第2章 实数 复习课学案 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“实数（含二次根式及其运算）”专题内容，涵盖实数的分类与性质、平方根与立方根、二次根式的概念及运算三大知识范畴，搭建了从基础概念梳理到考点例题解析再到综合应用检测的递进式学习支架。 清单以“知识点分级呈现+考点例题配套”构建知识体系，如将实数性质、二次根式运算等核心内容分点细化，通过“无理数识别”“平方根计算”等9个考点配例题与变式，培养学生抽象能力和运算能力。特别设计当堂检测与新定义题型，如“取整运算”问题，帮助学生巩固推理意识，既便于学生自主复习，也为教师教学提供精准内容支持。

专题02 实数（含二次根式及其运算） 有理数 1.分类 无理数（定义： ）举例： 1 相反数：a与 2 倒数： a与 （ ） 2.性质 3 绝对值：= 平方： 1 开平方： 2 算术平方根：具有 3.平方根与立方根 实数立方： ③ 开立方： 1 二次根式有意义 2 ()2= （ ），= 分母里没根号 4.二次根式及其运算 同类二次根式：与？. 与？ 3 最简二次根式 根号里没分母 不含能开得尽方的因数或因式 4 乘除=(a0,b0)，=(a0,b0) 知识点01 实数的相关概念 ①实数的分类：按概念可分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数；按正负性可分为正实数、0、负实数。 ②实数的性质：实数a的相反数是-a，a与(a≠0)互为倒数，实数a的绝对值。 ③实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应。 知识点02 平方根与立方根 ①平方根：若x2=a，则x叫a的平方根，记作x=，正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 ②算术平方根：正数a的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根是0，算术平方根具有双重非负性。 ③立方根：若x3=a，则x叫a的立方根，记作x =，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 知识点03 二次根式及其运算 1 二次根式的概念：形如(a≥0)的式子叫二次根式，二次根式有意义的条件是被开方数a0。 ②二次根式的性质：()2=a(a0)，=。 ③二次根式的乘除=(a0,b0)，=(a0,b0)。 ④二次根式的加减：先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的最简二次根式。 ⑤二次根式的混合运算：有括号先算括号里的，无括号时先乘方，再乘除，最后加减，有理数运算律、多项式乘法法则、乘法公式仍然适用。 【考点1 无理数的识别】 【例1】下列各组数中都是无理数的为（    ）答案：C A．0.07，，π B．，π， C．，，π D．，π， 【考点2 求一个数的平方根与立方根】 【例2】的平方根是 ，的算术平方根是 ，的绝对值是 ． 【变式1】6的算术平方根是 ； ； ． 答案：，3，，，3，-3 【考点3 平方根与立方根的综合应用】 【例3】已知一个正数x的两个不同平方根分别是m﹣1与2m﹣5． （1）求m与x的值． （2）已知y+3的立方根为2，求6x+2y的平方根． 答案：m=2，x=1 答案： 【考点4 数轴上实数与点的对应、估算、无理数比大小】 【例4-1】（2025秋•龙岗区校级期中）如图，根据尺规作图痕迹，判断点M在数轴上表示的数是（　　）答案：B A． B． C． D． 【例4-2】下面无理数大于3，并且小于4的是（　　）答案：C A． B． C． D． 【例4-3】下列实数中最大的是（　　）答案：B A．3.14 B． C．π D． 【考点5】判断是否为二次根式、二次根式有意义、最简二次根式、同类二次根式】 【例5-1】下列式子一定是二次根式的是（ ）答案：B A． B． C． D． 【例5-2】若式子有意义，则a的取值范围是（　　）答案：D A．a＞7 B．a＜7 C．a≥7 D．a≤7 【例5-3】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ）答案：C A． B． C． D． 【例5-4】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ）答案：D A． B． C． D． 【考点6 利用二次根式的性质化简】 【例6】计算： ． 【变式1】实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【考点7 判断二次根式运算是否正确】 【例7】下列计算正确的是（ ）答案：B A． B． C． D． 【变式1】下列计算正确的是（   ）答案：D A． B． C． D． 【考点8 二次根式的混合运算】 【例8】计算（1）； （2）（2）2﹣（1）（1）． 答案： 答案： 【变式1】（2025秋•深圳期中）计算 （2025秋•龙岗区校级期中）计算： （1）； （2）． 答案： 答案： 【考点9 二次根式中的新定义型问题】 【例9】定义运算：．例如．若，则a的值是 ．答案：3 【变式1】为我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数，简称取整，记为．这里，其中是一个整数，，a称为实数x的“小数部分”，记作，所以有．例如，，，，． 关于取整运算有部分性质如下： ①； ②若n为整数，则． 请根据以上材料，解决问题： (1)________；若，则________（用含的式子表示）；答案： (2)记，求； 答案： 当堂检测 一、单选题 1．在下列四个式子中，最简二次根式为（   ）答案：B A． B． C． D． 2．在实数，，，，，中，无理数的个数为（ ）答案：B A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列等式成立的是（    ）答案：D A． B． C． D． 4.如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（　　）答案：B A． B． C． D． 二、填空题 5若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 答案：x≥2 6.若最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值是 ．答案：4 7．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ．答案： 8．为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得 ．（填“”或“”或“”） 答案： 三、解答题 9． 计算：（1） （2）（2）2﹣（1）（1） 答案：1+ 答案： （3） （4）． 答案： 答案： 10．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：；答案： (2)化简：；答案： (3)计算：． 答案： 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $