27.2 反比例函数的图像和性质 第二课时 分层训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦反比例函数图像和性质，分层递进设计，从基础面积计算到综合函数应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|已知比例系数求面积|直接应用k的几何意义，如单一点向坐标轴作垂线求三角形面积| |提升层|面积与系数互求|结合矩形、旋转等图形变换，如由矩形面积求反比例函数k值| |综合层|函数综合应用|一次函数与反比例函数结合，含图像交点、不等式解集等问题| |拓展层|规律探究与中考对接|通过点列、图形迭代探究规律，融入中考真题，培养创新意识|

27.2反比例函数的图像和性质（第2课时）分层训练 题型一、已知比例系数求图形的面积 1.反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 2.如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 3.如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（ ） A．3 B．8 C．11 D．14 5.如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 6.A，B是双曲线上的点，分别过点A，B作轴和轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为 ． 题型二、由图形面积求比例系数 1.如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（     ） A． B． C． D． 2.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 3.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数（k≠0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（﹣3，1），则k的值为（　 　） A． B．-3 C．3 D． 4.如图，的边交反比例函数的图象于点，且，点，，在坐标轴上，已知的面积为16，则的值为________． 5.如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 6.如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B．若四边形PAOB的面积为5，则k＝88888. 题型二、反比例函数与一次函数的综合 1.设点和是反比例函数图象上的两个点，当＜＜时， ＜，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C．D． 3.定义：一次函数y＝ax＋b的特征数为[a，b].一次函数y＝2x＋m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝的图象交于点A，B．若点A，B关于原点对称，则一次函数y＝2x＋m的特征数是( CC) A．[2，0] B．[2，3] C．[2，－3] D．[2，－6] 4.如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 5.在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点A的坐标为______． 6.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接AC、BC，若的面积为18，求点C的坐标. 题型四、反比例函数的规律探究 1.如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 2.如图，在反比例函数的图像上有点、、、…，它们的横坐标依次为1、2、3、4… ，分别过这些点作轴与 轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次为、、…，请用含有 的代数式表示的值___________． 3.如图，，，，…是分别以为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 4.如图，点、、、、在反比例函数的图象上，点、、、、在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 1.反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 2.若反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像没有交点，则k的值可以是（ ） A.－2 B.－1 C.1 D.2 3.如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（      ） A．4 B．6 C．8 D．12 4.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线（k≠0）上，则k的值为（　　） A．4 B．﹣2 C． D． 5.如图，直线y=x﹣1与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣1，m）． （1） 求反比例函数的解析式； （2）若点P（n，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△CEF的面积． （3）在x轴上是否存在点Q，使得△QBC是等腰三角形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 1.（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 2.（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 3.（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 4.（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 5.（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 6.（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 7.（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（    ） A．25 B．26 C． D． 8.（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 9.（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 10.（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 27.2反比例函数的图像和性质（第2课时）分层训练答案 题型一、已知比例系数求图形的面积 1.B   2.A   3.B 4.B 5. 3 6. 8 题型二、由图形面积求比例系数 1. B  2.A   3.D 4.4 5.12 6.8 题型三、反比例函数与一次函数的综合 1. A 2.A 3.C 4． 或 5.或 6.（1）解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 7. （1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； （2） 或； （3） 解：设与轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 题型四、反比例函数的规律探究 1. 2. 3.B     4.D   1.D　 2.A 3.D 4.D 5.解：（1）将点A的坐标代入y=x-1，可得：m=-1-1=-2， 将点A（-1，-2）代入反比例函数y=，可得：k=-1×（-2）=2， 故反比例函数解析式为：y=． （2）将点P的纵坐标y=-1，代入反比例函数关系式可得：x=-2， 将点F的横坐标x=-2代入直线解析式可得：y=-3， 故可得EF=3，CE=OE+OC=2+1=3， 故可得S△CEF=CE×EF=． （2） (2, 0 ) 或 (3, 0） 6. （1）解：把点代入得，， ， 反比例函数图象过点， ， 反比例函数解析式为； （2） 解：由， 解得或， ， 作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ， 把代入得，， 解得， ， ， ， 当的值最小时的面积为． 1.4 2. 3. 4.或 5.D 6.B   7.D   8.（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； （2）由（1）知， 令得；令得， ∴， ∴， 过点D作轴于点E， 由旋转得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 9.（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2） 或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为，， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 10. (1)；；； (2) 学科网（北京）股份有限公司 $