专题 2.1 正数与负数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦正数与负数核心知识点，系统梳理正数负数概念、相反意义的量表示、有理数分类（按定义和正负性）及分数与小数互化，构建从基础概念到实际应用再到分类与互化的递进式学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计，夯实基础题型如正数识别、相反意义量表示，综合提升题型如多标准有理数分类、正负数实际应用（如水位升降问题），培养学生数学眼光与推理意识，分数与小数互化探究发展抽象能力，课中辅助教学，课后同步检测助力学生查漏补缺。

专题 2.1 正数与负数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】正数与负数的概念 1 【知识点二】用正负数表示相反意义的量 2 【知识点三】有理数的概念与分类 2 【知识点四】分数与小数的互化 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】正数、负数的识别 3 【题型 2】正负数表示相反意义的量 4 【题型 3】基础有理数分类 5 三.题型精析（综合提升） 7 【题型 4】多标准交叉有理数分类 7 【题型 5】正负数实际应用 10 【题型 6】分数与小数互化 12 四.同步检测 15 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 15 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 18 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 21 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】正数与负数的概念 1. 正数：大于0的数叫做正数，正数前面的“+”号可以省略不写。 2. 负数：在正数前面加上负号“−”的数叫做负数，负数小于0，负号不可省略。 3. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界数，属于整数。 【要点提示】 ① 判断数的正负，只看数值与0的大小关系，与符号表象无绝对关联； ② 带负号的数不一定是负数，如−（−5）为正数； ③ 0是唯一的中性数，是整数，不是分数。 【知识点二】用正负数表示相反意义的量 生活中存在大量意义相反、属性相同的同类数量，可人为规定其中一种为正，另一种即为负，实现数量的数学化表达。 常见相反意义的量：收入与支出、盈利与亏损、上升与下降、向东与向西、高于海平面与低于海平面、前进与后退。 【要点提示】 ① 相反意义的量必须同时具备：意义相反、单位相同、带有具体数量； ② 正负规定可自主设定，同一题目中正负标准必须统一； ③ 只存在相反关系、无具体数量的两组概念，不是相反意义的量。 【知识点三】有理数的概念与分类 （1）按定义分类： （2）按正负性分类： 【要点提示】 ① 无限不循环小数（如π）不能化成分数，不属于有理数； ② 非负数 = 正数 + 0；非正数 = 负数 + 0； ③ 所有整数都是有理数，所有分数都是有理数。 【知识点四】分数与小数的互化 1. 分数化小数：用分子除以分母，结果一定是有限小数或无限循环小数； 2. 有限小数化分数：先改写为分母是10、100、1000……的分数，再约分至最简。 【要点提示】 所有有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】正数、负数的识别 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 【答案】0，是整数但不是正数；，是分数但不是负数 【分析】本题考查整数、正数、分数、负数的定义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．先从给定数中筛选出符合条件的整数，再筛选出符合条件的分数，注意区分整数和分数的定义，以及正负数的判断标准． 解：是整数但不是正数的有：0，； 是分数但不是负数的有：，． 【变式1】（2026·广西南宁·二模）下面各数是负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“小于0的数是负数”判断各选项即可得到答案． 解：∵ 负数的定义为小于0的数， 又∵ ，，，， ∴ 只有是负数． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念．根据正负数的意义逐一判断即可． 解：①0既不是正数也不是负数，因此0不是最小的正数，故①错误； ②任意一个正数，前面加一个“”号，表示它的相反数，是负数，故②正确； ③大于0的数是正数，这是正数的定义，故③正确； ④字母a可以表示正数或负数，但不能同时既是正数又是负数，故④错误． ∴正确的说法有②③． 故答案为：②③． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里． 【答案】5个正数：1、2、3、4、5；5个负数：-1、-2、-3、-4、-5； 【分析】根据正数和负数的定义，写出 个正数和 个负数，再按要求进行分类即可． 解：5个正数：1、2、3、4、5；5个负数：-1、-2、-3、-4、-5； 【点拨】本题主要考查了正数和负数的分类，熟练地掌握正数和负数的定义是解题的关键． 【题型 2】正负数表示相反意义的量 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请举出一些具有相反意义的量的实例． 【答案】答案不唯一，温度升高与温度下降；向东走与向西走；收入元与支出元；电梯上升5层与电梯下降2层等等 【分析】本题考查用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它们的意义相反，并且都是数量，数量的单位相同．按照指定方向的标准来划分，规定指定方向为正方向的数用正数表示，则向指定方向的相反的方向变化用负数表示，正与负是相对的．例如一个表示增加，另一个表示下降等． 解：答案不唯一，温度升高与温度下降；向东走与向西走；收入元与支出元；电梯上升5层与电梯下降2层等等． 【变式1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）甲船的速度是22千米/小时，记作，那么乙船的速度是20千米/小时，记作（     ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】先求出速度的记作标准，根据正负数表示相反意义的数解答． 解：∵甲船的速度是22千米/小时，记作， ∴速度的标记标准为20千米/小时， ∴乙船的速度是20千米/小时，记作0． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果元表示收入元，那么元表示________． 【答案】支出元 解：“正”和“负”表示一对相反意义的量， 因为规定元表示收入元， 所以元表示支出元． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． （1）高于海平面74.6米，高于海平面为正； （2）转动转盘，顺时针转动4圈，顺时针旋转为正； （3）气温是零下，零下为负． 【答案】（1）低于海平面74.6米，记作米；（2）逆时针转动4圈，记作圈；（3）零上，记作 【分析】本题考查相反意义的量，用正负数表示变化的量，先规定其中一个用正（或负）表示，则其相反意义的量就用负（或正）表示． （1）高于海平面为正，则低于海平面为负； （2）顺时针转动为正，则逆时针转动为负； （3）零下温度为负，则零上温度为正． （1）解：低于海平面74.6米，记作米； （2）解：逆时针转动4圈，记作圈； （3）解：零上，记作． 【题型 3】基础有理数分类 【例题3】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【答案】，，；，，；， 【分析】根据有理数的分类进行逐个分析，即可得答案． 解：分数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，…}； 非负整数集合：{，，…}． 【变式1】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）下列各数：，，，，0.6，7.3，3.14159，中，属于有理数的有（     ）个． A．5个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】本题根据有理数的定义，逐一判断给出的数，统计有理数的个数即可得到答案，用到的知识点为：有理数是整数和分数的统称，有限小数、百分数都可化为分数，属于有理数，无限不循环小数是无理数． 解：∵ 有理数是可表示为两个整数之比的数，包含整数、分数、有限小数、无限循环小数，无限不循环小数是无理数， ∴ 逐个判断各数： ：是无理数，因此是无理数，不属于有理数； 是有限小数，可化为分数，是有理数； ，是分数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 统计可得，有理数共有个， 因此选C． 【变式2】（26-27六年级·上海·小升初衔接）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【答案】，，，， 解：是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 既不是正数也不是负数，所以不是正有理数； 是大于的有限小数，有限小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 是大于的分数，分数属于有理数，所以是正有理数； 是大于的无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 综上可知，正有理数有：，，，，． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）把下列各数填在相应集合里： 正数集合： 分数集合： 负整数集合： 【答案】正数集合：；分数集合：；负整数集合： 【分析】根据正数、分数和负整数的定义，将题目中给出的数值按题意分类． 解：题干中给出的数值中，正数有：；分数有：；负整数有：． 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】多标准交叉有理数分类 【例题4】（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 正有理数集合：{___________…}； 非负数集合：{___________…}； 整数集合：{___________…}； 正分数集合：{___________…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．先化简多重符号，再根据有理数的分类填写即可． 解： 正有理数集合：； 非负数集合：； 整数集合：； 正分数集合：． 【变式1】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的基本概念，包括负分数、整数、非负有理数、有理数的定义以及有理数的大小．根据定义逐一判断各说法的正误． 解：① 是负分数，正确； ② 不是整数，正确； ③ 非负有理数包括，故原说法错误； ④ 有理数是整数和分数的统称，而整数包括正整数、负整数和，故原说法错误； ⑤ 没有最小的有理数，故原说法错误； ⑥ 是有限小数，是有理数，故原说法错误． ∴ 错误的有③、④、⑤、⑥，共个； 故选B 【变式2】（24-25七年级上·山东济宁·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的大括号内（少答、多答、错答均不得分）： ①﹣13；②0.1；③﹣2.23；④+27；⑤0；⑥，⑦﹣15%；⑧，⑨． 整数集{________…}；非负数集{________…}；分数集{________…}． 【答案】 ①﹣13，④+27，⑤0 ②0.1，④+27，⑤0，⑨ ②0.1，③﹣2.23，⑥﹣，⑦﹣15%，⑧﹣，⑨ 【分析】根据有理数的分类判断即可． 解：整数集{①﹣13，④+27，⑤0…}； 非负数集{②0.1，④+27，⑤0，⑨…}； 分数集{②0.1，③﹣2.23，⑥﹣，⑦﹣15%，⑧﹣，⑨…}． 故答案为：①﹣13，④+27，⑤0；②0.1，④+27，⑤0，⑨；②0.1，③﹣2.23，⑥﹣，⑦﹣15%，⑧﹣，⑨． 【点拨】本题考查了有理数的分类，正确掌握有理数的分类标准是解题的关键，有理数可以分为整数和分数，有理数也可以分为正有理数、0和负有理数． 【变式3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（填序号）：①；②；③；④0；⑤；⑥10；⑦；⑧； 运动会检录窗口 正有理数 非负整数 负分数 【答案】②③⑥⑧；④⑥⑧；①⑤ 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是明确正有理数、非负整数、负分数的定义． 先明确各类数的定义，正有理数是大于0的有理数；非负整数是0和正整数；负分数是小于0的分数（包括可化为分数的负小数）；再逐一分析所给有理数，按定义归类． 解：正有理数是大于0的有理数，包括②、③、⑥10、⑧； 非负整数是0和正整数，包括④0、⑥10、⑧； 负分数是小于0的分数，包括①、⑤ 故正有理数：②③⑥⑧；非负整数：④⑥⑧；负分数：①⑤． 【题型 5】正负数实际应用 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 【答案】对准的数是；先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格，刻度线表示为． 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为． 【变式1】（24-25七年级上·河北沧州·期末）一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【答案】C 【分析】用减去前5次各数与8：00的水位和，然后即可做出判断． 解：0-（0.5-0.8+0-0.2-0.3-0.1）=0.9． 故选：C． 【点拨】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）一种零件的长度在图纸上是毫米，表示这种零件的标准尺寸是_______毫米，加工要求最大不超过________毫米，最小不小于_________毫米. 【答案】 10 10.03 9.98． 【分析】根据表示的意义，相加是表示的最大尺寸，相减是表示的最小尺寸． 解：表示这种零件的标准尺寸是10毫米，加工要求最大不超过10.03毫米，最小不小于9.98毫米. 故答案为10，10.03，9.98． 【点拨】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【变式3】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段检测）学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 （1）表中“”表示的意义是___________； （2）这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ （3）你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 【答案】（1）比个少做个引体向上；（2）；（3）多在课余时间加强锻炼 【分析】本题考查正负数的实际应用； （1）根据题意得到“”的实际意义解答即可； （2）先找出成绩优秀人数，然后计算优秀率解答即可； （3）根据表格中数据提出合理建议即可． （1）解：“”表示的意义是比个少做个引体向上， 故答案为：比个少做个引体向上； （2）解：达到优秀的有3人， ∴优秀率为， 答：这组男生引体向上的成绩优秀率是； （3）解：建议：多在课余时间加强锻炼． 【题型 6】分数与小数互化 【例题6】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看作是分母为1的分数）．我们知道：可以写成可以写成，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数为例，进行探索： 设，① 两边同乘以得： ，② ②-①得： 因此，是有理数． （1）直接用分数表示循环小数 （2）试说明是一个有理数，即能用一个分数表示． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）设，两边乘10，仿照例题可解； （2）设，两边乘100，仿照例题可化简求解． 解：（1）设，① 两边乘10得：，② ②-①得：， ∴， ∴； （2）设，① 两边同乘以得：，② ②-①得： ， 因此是有理数 【点拨】本题需理解题中的例子，将一个循环小数化为分数的方法，需要学生有很好的分析理解能力． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，注意区分无限循环小数与无限不循环小数．根据有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无限不循环小数是无理数，不属于有理数． 解：有理数是能表示为两个整数之比的数， ①有限小数可以写成分母为10的幂的分数，是有理数，正确； ②有理数不一定是有限小数，如无限循环小数（如）是有理数但不是有限小数，原说法错误； ③无限循环小数可以化成分数，正确； ④分数的分子除以分母必得小数（有限或无限循环），正确； ⑤无限小数包括无限不循环小数（如π），是无理数，不是有理数，原说法错误． ∴正确的有①③④，共3个． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）用小数表示下列分数：＝_______， ＝_______． 【答案】 0.36 【分析】分数化成小数：用分母去除分子，能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，用循环小数表示即可求解． 解：=0.36；=. 故答案为0.36；. 【点拨】考查了小数与分数的互化，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 【变式3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）阅读下列材料，解决相关任务： 2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：（约率）和（密率），同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a、b、c、d为正整数），则是x的更为精确的近似值． 例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：； 由于，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数． 任务： （1）请判断：约率是（    ） A．无限不循环小数    B．有限小数    C． 整数    D．有理数 （2）已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． 【答案】（1）D；（2） 【分析】根据“调日法”的定义，第一次结果为：，近似值大于 ，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可． 解：（1）分数是有理数，故选D． （2）∵， ∴首次利用“调日法”后得的一个更为精确的近似分数为：， ∵且， ∴， ∴再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为：． 【点拨】本题考查无理数的估算，根据定义，严格按照例题步骤解题是关键． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·广西贺州·二模）下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“小于的数是负数”，判断各选项数值与的大小关系即可得到答案． 解：根据定义，小于的数是负数， A、，是负数，符合题意； B、既不是正数也不是负数，不符合题意； C、，是正数，不符合题意； D、，是正数，不符合题意． 2．（2026·河南平顶山·三模）我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 解：根据正数和负数表示具有相反意义的量，可知海平面以上9050米记作米． 3．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）小明同学把收支情况用正数和负数表示，若收入100元记为+100元，则支出80元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 解：∵收入和支出是一对相反意义的量，题目中规定收入记为正数， ∴支出应记为负数， ∴此支出80元记作元． 4．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）在我国古代数学著作《九章算术》中，用“正与负”来表示“收入与支出”，如：钱表示收入5文钱，那么钱表示（     ） A．收入4文钱 B．支出4文钱 C．支出1文钱 D．收入1文钱 【答案】B 解：∵题目中正负数表示相反意义的收入与支出，且钱表示收入文钱， ∴负数表示与收入相反意义的支出，因此钱表示支出文钱． 5．（25-26六年级下·云南楚雄·期中）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，指在解决实际问题时，常会遇到两种意义相反的“量”，如盈利与亏损、增加与减少等，为了区分这两种相反意义的量，需要用正负数来表示．下面表示互为相反意义的量的是（     ） A．比标准体重多4千克与低于标准身高4厘米 B．足球比赛中，进5个球与失3个球 C．向南走100米与向东走100米 【答案】B 【分析】先明确互为相反意义的量的判定条件：属于同一类量，且意义相反，据此逐一判断选项即可. 解：∵互为相反意义的量需要同时满足两个条件：①属于同一范畴的同一类量；②意义相反. 对选项A：两个量分别是体重和身高，不属于同一类量，不满足条件； 对选项C：向南和向东不是相反意义，向南的相反意义是向北，不满足条件； 对选项B：进球和失球是描述足球得分得失的同一类量，且意义相反，满足互为相反意义的量的要求. 6．（25-26六年级上·全国·课后作业）下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数；表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答． 本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键． 解：解答：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故选：C． 7．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 解：根据题意，盈利500元记作元， ∴元表示亏损700元， 故选：A． 8．（24-25六年级上·山东东营·期中）下列说法错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 【答案】C 【分析】根据有理数的概念和性质判断即可． 解：∵0既不是正数，也不是负数， ∴A正确，不符合题意； ∵零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃， ∴B正确，不符合题意； ∵正方向可以自主确定， ∴向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示，是错误的， ∴C不正确，符合题意； 故选C． 【点拨】本题考查了有理数的基本概念，熟练掌握有理数的基本概念是解题的关键． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25六年级下·黑龙江·开学考试）在、、、中，负数有___________个． 【答案】 【分析】依据负数的定义，找出所有小于的有理数，统计其数量即可． 解：在、、、中， ，，， 这三个数为负数，其余数中、、是正数，既不是正数也不是负数． 故负数有个． 10．（26-27六年级上·上海·开学考试）如果小明向南走 80 米，记作 米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米． 【答案】 130 【分析】根据正负数的意义，题目规定向南走为正，则与南方向相反的向北走记为负，两人行走方向相反，两人的距离为两人行走路程的和，据此分析求解． 解：由正负数表示相反意义的量可得，向北走50米记作米， 计算两人相距的距离： （米）． 11．（2026·湖北武汉·中考真题）科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷．氢原子中的原子核与电子各带1个电荷，若把其中原子核所带电荷用数表示是，则电子所带电荷用数表示是_________． 【答案】 解：∵ 原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷，且原子核所带电荷用数表示为， ∴ 表示电子所带电荷的数是与意义相反的数，即． 12．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）中国是世界上最早认识和应用负数的国家．在《九章算术》中记载了我国古代用正放的筹表示正数，斜放的筹表示负数的方法．书写时，在这个数的最后一码上加一斜杠表示负．如果表示＋312，那么表示的数是______． 【答案】 解：如果表示＋312，那么表示的数是 13．（25-26七年级上·福建漳州·期末）手机微信支付给生活带来便捷，微信零钱明细显示“”表示微信钱包收入20元，则微信零钱明细显示“”表示微信钱包________． 【答案】支出35元 【分析】本题主要考查了正负数的应用，根据题干中“”表示收入20元，可知“”号表示支出，因此“”表示支出35元． 解：微信零钱明细中，“”号表示收入，“”号表示支出，因此“”表示微信钱包支出35元． 故答案为：支出35元． 14．（25-26七年级上·陕西安康·期末）某种牛奶的包装盒上的净含量标识为：“”，表示其标准质量为，上下偏差不超过就符合要求，则生产符合要求的这种牛奶的净含量最小是______________． 【答案】 【分析】此题考查了正负数的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键．根据净含量标识为“”，符合要求的净含量范围是标准净含量减去偏差到加上偏差，求出符合要求的净含量范围即可求解． 解：由题意，标准净含量为，允许偏差为， ，， 符合要求的净含量范围为标准净含量， 生产符合要求的牛奶的最小净含量是， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）如图，以、、、四人的平均体重为基准，已用条形统计图表示出、、三人的体重（整千克数）． （1）的体重比的体重多_______． （2）平均体重记作，的体重可记作_______． （3）若平均体重是，那么的体重是_______． 【答案】 10 35 【分析】本题考查的是统计图的应用． （1）由图可知，A的体重比平均体重多，D的体重比平均体重少，由此解答本题； （2）A的体重比平均体重多，B的体重比平均体重少，D的体重比平均体重少，则C的体重比平均体重多，由此解答本题； （3）B的体重比平均体重少，由此解答本题． 解：（1）， 答：A的体重比D的体重多． 故答案为：10； （2）C的体重比平均体重多：， 答：平均体重记作，C的体重可记作． 故答案为：； （3）， 答：若平均体重是，那么B的体重是， 故答案为：35． 16．（23-24七年级上·山东青岛·阶段检测）下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是________，伦敦的时间是________，纽约的时间是________． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 【答案】 【分析】根据正负数的意义，结合表格数据，即可求解． 解：∵东京与北京的时差是 则如果现在的东京时间时，那么北京时间是 ∵伦敦与北京的时差是， ∴伦敦的时间是前一天的 ∵纽约与北京的时差是 ∴纽约的时间是前一天的 【点拨】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 解：把各数分别填入相应的圈内如下： ． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面哪对量是具有相反意义的量? （1）在知识竞赛中，得20分和扣10分． （2）一座水库蓄水量增加和减少． （3）一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． （4）长方形的周长是和面积是． 【答案】（1）是；（2）是；（3）是；（4）否 【分析】本题主要考查相反意义的量的定义，掌握 “相反意义的量需同时具备‘相反意义’和‘同类量’两个条件” 是解题的关键．依据相反意义的量的定义判断即可． 解：（1）∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴ 得分为正，扣分为负，具有相反意义． （2）∵ 蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴ 增加为正，减少为负，具有相反意义． （3）∵ 下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴ 下去为负，上来为正，具有相反意义． （4）∵ 周长是长度量，面积是面积量， ∴ 两者无相反方向含义，故无相反意义． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． （1）这里的含义是什么？ （2）请你算出该商品的最高价格和最低价格． （3）如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【答案】（1）见解析；（2）元，元；（3）元 【分析】本题考查了正数和负数的知识． （1）“”表示加价，“”表示降价； （2）根据浮动标准，可计算出最高价格和最低价格； （3）求出所代表的价格，然后即可表示出价格的浮动范围． 解：（1）解：的含义是在标准价格的基础上，加价和降价的幅度不超过10%． （2）最高价格是（元）， 最低价格是（元）． （3）因为（元）， 所以该商品价格的浮动范围又可以表示为元． 20．（24-25七年级上·新疆阿勒泰·阶段检测）已知有A，B，C三个数的“家族”： A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：{2.1，－4.2,8,6}． （1）请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分． （2）把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________. （3）有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出． 【答案】（1）见解析;（2） －1，－4，－4.2，;（3）见解析. 【分析】（1）根据数集的包含关系进行分类（2）选出负数；（3）根据观察易得. 解：（1）如图所示． （2）－1，－4，－4.2， （3）有，是2.1. 故答案为（2）－1，－4，－4;2，;（3）有，是2.1. 【点拨】本题考核知识点：有理数分类. 解题关键点：分析各有理数的关系. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 正数与负数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】正数与负数的概念 1 【知识点二】用正负数表示相反意义的量 2 【知识点三】有理数的概念与分类 2 【知识点四】分数与小数的互化 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】正数、负数的识别 3 【题型 2】正负数表示相反意义的量 3 【题型 3】基础有理数分类 3 三.题型精析（综合提升） 4 【题型 4】多标准交叉有理数分类 4 【题型 5】正负数实际应用 5 【题型 6】分数与小数互化 6 四.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 10 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】正数与负数的概念 1. 正数：大于0的数叫做正数，正数前面的“+”号可以省略不写。 2. 负数：在正数前面加上负号“−”的数叫做负数，负数小于0，负号不可省略。 3. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界数，属于整数。 【要点提示】 ① 判断数的正负，只看数值与0的大小关系，与符号表象无绝对关联； ② 带负号的数不一定是负数，如−（−5）为正数； ③ 0是唯一的中性数，是整数，不是分数。 【知识点二】用正负数表示相反意义的量 生活中存在大量意义相反、属性相同的同类数量，可人为规定其中一种为正，另一种即为负，实现数量的数学化表达。 常见相反意义的量：收入与支出、盈利与亏损、上升与下降、向东与向西、高于海平面与低于海平面、前进与后退。 【要点提示】 ① 相反意义的量必须同时具备：意义相反、单位相同、带有具体数量； ② 正负规定可自主设定，同一题目中正负标准必须统一； ③ 只存在相反关系、无具体数量的两组概念，不是相反意义的量。 【知识点三】有理数的概念与分类 （1）按定义分类： （2）按正负性分类： 【要点提示】 ① 无限不循环小数（如π）不能化成分数，不属于有理数； ② 非负数 = 正数 + 0；非正数 = 负数 + 0； ③ 所有整数都是有理数，所有分数都是有理数。 【知识点四】分数与小数的互化 1. 分数化小数：用分子除以分母，结果一定是有限小数或无限循环小数； 2. 有限小数化分数：先改写为分母是10、100、1000……的分数，再约分至最简。 【要点提示】 所有有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】正数、负数的识别 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 【变式1】（2026·广西南宁·二模）下面各数是负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里． 【题型 2】正负数表示相反意义的量 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请举出一些具有相反意义的量的实例． 【变式1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）甲船的速度是22千米/小时，记作，那么乙船的速度是20千米/小时，记作（     ） A． B． C． D．0 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果元表示收入元，那么元表示________． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． （1）高于海平面74.6米，高于海平面为正； （2）转动转盘，顺时针转动4圈，顺时针旋转为正； （3）气温是零下，零下为负． 【题型 3】基础有理数分类 【例题3】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【变式1】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）下列各数：，，，，0.6，7.3，3.14159，中，属于有理数的有（     ）个． A．5个 B．4个 C．6个 D．8个 【变式2】（26-27六年级·上海·小升初衔接）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）把下列各数填在相应集合里： 正数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}； 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】多标准交叉有理数分类 【例题4】（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 正有理数集合：{___________…}； 非负数集合：{___________…}； 整数集合：{___________…}； 正分数集合：{___________…}． 【变式1】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式2】（24-25七年级上·山东济宁·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的大括号内（少答、多答、错答均不得分）： ①﹣13；②0.1；③﹣2.23；④+27；⑤0；⑥，⑦﹣15%；⑧，⑨． 整数集{________…}；非负数集{________…}；分数集{________…}． 【变式3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（填序号）：①；②；③；④0；⑤；⑥10；⑦；⑧； 运动会检录窗口 正有理数 非负整数 负分数 【题型 5】正负数实际应用 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 【变式1】（24-25七年级上·河北沧州·期末）一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【变式2】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）一种零件的长度在图纸上是毫米，表示这种零件的标准尺寸是_______毫米，加工要求最大不超过________毫米，最小不小于_________毫米. 【变式3】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段检测）学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 （1）表中“”表示的意义是___________； （2）这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ （3）你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 【题型 6】分数与小数互化 【例题6】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看作是分母为1的分数）．我们知道：可以写成可以写成，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数为例，进行探索： 设，① 两边同乘以得： ，② ②-①得： 因此，是有理数． （1）直接用分数表示循环小数 （2）试说明是一个有理数，即能用一个分数表示． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）用小数表示下列分数：＝_______， ＝_______． 【变式3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）阅读下列材料，解决相关任务： 2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：（约率）和（密率），同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a、b、c、d为正整数），则是x的更为精确的近似值． 例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：； 由于，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数． 任务： （1）请判断：约率是（    ） A．无限不循环小数    B．有限小数    C． 整数    D．有理数 （2）已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·广西贺州·二模）下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南平顶山·三模）我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）小明同学把收支情况用正数和负数表示，若收入100元记为+100元，则支出80元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）在我国古代数学著作《九章算术》中，用“正与负”来表示“收入与支出”，如：钱表示收入5文钱，那么钱表示（     ） A．收入4文钱 B．支出4文钱 C．支出1文钱 D．收入1文钱 5．（25-26六年级下·云南楚雄·期中）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，指在解决实际问题时，常会遇到两种意义相反的“量”，如盈利与亏损、增加与减少等，为了区分这两种相反意义的量，需要用正负数来表示．下面表示互为相反意义的量的是（     ） A．比标准体重多4千克与低于标准身高4厘米 B．足球比赛中，进5个球与失3个球 C．向南走100米与向东走100米 6．（25-26六年级上·全国·课后作业）下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数；表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 8．（24-25六年级上·山东东营·期中）下列说法错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25六年级下·黑龙江·开学考试）在、、、中，负数有___________个． 10．（26-27六年级上·上海·开学考试）如果小明向南走 80 米，记作 米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米． 11．（2026·湖北武汉·中考真题）科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷．氢原子中的原子核与电子各带1个电荷，若把其中原子核所带电荷用数表示是，则电子所带电荷用数表示是_________． 12．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）中国是世界上最早认识和应用负数的国家．在《九章算术》中记载了我国古代用正放的筹表示正数，斜放的筹表示负数的方法．书写时，在这个数的最后一码上加一斜杠表示负．如果表示＋312，那么表示的数是______． 13．（25-26七年级上·福建漳州·期末）手机微信支付给生活带来便捷，微信零钱明细显示“”表示微信钱包收入20元，则微信零钱明细显示“”表示微信钱包________． 14．（25-26七年级上·陕西安康·期末）某种牛奶的包装盒上的净含量标识为：“”，表示其标准质量为，上下偏差不超过就符合要求，则生产符合要求的这种牛奶的净含量最小是______________． 15．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）如图，以、、、四人的平均体重为基准，已用条形统计图表示出、、三人的体重（整千克数）． （1）的体重比的体重多_______． （2）平均体重记作，的体重可记作_______． （3）若平均体重是，那么的体重是_______． 16．（23-24七年级上·山东青岛·阶段检测）下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是________，伦敦的时间是________，纽约的时间是________． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面哪对量是具有相反意义的量? （1）在知识竞赛中，得20分和扣10分． （2）一座水库蓄水量增加和减少． （3）一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． （4）长方形的周长是和面积是． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． （1）这里的含义是什么？ （2）请你算出该商品的最高价格和最低价格． （3）如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 20．（24-25七年级上·新疆阿勒泰·阶段检测）已知有A，B，C三个数的“家族”： A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：{2.1，－4.2,8,6}． （1）请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分． （2）把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________. （3）有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $