专题01 旋转综合（高效培优专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“模型建构-应用-迁移”为主线，系统整合旋转综合题的线段、面积、角度及动态问题，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |旋转线段问题|5题（含正方形、菱形模型）|模型建构（全等/相似）、迁移应用|旋转性质→特殊图形性质→线段关系证明与计算| |旋转面积问题|5题（含坐标与动态面积）|面积转化（割补/公式）、坐标法|旋转轨迹→图形面积公式→动态面积最值| |旋转角度问题|5题（含旋转角计算）|角度关系推导（三角形内角和/全等）|旋转角定义→图形内角关系→角度等量代换| |旋转其他问题|5题（含图形判定）|动态几何分析、分类讨论|旋转不变性→图形判定（等边/等腰）→综合证明|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 旋转综合题（几何变换） 题型归纳 题型一旋转综合题之线段问题 题型二旋转综合题之面积问题 题型三旋转综合题之角度问题 题型四旋转综合题之其他问题 题型专练 题型一：旋转综合题之线段问题 1.【答案】 【详解】(1)(1)证明：如图1中，四边形ABCD是正方形， .DA=DC,∠ADE=∠CDE, 在△ADE和△CDE中， DA=DC ∠ADE=∠CDE DE=DE ∴△ADE≈△CDE SAS: (2)解：如图2中，设CD交EF于点J. A D F E B 图2 由(1)知，△ADE≈△CDE, 1/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AE=EC, EF是EC绕点E逆时针旋转90°得到， ..EA=EC=EF=3, 在Rt△CEF中，CF=EC2+EF2=V2CE=3V2: (3)CF=AE,理由：如图3中， D F E G 夕 图3 ,四边形ABCD是菱形， ∴.DA=DC,∠ADE=∠CDE 在△ADE和△CDE中， DA=DC ∠ADE=∠CDE, DE=DE ∴.△ADE≈△CDE(SAS), ..EA=EC, ,EF是EC绕点E逆时针旋转60°得到的， ..EF=EC, ∴.△ECF是等边三角形， ..CF=CE=AE. 2.【详解】(1)解：由旋转的性质可得，∠ACA为旋转角， 则∠ACA=90°+∠ACB=110°， 故答案为：110： (2)解：根据旋转的性质可得，∠B=∠ABC,BC=CB, ∴∠B=∠CBB, :AB‖BC, 2/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABA=∠B, 由题意可得，∠CBB+∠CBA+∠ABA=180°，即3∠B=180°， 解得∠B=60°， ∠A=90°-60°=30°： (3)解：连接CP,如图： B B 由旋转的性质可得，BC=BC=2,AC=AC=4, 由勾股定理可得，AB=22+4=25, :点P为AB的中点， .CP-jAB-Y5. 点P在以C为圆心，以5为半径的圆上运动， 从而得到BP的最大值为BC+CP=V5+2,BP的最小值为CP-BC=V5-2. 3.【详解】（1)证明：，∠EDF=45°， ∴.∠ADE+∠FDC=45°， 由旋转的性质可知，∠CDM=∠ADE,DE=DM, ∴.∠FDM=45°， ∴.∠FDM=∠EDF, .∴.△EDF≌△MDF(SAS), ∴.EF=FM, .·FM=CF+CM, ∴.EF=AE+CF: (2)解：设EF=MF=X, .'AE=CM=2,BC=5, ∴.BM=BC+CM=5+2=7, .'BF=BM-MF=BM-EF=7-x, 3/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EB=AB-AE=5-2=3, 在Rt△EBF中，由勾股定理得： EB2+BF2=EF2,即32+7-x2=X2, 解得：X=29 7 则EF=29 7 4.【详解】(1)解：在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°， 又.'△ADN顺时针旋转一定角度后得到△ABE, ∴.△ADN绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到△ABE, 故答案为：A,90: (2)证明：由旋转的性质得：AE=AN,∠BAE=∠DAN, ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°，即∠BAN+∠DAN=90, ∴.∠BAN+∠BAE=90°，即∠EAN=90°， .∠MAN=45, ∴.∠MAE=∠EAN-∠MAN=90°-45°=45°， 在△AEM和△ANM中， AE=AN ∠MAE=∠MAN=45° AM=AM ∴.△AEM≌△ANM SAS: (3)解：设正方形ABCD的边长为X,则BC=CD=X, .BM=3,DN=2, .CM=BC-BM=x-3,CN=CD-DN=x-2, 由旋转的性质得：BE=DN=2, .∴.ME=BE+BM=2+3=5, 由(2)己证：△AEM≌△ANM, ∴.MN=ME=5, 又.四边形ABCD是正方形， 4/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠C=90°， 则在Rt△CMN中，CM2+CN2=MN2, 即x-3+x-22=52, 解得x=6或x=-1(不符题意，舍去) 故正方形ABCD的边长为6. 5.【详解】(1)解：等边三角形ABC,将线段AC绕点A逆时针旋转a(0°<c<120°)得到线段AD, .∴.AB=AC=AD,∠BAC=∠ABC=∠CBA=60°， .∴.△ACD为等腰三角形，△ABD为等腰三角形， .∴.∠ACD=∠ADC,∠ABD=∠ADB, :∠CAD为旋转角，∠CAD=C, ∠ADC=∠ACD=1809-a=900-g 2 ,'∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°+a, ∠ADB=∠ABD=180°-60+d=60°-g ·∠CDB=∠ADC-∠BDA=90-号60° 2 =30 (2)解：如图，过C点作CF⊥BD交BD于F, D A 由(1)得∠ABD=60-C ∴.∠CBF=∠CBA-∠ABD=60°- /60-9月 2 ,AC=AD,AE⊥CD, ·∠EAC=<DAC=号，DC=2BC, 5/23 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CEA=∠CFB=90° 在△CEA和△CFB中， ∠EAC=∠FBC=C 2 AC=BC ∴.△CEA≌△CFBAAS, ∴AE=BF 由(1)得∠CDB=30°， ∴在RtACDF中，CP=CD, DP-GD'-CF'-CD'-CD-CD. 4 …DC之，即DF=3 DF_3 2 C=V3EC, ∴.BD=DF+BF=V3EC+AE, 即BD=V3EC+AE. 题型二：旋转综合题之面积问题 6.【详解】(1)如图， B A >△A1BC1 G1-3,4 -5-4-3-2-10 1\234 5 x B2 5 即为所求， (2)如(1)所示，△AB2C2即为所作； (3)△ABC旋转到△AB2C2的过程中，AC=3-1P+4-1=V13, Sas器g-1 4 6/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SAABC=SAABC- x1+3x3克x12-×3x1- 2 21 13π，7 扫过的面积为：4 +2 13π，7 故答案为：42 7.【详解】(1)解：由题意，得OB=1,AO=3. 由旋转的性质，可知AO=AC=3,CD=OB=1,∠ACD=∠AOB=90°=∠OAC. 延长CD交x轴正半轴于点F,如图，则四边形OACF为正方形. ∴点D的坐标为3,3-1，即3,2 :反比例函数V=文的图象经过点D, .k=3×2=6 ·反比例函数的表达式为y=S (2)解：将y=3代入y= 得E=2, ∴.点E的坐标为2,3 AE=2」 45Aa克AEa0-3 .BF=OB+OF=1+3=4,DF=2, ∴SAor=号BF-DF=4 :SAC+-BFA0=方x7×3-2 7/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =8-T-b-TZ=-阳VS-aDaV、-4aa7、_aDv张wS=aavS 2 8.【详解】(1)过E点作EF⊥OA于F, A B E ∠AOE=30° 0 图② 由题意 EF=0E=2, ∴.0F=√0E2-EF=23, .E(2,2V3): (2)过E点作EF⊥OA于F,如图②， 由题意得∠AOE=45°， ∴.∠OEF=90°-∠A0E=90°-45°=45°， ∴.OF=EF, :OE=V0F2+EF2=4, ∴.OF=EF=2V2, ∴.AF=A0-OF=5-2V2, .:∠AFE=90, .AE2=AF2+EF2=(5-2V22+(222=41-202: (3)由题意知点E在以O为圆，OE为半径的圆上运动，当OE⊥AE时，∠OAE的值最大，此时 AE-0A-0E-F-4-3.5e0FA服=×4×3=-6 yA B M E DDF⊥x F E EM⊥OAE F 过点作 轴于，过点作 于. 8/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOF=∠EOD=90°， ∴.∠AOE=∠DOF, ,∠EMO=∠DFO=90°，OE=OD, ∴△OME≌△OFD AAS, ∴.EM=DF, 1 SACOD= CF SA-ME.OC=OA, ∴.SACOD=S△A0E=6. 9.【答案】(1)证明：根据题意可得AB=AC,AD=AE,∠CAB=∠EAD=90°， ,∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°， ∠CAE=∠BAD, 在△ACE和△ABD中， AC=AB ∠CAE=∠BAD AE=AD ∴.△ACE≌△ABD SAS, ..CE=BD, (2)证明：根据题意可得AB=AC,AD=AE,∠CAB=∠EAD=90°， 在△ACE和△ABD中， AC=AB ∠CAE=∠BAD AE=AD .△ACE≌△ABD SAS, .∠ACE=∠ABD .∠ACE+∠AEC=90°，且∠AEC=∠FEB, .∠ABD+∠FEB=90°， ∴.∠EFB=90°， CF⊥BD :AB=AC=2+1,AD=AE=1,∠CAB=∠EAD=90°， ..BC=2AB=2+2,CD=AC+AD=2+2, .BC=CD, 9/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF⊥BD, .CF是线段BD的垂直平分线： (3)解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值， ∴，当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值， D 延长DA交BC于点G,则DG⊥CB, :AB=AC=V2+1,AD=AE=1,∠CAB=∠EAD=90°，DG⊥BC, AG-号6C-22 2 ∠GAB=45, :DG=AG+AD-2+2+1=2+4 2 21 ∠DAB=180°-45°=135°， △CD的而积的最大值-号Bc-DG2:22+4 3V2+5 2 旋转角Q=135°. 2 10.【详解】(1)解：①，正方形ABCD, .∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，AB=BC=CD=AD, 旋转， .BC=BE,∠CBE=a, .AB=BE,∠ABE=360°-90°-a=270°-Q, 2AB=∠ME-=号180-∠ABE=20-45: ②连接AC,则∠ACD=45°， 10123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,CF⊥AE, .∠CFA=∠CFE=90°， .∠CFA+∠ADG=180°， ∴.A,D,C,F四点共圆， .∠AFD=∠ACD=45° ∴.∠DFC=∠CFA-∠AFD=45°， .BC=BE,∠CBE=a, ∠CEB=180-al=90° 3, 由@①知：∠AEB=号ax-45°， .∠CEF=∠CEB+∠AEB=45, ∠ECF=180°-90°-45°=45°， ∴.∠ECF=∠DFC, :.FD CE; (2)解：2<S≤号+2，理由如下： 2 延长AB交EN于点G,由题意，四边形MDNE,BCNG,AGEM均为矩形， M B D C ..EG=AM=x,BG=CN=y, ,正方形ABCD的边长为1， .BE=BC=1,DM=AD+AM=1+x,DN=CD+CN=1+y, .S=1+x1+y=1+x+y+xy, 在Rt△BGE中，由勾股定理，得x+y=1, x+y=x2+y2+2y=1+2y, ..x+y=V1+2xy, .S=1+xy+1+2xy, .S随着Xy的增大而增大， 11/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :x-y2=x2+y2-2y=1-2Xy≥0， w号 :0<w≤分 当y=0时，S=1+1=2:当9.5=1+号+1+2×-+92， 2<5是2 题型三：旋转综合题之角度问题 11.D 12.【详解】(1)解：①，a=59°48，四边形ABCD,CEFG是正方形， .∠BCG=∠DCE=90°-a=90°-59°48=30°12， ∠BCE=∠BCG+∠GCE=30°12+90°=120°12： ②.∠BCG=∠DCE=90°-a, ∠BCE+ㄥGCD=∠BCG+∠GCE+∠GCD=∠BCD+∠GCE=180°， .∠BCG=∠DCE,∠BCE+∠GCD=180°： (2)解：∠BCG=∠DCE,∠BCE+∠GCD=180°，理由如下： ,∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°+∠DCG,∠DCE=∠DCG+∠GCE=90°+∠DCG, ∴.∠BCG=∠DCE, ,∠BCE+∠DCG+∠BCD+∠GCE=360°， ∴.∠BCE+∠GCD=180°. 13.【详解】(1)当c=80°时， ∠BAC=a=80°， ,△ABD旋转得到△ACE,其中AB旋转到AC ,旋转角为∠BAC=80°： (2),AB=AC,∠BAC=C, .∠B=∠ACB=1i180°-， 12123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ABD旋转得到△ACE, ∴.△ABD≌△ACE ∴.∠ABD=∠ACE==180°-a,∠BAD=∠CAE, ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE=a, ∠DCE=∠ACB+∠ACE=180-a+号180-a=180。-a, 即∠DCE+a=180°， ∴.∠DCE+∠DAE=180: 14.【详解】(1)根据题意，得旋转角Q=∠AOD1, :0D1‖AC,∠A=30°， ∠AOD1=∠A=30°， 故a=30° (2)根据题意，得旋转角C=∠AOD, .OD1‖AC,∠A=30°， .∠AOD1=∠A=30°， ,0E2=0D2,GE2=GD2,∠E20D2=90°， ∠E,0G=45,∠E,G0=90,0G,D,=GE,=GD, ∴∠E2OA=15 ,∠E10D1=90°，∠E2OG=45°， E2 D2 ∠E20E1=45°、 .∠A0E1=∠E2OE1+∠E2OA=45°+15°=60°， .∠AH0=180°-60°-30°=90°， 13123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形OHE2G是矩形， .OG=GE2, ∴.四边形OHE2G是正方形. 15.【详解】(1)解：·抛物线y=ax+bx+3(a<0)与x轴交于点A(-1,0),C(6,0), 〔a-b+3=0 36a+6b+3=0” 1 Q=- 2 解得， 抛物线的解所式为y=一乞术+++3 (2)解：作PQBC,交y轴于点Q,连接CQ, S△PBc=24, .SA0Bc=24, Q0C=24 .点C6,0, .0C=6, :B0=24×2×1=8, :抛物线y=一 X+号x+3与y交点B, 当x=0时，y=3, .B0,3, ∴.OB=3, .0Q=8-3=5, .Q0,-5, 设BC所在直线的解析式为y=k心+b, B0,3,C0,6, b=3 6k+b=0 14123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得， b=3 ·BC所在直线的解析式为y=- 2+3, .PQ BC,Q0,-5, 、PQ所在直线的解析式为y= 2x-5, 又点P在抛物线y=- 2x+3上， y=x-5 2 x+3 x1=-2X2=8 解得， y1=-4'y2=-9 .P-2,-4,P28,-9 (3)解：如图，将△BOC以点C为中心，逆时针旋转90°，得到△THC,连接BT,则△BCT为等 腰直角三角形， .∠CBT=45°， ,点G是第四象限内抛物线上的一点，∠CBG=45°， ∴点G为BT延长线与抛物线的交点， 由旋转可知，CH⊥OC,CH=CO=6,TH=OB=3,∠CHT=∠COB=90°， ∴点T的横坐标为6-3=3，纵坐标为-6， .T3,-6, 设BT所在直线的解析式为y=mx+n,则 15/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3m+n=-6 n=3 m=-3} 解得， n=3 ∴.BT所在直线的解析式为y=-3x+3, 2 x+3=-3x+3得，x=0或x=11, ,点G在第四象限， ∴点G的横坐标为正数， ∴点G的横坐标为11，纵坐标为-3×11+3=-30， ∴.G11,-30 故答案为：11，-30 (4)解：如图，连接OE,交MN于点K,连接DK, ,点B和点D关于x轴对称，点B在y轴上，OB=3, ∴.点D在y轴上，OD=3, :l过点D,且平行于x轴，∠COD=90°， ∠ODE=90°， 又CE⊥l于点E, ∴.四边形ODEC为矩形， ∴.CE=OD=3, ..DE=OC=6. “0E=V3+6=3V5, 根据题意可知，NE=2MO, 话2 16/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE OC, .∠MOK=∠NEK,∠OMK=∠ENK, .△NKE一△MKO, .KE=KN=NE-2. ·KO KM MO ,KE_2 …E03’ 作KH⊥I于点H,则△EHK一△EDO, .KH-EH=EK_2 ”OD ED EO3' 2 KH=3×32,EH=6×3=4, 31 .DH=6-4=2, ∴DK=22+2=2V2, 取DK中点记为L,连接LF,CL,则LD=LK=2 又.∠DFK=90, LF-jDK-V .LF+CF≥CL, .CF≥CL-LF,当且仅当点C、点F、点L共线时，CF取得最小值， 作LS⊥DE于点S,作LR⊥CE于点R,交KH于点W,连接CD,则四边形LSER为矩形， .'.ER=SL,LR=ES, .KH=DH=2,点L为DK的中点， .'.DS=SL=1, ∴.LR=6-1=5,CR=3-1=2 .CL=52+2=V29 .CF≥V29-2 当点N到达点D时，点F、点N、点D重合，此时CF取得最大值， .CD=OE=35. :CF≤35， ∴.CF的取值范围是V29-2≤CF≤3V5 故答案为：29-V2≤CF≤35. 17/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型四：旋转综合题之其他问题 16.【详解】证明：，△ABC是等边三角形， ∠BAC=∠CAP+∠BAP=60°，AB=BC, 由旋转得：∠DAB=∠CAP,AD=AP, .∠DAP=∠DAB+∠BAP, ∠BAC=∠DAP=60°， ∴.△ADP是等边三角形. 17.【详解】(1)证明：.∠ACB=90°， .∴.∠ACE+∠BCD=90°， .AE⊥m,BD⊥m, ∴.AEC=∠BDC=90, .∴.∠ACE+∠CAE=90°， .∴.∠CAE=∠BCD, ,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴.AC=BC, .∴.△ACE≌△CBD(AAS), 18123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AE=CD,CE=BD CD=DE-CE=DE-BD, ∴.AE=DE-BD: (2)(1)中结论不成立，新结论为：AE=BD-DE 证明：.∠ACB=90°， .∴.∠ACE+∠BCD=90°， ,AE⊥m,BD⊥m, ∴.∠AEC=∠BDC=90, ∴.∠ACE+∠CAE=90°， .∴.∠CAE=∠BCD, ,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， .∴.AC=BC, .∴.△ACE≌△CBD(AAS), ∴.AE=CD,CE=BD CD=CE-DE=BD-DE. ∴AE=BD-DE: (3)证明：∠ACB=90, ∴.∠ACE+∠BCD=90°， .'AE⊥m,BD⊥m ∴.∠AEC=∠BDC=90°， .∴.∠ACE+∠CAE=90°， ∴.∠CAE=∠BCD, ,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴.AC=BC, .∴.△ACE≌△CBD(AAS), ∴.AE=CD,CE=BD CD=CE+DE=BD+DE, .∴.AE=BD+DE 18.【详解】(1)解：如图①中，过点C作CE⊥OA于E. 19123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D .△COD O 30° A E 012 图① 绕点顺时针旋转， ∴.∠C0E=30, c=20c=2,0E=0C2-EC-4-2=25. ∴.C(-23,2). (2)解：①证明：如图②中，过点O作OF⊥BD于F. y◆ B .:∠COD=∠AOB=90 D 图② ∴.∠AOC=∠BOD, .∵OA=OB,OC=OD ∴.△AOC≌△BOD(SAS): ②解：.△AOC≌△BOD: ∴.AC=BD, 在Rt△CDF中，CD=V2OC=42, .OF⊥CD,OC=OD, ∴.CF=DF=2V2, 20123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OF-CD-292 ∴.BF=V0B-0F2=V52-(222=17, .BD=BF+DF=17+22, ∴.AC=BD=17+2V2 (3)解：如图③中，当OC⊥BC时，∠OBC的值最大，此时BC=√OB2-OC2=V52-4=3, 5au0Cnc-4×3=-6 E… C 0 图③ 过点D作DF⊥X轴于F,过点C作CE⊥OB于E. .∠BOF=∠COD=90°， ∴.∠BOC=∠DOF, .∠CEO=∠DFO=90°，OC=OD, ∴.△OEC≌△OFD(AAS), ∴.EC=DF, ADF OBCE.OB-OA. ∴.SAA0D=SA BOC=6. 19.【详解】(1)解：①.：∠ABC=∠MBN=90°， ∴.∠ABM=∠NBC, 在△ABM与△NBC中， 21123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=BC .∠ABM=∠NBC, MB=NB .∴△ABM≌△CBN SAS, :△MBN为等腰直角三角形， ∴.∠BMN=∠BNM=45°， ∴.∠BNC=∠BMA=135°， ∴.∠ANC=90°， .AN=12,CN=5, .AC=AN2+CN2-/122+52=13. ②如图，延长BN,过点C作垂线，交BN延长线于点F, B 由①可得：∠CNF=45°，AM=CN=V10, ∴.△CNF为等腰直角三角形， ∴.2CF2=CN2, 即：2CF2=10, 解得：CF=V5. (2)解：如图，设AN交BH于点I,延长BH到点D,使DH=BH,连接DC,AM,CN, B C.CH=MH DH=BH∠BHM=∠CHD D ∴.△BHM≌△DHC SAS, ∴.CD=MB=NB,∠D=∠HBM, ∴.CD‖BM, .∴.∠BCD+∠CBM=180°， 22123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABN+∠CBM=∠MBN+∠ABM+∠CBM, =∠MBN+∠ABC=180°， ∴.∠BCD=∠ABN, .AB=BC. ∴.△CDB≌△BNA SAS, ∴.∠CBD=∠BAN, ∴.∠BAN+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=90°， ∴.∠AIB=90°， ∴.AN⊥BH 20.2-V2或2+9V2 23123 专题01 旋转综合题（几何变换） 题型一 旋转综合题之线段问题 题型二 旋转综合题之面积问题 题型三 旋转综合题之角度问题 题型四 旋转综合题之其他问题 题型一：旋转综合题之线段问题 1．【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．当时，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，在菱形中，，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接，与交于点G．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 2．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 3．正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 4．如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 5．如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点． (1)求的度数； (2)用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 题型二：旋转综合题之面积问题 6．如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点顺时针旋转后的； (3)在旋转到的过程中，则扫过的面积为______． 7．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 8．如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为 ． (1)当旋转角为30°时，求此时点E的坐标； (2)当旋转角为时，连接，求的值． (3)在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）． 9．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，． (1)当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 10．已知正方形的边长为1，将边绕点逆时针旋转得． (1)如图1，连接． ①的度数为______（用含的式子表示）； ②过点作，垂足为，连接．求证：； (2)如图2，过点作于于．设，四边形的面积为，请写出的取值范围，并说明理由． 题型三：旋转综合题之角度问题 11．如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（ ） A． B． C． D． 12．某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 13．如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到． (1)若，写出旋转角及其度数； (2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明． 14．将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2． (1)求的值； (2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 15．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 题型四：旋转综合题之其他问题 16．如图，点P是等边三角形内部一点，连接，现将绕点A顺时针旋转到的位置，求证： 是等边三角形． 17．已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D； (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 18．将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将会绕点顺时针旋转． (1)当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标： (2)如图，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． (3)当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 19．如图，和均为等腰直角三角形，，，．现将绕点B旋转． (1)如图1，若A、M、N三点共线． ①若，，求． ②若，求点C到直线的距离； (2)如图2，连接、，点H为线段的中点，连接．求证：． 20．如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 旋转综合题（几何变换） 题型一 旋转综合题之线段问题 题型二 旋转综合题之面积问题 题型三 旋转综合题之角度问题 题型四 旋转综合题之其他问题 题型一：旋转综合题之线段问题 1．【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．当时，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，在菱形中，，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接，与交于点G．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：如图1中，∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）； （3），理由：如图3中， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 是绕点E逆时针旋转得到的， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【分析】（1）利用SAS证明即可； （2）先证,再利用勾股定理求解； （3）先证,再利用等边三角形的判定性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，设交于点J． 由（1）知，， ， ∵EF是绕点E逆时针旋转得到， ∴， 在中，； （3）略 2．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 3．正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 【答案】(1) 证明： ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）由旋转的性质可知，，；由和四边形是正方形，可得，从而得出，利用得出，即可求解； （2）由得，正方形的边长为，从而求出，根据求出的长，设，则，在中，由勾股定理得： ，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：， 则． 4．如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)A，90 (2) 证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； (3)正方形的边长为 【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可； （2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； （2） 略 （3）解：设正方形的边长为，则， ， ， 由旋转的性质得：， ， 由（2）已证：， ， 又四边形是正方形， ， 则在中，， 即， 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 5．如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点． (1)求的度数； (2)用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，，可得为等腰三角形，为等腰三角形，可得， ，即可求出； （2）过点作交于，先证明，可得，再在中得到，进而得到线段，，的数量关系． 【详解】（1）解：等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段， ，， 为等腰三角形，为等腰三角形， ， 为旋转角，， ， ， ， （2）解：如图，过点作交于， 由（1）得， ， ， ，， 在和中，， ， ． 由（1）得， 在中，， ， ，即， ， 即． 题型二：旋转综合题之面积问题 6．如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点顺时针旋转后的； (3)在旋转到的过程中，则扫过的面积为______． 【答案】(1) 如图， 即为所求， (2) 如（1）所示，即为所作； (3) 【分析】本题考查了几何图形的变换（对称、旋转）的性质，以及面积公式的应用，理解图轴对称、旋转的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质作图即可求解； （2）根据旋转变换的性质作出图形即可； （3）在旋转到的过程中，则扫过的面积为扇形的面积的面积，据此回答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）旋转到的过程中，，， ， 扫过的面积为：， 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长 交x轴正半轴于点F，证明四边形为正方形，求解即可． （2）根据，求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得，． 由旋转的性质，可知，，． 延长 交x轴正半轴于点F，如图，则四边形为正方形． ∴点D的坐标为，即． ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：将代入，得， ∴点E的坐标为． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ， ∴； 8．如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为 ． (1)当旋转角为30°时，求此时点E的坐标； (2)当旋转角为时，连接，求的值． (3)在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3)的面积为6 【分析】（1）过点作于，解直角三角形求出，，可得结论． （2）过点作于，由勾股定理可求出答案； （3）当时，的值最大，由勾股定理求出，再证明，得出，可得结论． 【详解】（1）过点作于，   由题意， ， ， ； （2）过点作于，如图②， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ； （3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．   过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ∴， ， ，，， ． 9．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，． (1)当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 【答案】(1)证明：根据题意可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：根据题意可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线； (3)， 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）利用证明即可得证； （3）中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，即当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值， ∴当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值， 延长交于点，则， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴的面积的最大值，旋转角． 10．已知正方形的边长为1，将边绕点逆时针旋转得． (1)如图1，连接． ①的度数为______（用含的式子表示）； ②过点作，垂足为，连接．求证：； (2)如图2，过点作于于．设，四边形的面积为，请写出的取值范围，并说明理由． 【答案】(1)①； ②连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： 延长交于点，由题意，四边形均为矩形， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∴当时，；当时，， ∴． 【分析】（1）①根据旋转的性质，得到，进而得到，根据周角的定义结合等边对等角，进行求解即可；②连接，易得四点共圆，进而得到，求出，根据三角形的内角和定理，求出，即可得证； （2）延长交于点，由题意，四边形均为矩形， 进而得到，勾股定理得到，根据矩形的面积公式，得到，利用完全平方公式，得到，进而得到，进而得到随着的增大而增大，根据，求出的最大值，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴； ②略 （2）略 题型三：旋转综合题之角度问题 11．如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 12．某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；； ② (2)解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）略 13．如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到． (1)若，写出旋转角及其度数； (2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转角为； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，，即可求解； 【详解】（1）当时， ， ∵旋转得到，其中旋转到. ∴旋转角为； （2）∵， ， ∵旋转得到， ， ， 即， ， 即， ； 14．将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2． (1)求的值； (2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，      ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）确定旋转角，结合，，计算即可． （2）先证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证明即可． 【详解】（1）根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， 故． （2）略 15．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）代入点的坐标，求得系数，即可得抛物线的解析式； （2）过点作的平行线，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线方程，与抛物线的解析式联立，即可解得点的坐标； （3）将以点为中心，逆时针旋转，由图形旋转的性质，可得点的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，结合已知角度可知，点为直线与抛物线的交点，联立直线方程和抛物线的解析式，结合点所在象限，即可得出点的坐标； （4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形相似的判定和性质，分析取最大值和最小值时，点所在的位置，用勾股定理解直角三角形，求出相应的最大值和最小值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为 （2）解：作，交轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴所在直线的解析式为， 又∵点在抛物线上， ∴， 解得，，， ∴， （3）解：如图，将以点为中心，逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形， ∴， ∵点是第四象限内抛物线上的一点，， ∴点为延长线与抛物线的交点， 由旋转可知，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 设所在直线的解析式为，则 ， 解得，， ∴所在直线的解析式为， 由得，或， ∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 故答案为： （4）解：如图，连接，交于点，连接， ∵点和点关于轴对称，点在轴上，， ∴点在轴上，， ∵过点，且平行于轴，， ∴， 又∵于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取中点记为，连接，则 又∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当点、点、点共线时，取得最小值， 作于点，作于点，交于点，连接，则四边形为矩形， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点到达点时，点、点、点重合，此时取得最大值， ∵， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 题型四：旋转综合题之其他问题 16．如图，点P是等边三角形内部一点，连接，现将绕点A顺时针旋转到的位置，求证： 是等边三角形． 【答案】是等边三角形，见解析 【分析】根据等边三角形的性质得，，由旋转得：，，根据得，即可得． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得：，， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 17．已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D； (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （2）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （3）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，新结论为： 证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ． 18．将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将会绕点顺时针旋转． (1)当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标： (2)如图，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． (3)当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) ①证明：如图②中，过点作于．   ， ， ，， ； ② (3) 【分析】（Ⅰ）如图①中，过点作于．解直角三角形求出，，可得结论． （Ⅱ）如图②中，过点作于．首先证明，推出，求出，可得结论． （Ⅲ）如图③中，当时，的值最大，此时，．再证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图①中，过点作于．   绕点顺时针旋转， ， ，， ，． （2）解：①略 ②解：； ， 在中，， ，， ， ， ， ， ． （3）解：如图③中，当时，的值最大，此时，．    过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ， ， ，，， ． 19．如图，和均为等腰直角三角形，，，．现将绕点B旋转． (1)如图1，若A、M、N三点共线． ①若，，求． ②若，求点C到直线的距离； (2)如图2，连接、，点H为线段的中点，连接．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①先证，然后证得为直角三角形，根据勾股定理即可求得；②延长，过点作垂线，交延长线于点，证得为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得； （2）设交于点，延长到点，使，连接，先证，再证即可． 【详解】（1）解：① ， ， 在与中， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ． ②如图，延长，过点作垂线，交延长线于点， 由①可得：,， 为等腰直角三角形， ， 即：， 解得：． （2）解：如图，设交于点，延长到点，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 【答案】或 【分析】连接，设，根据矩形性质和旋转性质可得，，进而得出，利用勾股定理表示出和，结合共线及推导出，利用角度转换运算可得，再根据三角函数建立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图： 四边形是矩形，，，是的中点， ，，，， 由旋转的性质可得，，， ，，， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 点在边上 ， 在中，， 在中，， ， 点落在上， 是的中点， 在中，， 在中，， 由旋转性质可知， ， 是的中点， ，即， 点在上， ， ， ， ， ， 即， 解得，． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $