专题04 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题的三种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊三角形存在性的综合应用，通过分类题型构建"性质分析-坐标转化-方程求解"的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形存在性|6题|以底或腰为分类标准，结合两点距离公式列方程|二次函数性质→坐标表示→等腰性质→方程求解| |直角三角形存在性|6题|以直角顶点为分类，运用勾股定理或斜率乘积为-1|函数图像与坐标轴交点→直角条件转化→代数验证| |等腰直角三角形存在性|6题|融合等腰与直角双重性质，需同时满足边等与角直|前两类问题方法迁移→双重条件约束→分类讨论求解|

专题04 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题的三种模型 题型一 二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 题型二 二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 题型三 二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 题型一：二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 1．或 2．(1) (2)点E的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点E的坐标为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解： ∵，，是以为底的等腰三角形， ∴点E的坐标为， 当时，， 整理得， 解得， ∴点E的坐标为或． 3．(1)抛物线的表达式为 (2)最大值为16 (3)点P的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作轴交于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用勾股定理求出，设出点P坐标，求出、，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴交于点E，交x轴于点F， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积有最大值， ∴当时，的面积最大，最大值为16； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 又， 所以，对称轴为直线， 设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 4．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 5．(1)；； (2)（i）或；（ii）或或或． 【分析】（1）由题意得到抛物线解析式为，令，解方程即可解答； （2）（ⅰ）令 ，解方程即可解答；（ⅱ）由题意得抛物线解析式为 ，得到顶点，，求出，设点，分，，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 当，则，解得或， ∴，； （2）解：（ⅰ）∵点在该抛物线上， ∴， 当，则， 解得或； （ⅱ）当时，抛物线解析式为 ， ∴顶点， ， ∴， ∴， 设点， ∵是等腰三角形，分三种情况讨论： 情形一：， ∴， ∴， ∴或； 情形二：， ∴， ∴ ， ∴， ∴或， 当时，， 当时，，与顶点P重合，舍去； 情形三：， ∴，即， 解得，此时； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或或． 6．(1) (2)直线的表达式为 (3)见解析 【分析】（1）由题意可得点C的坐标为，即，进而得到，最后把A两点的坐标代入抛物线求出c的值即可； （2）如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M． 则，再求出M点的坐标；即可求出直线的解析式为； （3）设，再求得直线解析式为，则，如图：过点E作于点M，则．设，然后再运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ，． ， ， ． ，解得，或（舍去）． ∴． （2）解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M． 则．    ∵直线表达式为，，， ，，． ， ．解得：． ． 设直线的解析式为， 在直线上，则，解得：， 直线的解析式为． （3）解：设， 设直线表达式为：， 联立， ． 设方程的两个根为， 直线与抛物线有唯一交点， ． ，， ，， 直线表达式为：． ． 过点作于点，则， 设，， ，，， ． 令，则． ，， ． 存在点，当时，与抛物线有唯一交点． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、勾股定理，等腰三角形的性质、交点坐标特征等知识点，正确作出辅助线以及数形结合思想是解答本题的关键． 题型二：二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 7．或或 8．(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，分别将，代入求得、、的坐标； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于、两点， ．即． 解之得：，． 点、的坐标为，、，． 将代入，得点的坐标为； （2）解：由两点间的距离公式得：，，， ，则， 是直角三角形； （3）解：当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为 设，把代入得： ， ，． 点坐标为，． 【点睛】此题考查了二次函数与轴的交点的纵坐标为0；与轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点． 9．(1) (2)点，点 (3)存在，，， 【分析】（1）根据，求出的长，进而得到，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标； （3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值，当时，的最大值为． ∴，， ∴点，点； （3）①当时，点的纵坐标为， 即，解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即，解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． 10．(1) (2)直角三角形，见解析 (3)(1，－1)或(，－) (4)存在，( ，－1＋ )，( ，－1－ )，( ，5)，( ，－5) 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，联立解方程组求解即可． （2）把点的坐标代入解析式，联立解方程组求解即可． 【详解】（1）∵经过点B（4，0）和点C（0，－2）， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）△ABD为直角三角形.理由如下： 如图①，连接BD， 对于抛物线，令y＝0， ， 得， ∵B(4，0)，   ∴点A的坐标为(－1，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝ ， ∵CD∥x轴，且点C、D均在抛物线上， ∴点C与点D关于直线x＝对称， ∵C(0，－2)， ∴点D的坐标为(3，－2)， 过点D作DM⊥AB于点M， ∴在Rt△ADM、Rt△BDM中，利用勾股定理可得 ，，， ∴， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°． （3） ∵由(2)得BD⊥AD， ∴当PE∥BD时有PE⊥AD， ∵E是抛物线对称轴x＝与x轴的交点， ∴点E是AB的中点， ∴点P是AD的中点， ∴此时点P的坐标为(1，－1)， 如图，当点P是直线与AD的交点时， 有∠AEP＝90°，由A(－1，0)，D(3，－2)得直线AD的解析式 为y＝－x－； 当x＝ 时，有y＝－×－＝－， ∴此时点P的坐标为(，－)， ∴当△APE是直角三角形时， 点P的坐标为(1，－1)或(，－)． （4） ∵点P在直线：x＝上，则设点P的坐标为( ，p)， 如图，由勾股定理得AP²＝( ＋1)²＋p²＝ ＋p²， PD²＝(3－ )²＋(p＋2)²＝＋(p＋2)²， 由题意可得AD²＝20， 当△APD是直角三角形时， ①当∠APD＝90°时，  则AP²＋PD²＝AD²， 即 ＋p²＋ ＋(p＋2)²＝20， 解得p1＝－1＋  ，p2＝－1－ ， 此时点P的坐标为( ,－1＋ )，(   ,－1－ ) ②当∠PAD＝90°时，则AP²＋AD²＝PD²， 即＋p²＋20＝＋(p＋2)²，解得p＝5， 此时点P的坐标为( ，5)； ③当∠PDA＝90°，则PD²＋AD²＝AP²， 即 ＋ (p＋2)²＋20＝ ＋p²，解得p＝－5， 此时点P的坐标为( ，－5)． ∴当△APD为直角三角形时， 点P坐标分别为( ,－1＋ )，(   ,－1－ )，( ，5)，( ，－5)． 【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，勾股定理及其逆定理，熟练掌握待定系数法，灵活运用勾股定理及其逆定理，抛物线的性质是解题的关键． 11．(1)直线 (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】考查知识点：二次函数的对称轴、轴对称的最短路径问题、直角三角形的分类讨论（勾股定理）．利用抛物线与x轴交点求对称轴；通过轴对称转化线段和，结合一次函数求最短路径点；对直角三角形分三种情况，用勾股定理列方程求解．解题关键：熟练掌握抛物线对称轴公式，灵活运用轴对称性质解决最短路径问题，准确分类直角三角形的直角顶点并应用勾股定理．易错点：求对称轴时忽略公式应用；最短路径问题中找不到对称点的转化关系；直角三角形分类讨论时漏解． （1）根据抛物线与x轴交点、，利用对称轴公式，直接计算得对称轴为直线． （2）因为A、B关于对称轴对称，所以，则．连接，其与对称轴的交点P即为使最小的点．先求，再求直线的解析式，将代入得． （3）设，分别表示出、、的长度．分、、三种情况，根据勾股定理列方程求解，得到点M的坐标． 【详解】（1），， ， ∴直线． （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入中，得：， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． （3）解：设点的坐标为， 则， 分三种情况考虑： ①当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为或； ②当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时， 点的坐标为或． 12．（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）存在，点N坐标为（－1，2）或（－1，－4）或或；（3）存在，点P坐标为（2，5）或（－1，－4）；（4）点Q坐标为（－1，－4）或或 【详解】答案：（1）解：∵， ∴A（－3，0），C（0，－3）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）． （2）解：如图，设点N坐标为（－1，y）， ∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3） 则：， ， ， I、若是直角三角形，当CN为斜边时，则：， 即：，解得：，即点N为（－1，2）； II、若是直角三角形，当AN为斜边时，则：， 即：，解得：，即点N为（－1，－4）； III、若是直角三角形，当AC为斜边时，则：， 即：，解得：，即点N为或；． 综上所述：点N坐标为（－1，2）或（－1，－4）或或；． （3）解：如图，设点P坐标为（x，）， ∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3） 则：， ， ， I、若是直角三角形，当CP为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：，，即点P为（2，5）； II、若是直角三角形，当AP为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：，，即点P为（－1，4）； 综上所述：点P坐标为（2，5）或（－1，－4）． （4）解：如图，设点Q坐标为（x，），其中， ∵点B坐标为（1，0），点F坐标为（－2，－3） 则：， ， ， I、若是直角三角形，当BQ为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：，； 当时，，即点Q坐标为（－1，－4） II、若是直角三角形，当为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：（不合题意，舍去），；此时Q点不存在 III、若是直角三角形，当为斜边时，则：， 即：， 整理得：， 解得：，，， 当时，， 当时，，即点Q为或； 综上所述：点Q坐标为（－1，－4）或或． 题型三：二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 13．或 14．(1) (2)a：2；b：或或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点，称轴为求解即可； （2）a：先求出点C和点B的坐标，如图所示，连接交对称轴于P，连接，根据轴对称最短路径可知与抛物线对称轴的交点即为点P，进一步求解即可； b：当点P为直角顶点时，由对称性可知；当点B为直角顶点时，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，证明得，，则，代入函数解析式即可求解；若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：a：当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， 如图所示，连接交对称轴于P，连接， 由轴对称的性质可知， ∴的周长为， 此时的周长最短， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． ∴，， ∴； b：当点P为直角顶点时，如图， ∵点P在对称轴上， ∴此时点Q与点A重合，即； 当点B为直角顶点时， 如图，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， ∴． ∵． ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得（舍去），， ∴． 如图，若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， 同理可证 ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或或． 15．(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为； (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (3)直线函数解析式为； (4)点坐标为或． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）设，则，然后分为当，，当，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵点横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∴点坐标为； （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：由（）得点坐标为， ∵点坐标为， 设直线函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线函数解析式为； （4）解：设，则， 如图，当，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点坐标为； 如图，当，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上可得：点坐标为或． 16．(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即为定值． 18．(1) (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． （2）当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 （3）存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问 题的三种模型 题型归纳 题型一二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 题型二二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 题型三二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 题型专练 题型一：二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 1.(25-26九年级上·全国单元测试)如图，已知抛物线y=-x+2x+3与y轴交于点C,点P在抛物线上， 点D的坐标为O,),且以CD为底的△PCD是等腰三角形，则点P的坐标为 2.(25-26九年级上吉林白山期末)如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，A(-1,0),B(3,0), C(3,3),抛物线y=- x2+bx+C经过点A和点B D (1)求抛物线的解析式： (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接EC、EB,当△CEB是以CB为底的等腰三角形时，求点E的坐标. 3.(2026河南周口一模)如图，抛物线y=m2+br+c(a≠0)与x轴交于A(-2,0),B(8,0)两点，与y 119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴交于点C(0,4),连接4C,BC. B B 备用图 (1)抛物线的解析式： (2)D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值： (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PCB是以BC为腰的等腰三角形时，求点P的坐标. 4.(2026河南周口一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于 点C. B (1)求抛物线的解析式： (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD,求△BCD面积的最大值： (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存 在，请说明理由， 5.(2026安徽宿州三模)已知抛物线y=x2-2ax+a2-4(a为常数)，与x轴交于A,B两点(4在B 的左侧) (1)当a=3时，求抛物线的解析式及点A,B的坐标： (2)已知点M(2,yM)在该抛物线上. (i)若yw=0,求a的值： (i)当a=1时，设抛物线的顶点为P,点9在抛物线的对称轴上，若△PMQ是等腰三角形，求点9的坐 标 6.(25-26九年级上山东泰安期中)如图，抛物线y=-x2+(c-1)x+C与x轴的交点为A,B两点，与y 轴的交于点C,OC=3OA. 219 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B PD 图1) 图(2) (1)求抛物线的表达式： (2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线CP与抛物线的对称轴相交于点M,若△ACM是以AC为底边的 等腰三角形，求直线CP的表达式： (3)E是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，F、N是抛物线对称轴上两点，WF=EN.请说明：存在确定 的点N,使直线EF与抛物线只有唯一交点E. 题型二：二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 7.(2425九年级上江西南昌期中)如图，己知抛物线y=-x2-6x-5与x轴交于A,B两点（点A在点 B左侧)，与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D,与经过点B的直线y=x+1交于点E,点P 在抛物线上，△BPE是以BE为直角边的直角三角形，则点P的坐标为 (2223九年级上山东泰安期中)如图，抛物线y三x x+2与x轴交于A,B两点，与y轴交 2 于C点， A B 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求A,B,C三点的坐标： (2)证明△ABC为直角三角形： (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P,使△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标： 若不存在，请说明理由. 9.(22-23九年级上：广东广州期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=ar2+bx-3a经过A,B两点. B (1)求抛物线的解析式： (2)点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A,B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF 的长度最大时，求点E、F的坐标： (3)在(2)的条件下：在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，直 接写出所有点P的坐标：若不存在，说明理由 10.(河北卷B-2022年中考数学模拟考场仿真演练卷)如图，已知抛物线y= 2+加+c经过点B4, 0)和点C(0,一2)，与x轴的另一个交点为点A,其对称轴I与x轴交于点E,过点C且平行x轴的直线 交抛物线于点D,连接AD. 4/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ei C D (1)求该抛物线的解析式： (2)判断△ABD的形状，并说明理由： 3)P为线段AD上一点，连接PE,若△APE是直角三角形，求点P的坐标： (4)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△APD是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说 明理由. 11.(25-26九年级上·云南昭通期中)已知，如图所示，抛物线y=ax+bx+3与x轴交于点A(-l1,0)和 B(3,0),与y轴交于点C. 备用图 (1)抛物线的对称轴是 (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存 在，请说明理由. (3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标。 12.(2021九年级全国专题练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于 A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D,对称轴交x轴于点E. (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标. 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在对称轴上是否存在点N,使得△ACN是直角三角形？若存在，求出点N的坐标：若不存在，请说 明理由. B (3)在抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标： 若不存在，请说明理由， EO D (4)已知点F(-2,-3)在该抛物线上，点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作 PO⊥x轴交该抛物线于点Q,连接BQ、BR、FO,当△BFO是直角三角形时，求出所有满足条件的点O 的坐标 6/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 13.(25-26八年级下辽宁盘锦期中)如图，抛物线y=(x-1)-4与x轴交于A、B两点，A在B的左侧， 与y轴交于C,点P为对称轴右侧的抛物线上一动点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好 落在对称轴上，则P点的坐标 B 14.(2026湖南株洲模拟预测)如图，已知抛物线y=2+br+3(a≠0)与x轴交于A、B两点，其中点 A(1,0),对称轴为x=-1,与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式， (2)点P是抛物线对称轴上一动点， PA a:当aPAC的周长最小值时，求PC的值. 719 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b:点O是对称轴右侧抛物线上的一点，当△PQB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请求出所有Q点的坐 标. 15.(24-25九年级上河北邯郸期中)如图：已知抛物线y=-x2+2x+C与直线相交于点A和点C,A点 坐标为(-1,0)，C点横坐标为2 图1 图2 (1)求抛物线的函数解析式和C点坐标： (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线AC函数解析式： (4)若点P是x轴上方抛物线上的一个动点，PQ⊥x轴交AC于点Q,若△PQC是等腰直角三角形，直接 写出P点坐标， 16.(25-26九年级上甘肃兰州期末)如图，抛物线y=(x+1)+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C(0,-3). B (1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标： (2)点M是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当M点运动到何处时，△ACM的面积最大？求出△ACM的最大面积及此时点M的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点P,使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形，请直接写出点P和点M的 坐标 17.(24-25九年级上湖北恩施期末)如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3与x 轴交于A(3,0)、B两点，与y轴交于点C,且关于直线x=1对称. 8/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A 图1 图2 (I)求线段AB的长； (2)当0<x<3时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点E(m,y),F(n,)在对称轴右侧抛物线上，若△GEF为等腰 直角三角形，∠EGF=90°，试证明：m-n为定值. 18.(25-26九年级下·山东烟台期中)如图，二次函数y=r2+br+C的图象与直线y=x-2交于点 A(O,-2)和点B(4,n),对称轴是直线x=1,过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C.M是抛物 线上任意一点，其横坐标是. y ! N B 备用图 (1)求抛物线的函数关系式： (2②当点M在直线4B上方时，若SA4Bw 2ac,求m的值； (3)设N是直线BC上的点，是否存在点M和点N的位置，使△AMN是以AWN为斜边的等腰直角三角形？若 存在，请求所有的值；若不存在，请说明理由， 9/9 专题04 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题的三种模型 题型一 二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 题型二 二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 题型三 二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 题型一：二次函数综合题专训之等腰三角形存在性问题 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，已知抛物线与y轴交于点C，点P在抛物线上，点D的坐标为，且以为底的是等腰三角形，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，二次函数的对称性，等腰三角形三线合一性质等知识，正确的计算是解题的关键． 点的坐标为，由等腰三角形三线合一的性质可得出满足条件的点的纵坐标为，把代入函数解析式求出的值即可得出点的坐标． 【详解】解：当时，，则点C的坐标为． 是以为底的等腰三角形， 为直线与抛物线的交点． 当时，， 解得， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 2．（25-26九年级上·吉林白山·期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点E的坐标为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解： ∵，，是以为底的等腰三角形， ∴点E的坐标为， 当时，， 整理得， 解得， ∴点E的坐标为或． 3．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大值为16 (3)点P的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作轴交于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用勾股定理求出，设出点P坐标，求出、，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴交于点E，交x轴于点F， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积有最大值， ∴当时，的面积最大，最大值为16； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 又， 所以，对称轴为直线， 设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 4．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 5．（2026·安徽宿州·三模）已知抛物线（a为常数），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． (1)当时，求抛物线的解析式及点A，B的坐标； (2)已知点在该抛物线上． （i）若，求a的值； （ii）当时，设抛物线的顶点为P，点Q在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点Q的坐标． 【答案】(1)；； (2)（i）或；（ii）或或或． 【分析】（1）由题意得到抛物线解析式为，令，解方程即可解答； （2）（ⅰ）令 ，解方程即可解答；（ⅱ）由题意得抛物线解析式为 ，得到顶点，，求出，设点，分，，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 当，则，解得或， ∴，； （2）解：（ⅰ）∵点在该抛物线上， ∴， 当，则， 解得或； （ⅱ）当时，抛物线解析式为 ， ∴顶点， ， ∴， ∴， 设点， ∵是等腰三角形，分三种情况讨论： 情形一：， ∴， ∴， ∴或； 情形二：， ∴， ∴ ， ∴， ∴或， 当时，， 当时，，与顶点P重合，舍去； 情形三：， ∴，即， 解得，此时； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或或． 6．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线与抛物线的对称轴相交于点，若是以为底边的等腰三角形，求直线的表达式； (3)E是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，、是抛物线对称轴上两点，．请说明：存在确定的点N，使直线与抛物线只有唯一交点E． 【答案】(1) (2)直线的表达式为 (3)见解析 【分析】（1）由题意可得点C的坐标为，即，进而得到，最后把A两点的坐标代入抛物线求出c的值即可； （2）如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M． 则，再求出M点的坐标；即可求出直线的解析式为； （3）设，再求得直线解析式为，则，如图：过点E作于点M，则．设，然后再运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ，． ， ， ． ，解得，或（舍去）． ∴． （2）解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M． 则．    ∵直线表达式为，，， ，，． ， ．解得：． ． 设直线的解析式为， 在直线上，则，解得：， 直线的解析式为． （3）解：设， 设直线表达式为：， 联立， ． 设方程的两个根为， 直线与抛物线有唯一交点， ． ，， ，， 直线表达式为：． ． 过点作于点，则， 设，， ，，， ． 令，则． ，， ． 存在点，当时，与抛物线有唯一交点． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、勾股定理，等腰三角形的性质、交点坐标特征等知识点，正确作出辅助线以及数形结合思想是解答本题的关键． 题型二：二次函数综合题专训之直角三角形存在性问题 7．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】先求得点的坐标为，再得出，当时，利用等腰直角三角形性质可求得点的坐标为，运用待定系数法可得直线的函数表达式为，将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为运用待定系数法可得直线的函数表达式为，联立方程组即可求得点的坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴点的坐标为，则， ∴， 当时，则，过点作于点，如图， 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为， 由点，， 设直线的函数表达式为， ，解得：， ∴直线的函数表达式为， 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得 ， ∴直线的函数表达式为， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定与性质，一次函数图象的平移，直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，把求两函数的交点坐标问题转化为解方程组的问题是解题的关键． 8．（22-23九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)证明为直角三角形； (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，分别将，代入求得、、的坐标； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于、两点， ．即． 解之得：，． 点、的坐标为，、，． 将代入，得点的坐标为； （2）解：由两点间的距离公式得：，，， ，则， 是直角三角形； （3）解：当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为 设，把代入得： ， ，． 点坐标为，． 【点睛】此题考查了二次函数与轴的交点的纵坐标为0；与轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点． 9．（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直角斜边上一动点(点，除外)，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点、的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点，点 (3)存在，，， 【分析】（1）根据，求出的长，进而得到，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标； （3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值，当时，的最大值为． ∴，， ∴点，点； （3）①当时，点的纵坐标为， 即，解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即，解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． 10．（河北卷B-2022年中考数学模拟考场仿真演练卷）如图，已知抛物线经过点B（4，0）和点C（0，－2），与x轴的另一个交点为点A，其对称轴与x轴交于点E，过点C且平行x轴的直线交抛物线于点D，连接AD． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断△ABD的形状，并说明理由； (3)P为线段AD上一点，连接PE，若△APE是直角三角形，求点P的坐标； (4)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△APD是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 (3)(1，－1)或(，－) (4)存在，( ，－1＋ )，( ，－1－ )，( ，5)，( ，－5) 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，联立解方程组求解即可． （2）把点的坐标代入解析式，联立解方程组求解即可． 【详解】（1）∵经过点B（4，0）和点C（0，－2）， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）△ABD为直角三角形.理由如下： 如图①，连接BD， 对于抛物线，令y＝0， ， 得， ∵B(4，0)，   ∴点A的坐标为(－1，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝ ， ∵CD∥x轴，且点C、D均在抛物线上， ∴点C与点D关于直线x＝对称， ∵C(0，－2)， ∴点D的坐标为(3，－2)， 过点D作DM⊥AB于点M， ∴在Rt△ADM、Rt△BDM中，利用勾股定理可得 ，，， ∴， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°． （3） ∵由(2)得BD⊥AD， ∴当PE∥BD时有PE⊥AD， ∵E是抛物线对称轴x＝与x轴的交点， ∴点E是AB的中点， ∴点P是AD的中点， ∴此时点P的坐标为(1，－1)， 如图，当点P是直线与AD的交点时， 有∠AEP＝90°，由A(－1，0)，D(3，－2)得直线AD的解析式 为y＝－x－； 当x＝ 时，有y＝－×－＝－， ∴此时点P的坐标为(，－)， ∴当△APE是直角三角形时， 点P的坐标为(1，－1)或(，－)． （4） ∵点P在直线：x＝上，则设点P的坐标为( ，p)， 如图，由勾股定理得AP²＝( ＋1)²＋p²＝ ＋p²， PD²＝(3－ )²＋(p＋2)²＝＋(p＋2)²， 由题意可得AD²＝20， 当△APD是直角三角形时， ①当∠APD＝90°时，  则AP²＋PD²＝AD²， 即 ＋p²＋ ＋(p＋2)²＝20， 解得p1＝－1＋  ，p2＝－1－ ， 此时点P的坐标为( ,－1＋ )，(   ,－1－ ) ②当∠PAD＝90°时，则AP²＋AD²＝PD²， 即＋p²＋20＝＋(p＋2)²，解得p＝5， 此时点P的坐标为( ，5)； ③当∠PDA＝90°，则PD²＋AD²＝AP²， 即 ＋ (p＋2)²＋20＝ ＋p²，解得p＝－5， 此时点P的坐标为( ，－5)． ∴当△APD为直角三角形时， 点P坐标分别为( ,－1＋ )，(   ,－1－ )，( ，5)，( ，－5)． 【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，勾股定理及其逆定理，熟练掌握待定系数法，灵活运用勾股定理及其逆定理，抛物线的性质是解题的关键． 11．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)抛物线的对称轴是____________． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)直线 (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】考查知识点：二次函数的对称轴、轴对称的最短路径问题、直角三角形的分类讨论（勾股定理）．利用抛物线与x轴交点求对称轴；通过轴对称转化线段和，结合一次函数求最短路径点；对直角三角形分三种情况，用勾股定理列方程求解．解题关键：熟练掌握抛物线对称轴公式，灵活运用轴对称性质解决最短路径问题，准确分类直角三角形的直角顶点并应用勾股定理．易错点：求对称轴时忽略公式应用；最短路径问题中找不到对称点的转化关系；直角三角形分类讨论时漏解． （1）根据抛物线与x轴交点、，利用对称轴公式，直接计算得对称轴为直线． （2）因为A、B关于对称轴对称，所以，则．连接，其与对称轴的交点P即为使最小的点．先求，再求直线的解析式，将代入得． （3）设，分别表示出、、的长度．分、、三种情况，根据勾股定理列方程求解，得到点M的坐标． 【详解】（1），， ， ∴直线． （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入中，得：， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． （3）解：设点的坐标为， 则， 分三种情况考虑： ①当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为或； ②当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时， 点的坐标为或． 12．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在对称轴上是否存在点N，使得是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在点P，使得是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）已知点在该抛物线上，点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作轴交该抛物线于点Q，连接BQ、BF、FQ，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）存在，点N坐标为（－1，2）或（－1，－4）或或；（3）存在，点P坐标为（2，5）或（－1，－4）；（4）点Q坐标为（－1，－4）或或 【详解】答案：（1）解：∵， ∴A（－3，0），C（0，－3）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）． （2）解：如图，设点N坐标为（－1，y）， ∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3） 则：， ， ， I、若是直角三角形，当CN为斜边时，则：， 即：，解得：，即点N为（－1，2）； II、若是直角三角形，当AN为斜边时，则：， 即：，解得：，即点N为（－1，－4）； III、若是直角三角形，当AC为斜边时，则：， 即：，解得：，即点N为或；． 综上所述：点N坐标为（－1，2）或（－1，－4）或或；． （3）解：如图，设点P坐标为（x，）， ∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3） 则：， ， ， I、若是直角三角形，当CP为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：，，即点P为（2，5）； II、若是直角三角形，当AP为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：，，即点P为（－1，4）； 综上所述：点P坐标为（2，5）或（－1，－4）． （4）解：如图，设点Q坐标为（x，），其中， ∵点B坐标为（1，0），点F坐标为（－2，－3） 则：， ， ， I、若是直角三角形，当BQ为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：，； 当时，，即点Q坐标为（－1，－4） II、若是直角三角形，当为斜边时，则：， 即：， 整理得： 解得：（不合题意，舍去），；此时Q点不存在 III、若是直角三角形，当为斜边时，则：， 即：， 整理得：， 解得：，，， 当时，， 当时，，即点Q为或； 综上所述：点Q坐标为（－1，－4）或或． 题型三：二次函数综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 13．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，在的左侧，与轴交于，点为对称轴右侧的抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点正好落在对称轴上，则点的坐标______． 【答案】或 【分析】求得点B的坐标为，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，设点P的坐标为，证明，得到，，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵， 对称轴为直线， 令，则， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示． 设点P的坐标为，则，． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴，即或， 解得：（舍去），，， ∴点P的坐标为或． 14．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点，其中点，对称轴为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线对称轴上一动点． a：当的周长最小值时，求的值． b：点是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请求出所有点的坐标． 【答案】(1) (2)a：2；b：或或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点，称轴为求解即可； （2）a：先求出点C和点B的坐标，如图所示，连接交对称轴于P，连接，根据轴对称最短路径可知与抛物线对称轴的交点即为点P，进一步求解即可； b：当点P为直角顶点时，由对称性可知；当点B为直角顶点时，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，证明得，，则，代入函数解析式即可求解；若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：a：当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， 如图所示，连接交对称轴于P，连接， 由轴对称的性质可知， ∴的周长为， 此时的周长最短， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． ∴，， ∴； b：当点P为直角顶点时，如图， ∵点P在对称轴上， ∴此时点Q与点A重合，即； 当点B为直角顶点时， 如图，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， ∴． ∵． ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得（舍去），， ∴． 如图，若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， 同理可证 ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或或． 15．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为； (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (3)直线函数解析式为； (4)点坐标为或． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）设，则，然后分为当，，当，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵点横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∴点坐标为； （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：由（）得点坐标为， ∵点坐标为， 设直线函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线函数解析式为； （4）解：设，则， 如图，当，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点坐标为； 如图，当，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上可得：点坐标为或． 16．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即为定值． 18．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． （2）当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 （3）存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $