2＜﹣2＜3．故选：B． 5. 若a2=64，则=　±2　． 【解析】∵a2=64，∴a=±8， ∴=±2故填±2． 6. 已知x+2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y的立方根为　　． 【解析】∵x+2的平方根是±2，∴x+2=22=4，解得x=2； ∵2x+y+7的立方根是3，∴2x+y+7=33=27，∴2×2+y+7=27，解得y=16； ∴x2+y=22+16=4+16=20∴x2+y的立方根为．故答案为：． 7. 比较大小：4﹣　＞　1（填“＞”、“=”或“＜”） 【解析】∵2＜＜3，∴﹣3＜﹣＜﹣2，∴4﹣3＜4﹣＜4﹣2，∴1＜4﹣＜2，故答案为：＞． 8．比较大小：　＜　． 【解析】∵≈1.7，∴﹣1＜1，∴＜．故答案为：＜． 9．已知x的两个平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且，求x+y的值． 【解析】由题意可知 2a﹣1+a﹣5=0∴a=2∴2a﹣1=3∴x=32=9 ∵∴x﹣y﹣2=27∴y=﹣20∴x+y=﹣11． 10．如果A=是a+3b的算术平方根，B=的1﹣a2的立方根． 试求：A﹣B的平方根． 【解析】依题意有，解得，A==3，B==﹣2 ，A﹣B=3+2=5， 故A﹣B的平方根是±． 11．已知，比较a，b的大小． 【解析】∵， ∴==+，==+， ∴＞， ∵﹣＜1，﹣＜1，∴a＜b． 12．已知m，n分别表的整数部分和小数部分，则2m+n=　7﹣　． 【解析】∵2＜＜3，∴2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣， ∴2m+n=2×2+（3﹣）=7﹣．故答案为：7﹣ ( 直击中考 ) 1．【博野】比较大小：﹣　＜　﹣（填“＞“或“＜“） 【解析】∵有意义，∴n﹣1≥0，∴n≥1， ∴当n=1时，﹣=﹣1=0，﹣=1，0＜1； 当n=2时，﹣=﹣≈1.7﹣1.4=0.3，﹣=﹣1≈1.4﹣1=0.4，0.3＜0.4； 当n=3时，﹣=2﹣≈2﹣1.73=0.27，﹣=﹣≈1.73﹣1.41=0.32，0.27＜0.32； …， 综上所述，当n=k时，﹣＜﹣， 故答案为：＜． 2．【温州】（1）用“＜”、“＞”或“=”填空：　＜　，　＜　 （2）由以上可知：①|1﹣|=　﹣1　．②||=　﹣　． （3）计算：|1﹣|+||+||+…+||（结果保留根号） 【解析】（1）∵1＜2，2＜3， ∴＜，＜； （2）∵1﹣＜0，﹣＜0， ∴①|1﹣|=﹣1； ②||=﹣； （3）原式=﹣1+﹣+﹣+…+﹣=﹣1． S(Summary-Embedded)——归纳总结 ( 重点回顾 ) 1、立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。 2、立方根的性质：（1）正数的立方根是正数；（2）0的立方根是0；（3）负数的立方根是负数。 3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中叫做被开方数。 4、估算：（1）用估算法确定无理数的大小；（2）用估算的方法比较数的大小 注意：（1） ；（2） 。 ( 名师点拨 ) 注意：（1）每一个数有且只有一个立方根，记为 ，读作“三次根号”； （2）开立方与立方是互逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成； （3）开平方时，被开方数是非负数；开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0； （4） ， 。 ( 学霸经验 ) · 本节课我学到 · 我需要努力的地方是 ( 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 第04讲-立方根与估算 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 1 了解立方根、开立方的概念； 2 学会运用立方根的性质； 3 掌握估算的方法及估算比较数的大小。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) 1、 知识梳理 1、立方根的概念 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。 注意：每一个数有且只有一个立方根，记为 ，读作“三次根号”。 2、立方根的性质 （1）正数的立方根是正数；（2）0的立方根是0；（3）负数的立方根是负数。 注意：任何数都只有一个立方根，不可以与平方根的性质混淆。 3、开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中叫做被开方数。 注意：（1）开立方与立方是互逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成； （2）开平方时，被开方数是非负数；开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0； （3） ， 。 4、估算 （1）用估算法确定无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”逐级夹逼，首先确定其正数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 （2）用估算的方法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小时，一般至少有一个是无理数。在比较大小时，通常先通过分析，估算出无理数的大致范围，在进行具体的比较。 注意：（1） ；（2） 。 考点一：立方根的概念 例1、﹣8的立方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣ 例、﹣64的立方根是（　　） A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8 例3、若是一个正整数，满足条件的最小正整数n=　 ． 例4、计算的结果是　　 ． 例5、已知m+2的算术平方根是4，2m+n+1的立方根是3，求m﹣n的平方根． 例6、已知一个正数x的平方根是3a+2与2﹣5a． （1）求a的值； （2）求这个数x的立方根． 考点二：实数大小比较 例1、下列四个数中，最大的一个数是（　　） A．2 B． C．0 D．﹣2 　 例2、下面实数比较大小正确的是（　　） A．3＞7 B． C．0＜﹣2 D．22＜3 例3、在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（　　） A．﹣3 B．0 C． D．﹣1 例4、比较大小：﹣3　 　． 例5、先比较大小，再计算． （1）比较大小：与3，1.5与； （2）依据上述结论，比较大小：2与； （3）根据（2）的结论，计算：|﹣|﹣|﹣2|． 考点三：估算无理数的大小 例1、估计的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 例2、估计+1的值（　　） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 例3、判断2﹣1之值介于下列哪两个整数之间？（　　） A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7 例4、若a、b分别是、的整数部分，则a+b的平方根是　 ． P(Practice-Oriented)——实战演练 ( 实战演练 ) · 课堂狙击 1．下列叙述中，不正确的是（　　） A．绝对值最小的实数是零 B．算术平方根最小的实数是零 C．平方最小的实数是零 D．立方根最小的实数是零 2．的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2 3．在实数，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（　　） A． B．﹣2 C．0 D．3 4．下列实数中，﹣（﹣π），|﹣3|，3中，最大的是（　　） A． B．﹣（﹣π） C．|﹣3| D．3 　 5．已知a、b为两个连续整数，且a＜﹣＜b，则a+b=（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 6．把表示成幂的形式是　　 ． 　 7． 的立方根是　　 ． 8．比较大小：　 　1（填“＜”或“＞”或“=”）． 9．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是　 　． 10．若n＜＜n+1，且n是正整数，则n=　 ． 11．已知：2x+3y﹣2的平方根为±3，3x﹣y+3的立方根为﹣2，求的平方根． 12．已知实数x、y满足，求2x﹣的立方根． 13．设A=+，B=+，试比较A，B的大小． · 课后反击 1.下列说法正确的是（　　） A．9的倒数是﹣ B．9的相反数是﹣9 C．9的立方根是3 D．9的平方根是3 2. 设a是小于1的正数，且，则a与b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定 　 3. 给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是（　　） A．0 B． C．π D．﹣1 4. ﹣2的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5. 若a2=64，则=　 　． 6. 已知x+2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y的立方根为　　 ． 7. 比较大小：4﹣　 1（填“＞”、“=”或“＜”） 8．比较大小：　 ． 9．已知x的两个平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且，求x+y的值． 10．如果A=是a+3b的算术平方根，B=的1﹣a2的立方根． 试求：A﹣B的平方根． 11．已知，比较a，b的大小． 12．已知m，n分别表的整数部分和小数部分，则2m+n=　　 ． ( 直击中考 ) 1．【博野】比较大小：﹣　 ﹣（填“＞“或“＜“） 2．【温州】（1）用“＜”、“＞”或“=”填空：　＜　，　＜　 （2）由以上可知：①|1﹣|=　﹣1　．②||=　﹣　． （3）计算：|1﹣|+||+||+…+||（结果保留根号） S(Summary-Embedded)——归纳总结 ( 重点回顾 ) 1、立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。 2、立方根的性质：（1）正数的立方根是正数；（2）0的立方根是0；（3）负数的立方根是负数。 3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中叫做被开方数。 4、估算：（1）用估算法确定无理数的大小；（2）用估算的方法比较数的大小 注意：（1） ；（2） 。 ( 名师点拨 ) 注意：（1）每一个数有且只有一个立方根，记为 ，读作“三次根号”； （2）开立方与立方是互逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成； （3）开平方时，被开方数是非负数；开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0； （4） ， 。 ( 学霸经验 ) · 本节课我学到 · 我需要努力的地方是 ( 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 $