专题 14.3 角的平分线（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义通过表格系统梳理角平分线知识，将性质、判定、尺规作图按“定理-图示-数学语言”呈现，要点提示强调“距离”“垂直”等易错点，构建清晰逻辑脉络。 亮点是分层题型设计，如利用性质求值、判定证明等6类题型，例题结合变式题培养推理能力与几何直观，同步检测分选择、填空、解答题，助力学生分层提升，教师可实施精准复习教学。

专题 14.3 角的平分线（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】角平分线的性质 1 【知识点二】角平分线的判定 2 【知识点三】尺规作图——作一个角的平分线 2 二.题型精析 2 【题型 1】利用角平分线性质求值 3 【题型 2】利用角平分线性质判断与证明 5 【题型 3】利用角平分线判定求值 9 【题型 4】利用角平分线判定判断证明 11 【题型 5】利用角平分线的性质与判定与尺规作图 15 【题型 6】利用角平分线的性质与判定综合求值证明 17 三.同步检测 21 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 21 （二）填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 29 （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分,共36分） 33 一.知识梳理与解读 【知识点一】角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等 定理 图示 数学语言 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 平分，是上一点，，，则. 【要点提示】（1）“距离” 特指点到直线的垂线段长度，不是点到边上任意一点的斜线段长度；（2）必须同时满足 “在角平分线上”+“向两边作垂线”，才能推出两段距离相等；（3） 数学推理书写规范：先写角平分、再写双垂直，最后得到线段相等。 【知识点二】角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 定理 图示 数学语言 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 是内一点，，，且 ，则平分. 【要点提示】（1）必须有垂直这个前提，仅说点到边上两点距离相等，不能判定在角平分线上；（2） 不能忽略 “角的内部” 这个范围，角外部也存在到两边距离相等的点，但不在这个角的平分线上； （3）用途：用来证明一条射线是角平分线，或证明某个点在角的平分线上。 【知识点三】尺规作图——作一个角的平分线 作法 图示 作法:如右图，已知. （1）以点为圆心,适当长为半径作弧,交于点,交于点; （2）分别以点、为圆心,大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点; (3)作射线,则射线是平分线. 【要点提示】（1）必须有垂直这个前提，仅说点到边上两点距离相等，不能判定在角平分线上；（2） 不能忽略 “角的内部” 这个范围，角外部也存在到两边距离相等的点，但不在这个角的平分线上； （3）用途：用来证明一条射线是角平分线，或证明某个点在角的平分线上。 二.题型精析 【题型 1】利用角平分线性质求值 【例题1】（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，中，，，平分，若的面积为，求的面积． 【答案】 【分析】过点D作于G，作于H，利用角平分线性质可得，再利用三角形面积可得，再根据计算，即可求得答案． 解：如图，过点D作于G，作于H， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】过点D作于点E，首先利用三角形面积求出，然后利用角平分线的性质求解即可． 解：过点D作于点E， ∵，的面积为7， ∴， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，， 平分，于点E．若，则的长为________ 【答案】3 【分析】由角平分线的性质定理可得，由即可得出结果． 解：∵， ∴， ∵，且平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）在平面直角坐标系中有点 （1）若点在y轴上，求M的坐标； （2）点在第二、四象限的角平分线上，求M的坐标． 【答案】（1）；（2） （1）解：由y轴上的点横坐标为零可得，则，此时； （2）解：由角平分线的性质可得第二、四象限的角平分线上的点到坐标轴的距离相等， ∵第二、四象限的横纵坐标异号， ∴第二、四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数， ∴， 解得， ∴． 【题型 2】利用角平分线性质判断与证明 【例题2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ∵是的平分线，点P在上，， ， 在和中， ∴， ∴． 【分析】先根据角平分线的性质证，然后再证，最后根据全等三角形的性质即可求解． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是的高，是的边上的中线，是的角平分线．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高线的定义结合直角三角形的两锐角互余即可判断A选项；根据角平分线的定义可判断B选项；根据中线的定义可判断C选项；根据三角形的面积公式可判断D选项． 解：，是的高，即， ， ，故A选项结论正确，不符合题意； ，是的角平分线， ，故B选项结论正确，不符合题意； 是的边上的中线， ，故C选项结论正确，不符合题意； 和有相等的高，但底边、不一定相等， 不一定等于，故D选项结论错误，符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知，平分，平分，则下列结论：①；②；③；④中一定正确的是_______．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】由，即可判断结论①；结合平分，，得出角相等，可判断结论②；由平分，平分，且，可证得，故可判断结论③；由，可得，判断出当平分时，结论④才正确；综合以上结论，得出正确答案． 解：∵， ∴，故结论①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 即， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， 当平分时，才有，故结论④不一定正确； 综上，一定正确的结论是①②③． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）已知如图，，平分，于点 N，于M， 求 的值． 【答案】 【分析】先根据角平分线得到，继而证明，则，再证明，则，最后根据线段和差证明即可． 解：如图， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由三角形内角和定理得，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【题型 3】利用角平分线判定求值 【例题3】（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1）的度数为；（2）． 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、角平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． （1）由垂直平分线性质得，再由，即可判定平分，进而求得的度数； （2）由垂直平分线性质得，再结合的周长为，的周长为即可得解． 解：（1）解：垂直平分， ， ， ， 又， 平分， ， 即的度数为； （2）解：垂直平分， ， 的周长， 的周长， ， ， 即的长为． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 解：于点，于点，且， 平分， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，已知于点，于点，且，，，则____． 【答案】 【分析】本题考查角平分线定理的判定，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由题意可得，是的平分线，则，根据三角形外角的性质进行计算即可． 解：∵，， 又∵， ∴是的平分线， ∴， ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·内蒙古包头·阶段检测）在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是角平分线的判定、直角三角形的性质，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理求出，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 解：∵，，，， ∴， 在中，，， ∴． 【题型 4】利用角平分线判定判断证明 【例题4】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知：垂足分别为D、E，且相交于点F．求证：平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据得，又因为，证明，结合到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进行作答即可． 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴平分． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．以上都不是 【答案】A 解：∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴点O到三条边的距离相等，则点O在的三个角的平分线上， ∴O为三条角平分线的交点． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，点在线段上，且不与端点重合，分别以、为边作等边和，且点、在同侧，连结、交于点，、分别与、交于点、，有以下四个结论： ①； ②若，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形； ③； ④平分． 以上结论中正确的为_______．（只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识；根据等边三角形的性质可得，，，求出，即可证明，①正确；利用证明和，可得②错误；利用三角形外角的性质可求出，③正确；作于点，作于点，利用全等三角形的性质以及三角形的面积公式求得，即可判断④正确．掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 解：、均为等边三角形， ，，， ∴，即， ，①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理， 图中至少有三对全等三角形，②错误； ∵， ∴， ∴，③正确； 作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，④正确； 综上，正确结论的是①③④， 故答案为：①③④． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． （1）求证：； （2）求证：平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 解：（1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． 【题型 5】利用角平分线的性质与判定与尺规作图 【例题5】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，． （1）画出的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求的度数． 【答案】（1）如图，即为所求． （2） 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，三角形的外角的性质，进行求解即可. 解：（1）略 （2）解：∵，，为的角平分线， ∴． ∴． 【变式1】（2026·四川成都·二模）如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，平分，可得的边上的高与的边上的高相等，则，即可求解． 解：由作图可知，平分， ∴点到、的距离相等，即的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∴． 【变式2】（2026·河北石家庄·二模）如图，已知，点P为上一点，嘉嘉利用尺规进行了作图，作图痕迹如下，并发现，则_________． 【答案】 解：，， ， 由作图痕迹，可知平分， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点D； （2）应用与计算：若，，，求点D到的距离． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）3 【分析】（1）利用尺规作图的基本方法，作的角平分线． （2） 利用角平分线的性质，得点到的距离等于，再通过面积法列方程求解． 解：（1）解：以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，作射线，交于点，即为所求． （2）解：过点作于点， 平分，，， ， 设， ， ， 即， ， 解得， 点到的距离为． 【题型 6】利用角平分线的性质与判定综合求值证明 【例题6】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【答案】证明：过点P分别作，，， 是的角平分线， （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． 同理，． ． 点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P． 【分析】过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线的判定即可得证． 解：略 【变式1】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． 根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，再根据三角形外角的性质，可求，进而，最后根据角平分线的定义，计算即可求解． 解：如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ，， 同理可得，， ， ，， 是的平分线， ， ， ，即 ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·江西南昌·期中）图①、图②、均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，在边上找一点D，连接，使； （2）在图②中，画出的角平分线． 【答案】（1）作图见分析；（2）作图见分析 【分析】本题考查了用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． （1）先由得出点D应为线段的中点，再在网格图中构造一组全等三角形，从而找到点D位置； （2）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，在网格图中构造一组全等三角形，从而确定的角平分线． （1）解：作图如下， （2）解：作图如下， 三.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 解：，， ． ，的平分线交于点D，于点E， ． 2．（2026八年级·全国·专题练习）在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定定理，掌握在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 由题意可知，是的角平分线，结合，角度的和差关系即可求出的度数． 解：如图，∵两个完全一样的三角板， ，， 平分（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）， ， ， ， 故选：D． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）公园内三条小路两两相交，交点分别为点A，B，C，若要在区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭，则凉亭的位置应建在（   ） A．的三条高线的交点 B．的三条角平分线的交点 C．的三条中线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质作图即可解答． 解：如图，分别作，和的角平分线，交于点P， 由角平分线的性质可知，点P到3条小路的距离相等． 故选：B． 4．（2026·北京东城·一模）如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解． 解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，过点E作，交的延长线于点G，证明，进一步结合全等三角形的性质即可得到答案． 解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，计算即可求解． 解：如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ， 同理可得， ， ，， 是的平分线， ． 7．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 8．（2026·北京石景山·二模）如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）． 有以下结论： ①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可证，从而判断①；利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而通过全等三角形证明，从而判断②；分情况讨论，当在的同侧时，根据②的结论得出，证明，得出，进而可得，当在的异侧时，得出，从而判断③． 解：①， ， 平分，平分， ， ， ， 在中， ， ．故①正确； ②过点作于，交于，作于， ， ， 平分，，， ， 同理可得， ， 在和 中， ， ， ．故②正确； ③当在的同侧时由②可得 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 当在的异侧时， ， 同理可得，而， ∴，故③不正确． 综上所述，正确的结论是①②． （2） 填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 9．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，，平分，，，则点D到的距离为______． 【答案】2 解：如图，过点作， ，， ， 平分，， ， 点D到的距离为2． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是______．    【答案】 【分析】利用基本作图得到点P到x轴和y轴的距离相等，则根据角平分线的性质得到，从而得到m、n的数量关系． 解：∵由作图痕迹得点在的平分线上， ∴点到轴和轴的距离相等， ∵，且点在第二象限， ∴， 即． 故答案为：． 【点拨】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 12．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 【答案】/25度 解：由尺规作图可知是的角平分线， ． 13．（15-16八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是外的一点，交的延长线于点，于点，交的延长线于点，连接，，若，，则的度数为__________． 【答案】/32度 【分析】先说明平分，平分，可得．再根据三角形外角的性质得，然后说明，可得答案． 解：∵且， ∴平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， 即． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是_______． 【答案】13 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的应用，正确的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 解：∵平分， ∵， 同理， ∴的周长． 故答案为：13． 16．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等即可得到，结合平分，则，最后在中利用三角形内角和为求解即可． 解： ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分,共36分） 17．（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 【答案】证明：平分， ， 在和中， ， ， ． 【分析】根据角平分线的性质得到，证明，从而得出结论． 解：略 18．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【答案】见分析 【分析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点D作于点F，根据证得，进而证得，根据角平分线定理证明即可． 解：证明：如图，过点D作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分． 19．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． （1）求证：； （2）若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【答案】（1）见分析；（2）3 【分析】（1）过点分别作于点，于点于点，根据角平分线的判定定理得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据即可求解 解：（1）证明：过点分别作于点，于点于点，如图． ，平分， ， 平分， ． ， ， ， ． （2）解：连接，如图． 根据题意，得 ， ， ． 点到三边的距离为3. 20．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）证明，得出，根据角平分线的判定定理，即可解答； （2）证明，即可解答； 解：（1）证明：，． ． 在与中，，，． ． ，． 平分． （2）解：在和中，，， ． ． ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14.3 角的平分线（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】角平分线的性质 1 【知识点二】角平分线的判定 2 【知识点三】尺规作图——作一个角的平分线 2 二.题型精析 2 【题型 1】利用角平分线性质求值 3 【题型 2】利用角平分线性质判断与证明 3 【题型 3】利用角平分线判定求值 4 【题型 4】利用角平分线判定判断证明 5 【题型 5】利用角平分线的性质与判定与尺规作图 7 【题型 6】利用角平分线的性质与判定综合求值证明 8 三.同步检测 9 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 9 （二）填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 11 （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分,共36分） 13 一.知识梳理与解读 【知识点一】角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等 定理 图示 数学语言 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 平分，是上一点，，，则. 【要点提示】（1）“距离” 特指点到直线的垂线段长度，不是点到边上任意一点的斜线段长度；（2）必须同时满足 “在角平分线上”+“向两边作垂线”，才能推出两段距离相等；（3） 数学推理书写规范：先写角平分、再写双垂直，最后得到线段相等。 【知识点二】角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 定理 图示 数学语言 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 是内一点，，，且 ，则平分. 【要点提示】（1）必须有垂直这个前提，仅说点到边上两点距离相等，不能判定在角平分线上；（2） 不能忽略 “角的内部” 这个范围，角外部也存在到两边距离相等的点，但不在这个角的平分线上； （3）用途：用来证明一条射线是角平分线，或证明某个点在角的平分线上。 【知识点三】尺规作图——作一个角的平分线 作法 图示 作法:如右图，已知. （1）以点为圆心,适当长为半径作弧,交于点,交于点; （2）分别以点、为圆心,大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点; (3)作射线,则射线是平分线. 【要点提示】（1）必须有垂直这个前提，仅说点到边上两点距离相等，不能判定在角平分线上；（2） 不能忽略 “角的内部” 这个范围，角外部也存在到两边距离相等的点，但不在这个角的平分线上； （3）用途：用来证明一条射线是角平分线，或证明某个点在角的平分线上。 二.题型精析 【题型 1】利用角平分线性质求值 【例题1】（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，中，，，平分，若的面积为，求的面积． 【变式1】（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，， 平分，于点E．若，则的长为________ 【变式3】（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）在平面直角坐标系中有点 （1）若点在y轴上，求M的坐标； （2）点在第二、四象限的角平分线上，求M的坐标． 【题型 2】利用角平分线性质判断与证明 【例题2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是的高，是的边上的中线，是的角平分线．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知，平分，平分，则下列结论：①；②；③；④中一定正确的是_______．（只填序号） 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）已知如图，，平分，于点 N，于M， 求 的值． 【题型 3】利用角平分线判定求值 【例题3】（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，已知于点，于点，且，，，则____． 【变式3】（24-25八年级下·内蒙古包头·阶段检测）在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 【题型 4】利用角平分线判定判断证明 【例题4】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知：垂足分别为D、E，且相交于点F．求证：平分． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．以上都不是 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，点在线段上，且不与端点重合，分别以、为边作等边和，且点、在同侧，连结、交于点，、分别与、交于点、，有以下四个结论： ①； ②若，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形； ③； ④平分． 以上结论中正确的为_______．（只填写序号） 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． （1）求证：； （2）求证：平分． 【题型 5】利用角平分线的性质与判定与尺规作图 【例题5】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，． （1）画出的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求的度数． 【变式1】（2026·四川成都·二模）如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北石家庄·二模）如图，已知，点P为上一点，嘉嘉利用尺规进行了作图，作图痕迹如下，并发现，则_________． 【变式3】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点D； （2）应用与计算：若，，，求点D到的距离． 【题型 6】利用角平分线的性质与判定综合求值证明 【例题6】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【变式1】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【变式3】（25-26八年级下·江西南昌·期中）图①、图②、均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，在边上找一点D，连接，使； （2）在图②中，画出的角平分线． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026八年级·全国·专题练习）在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ·期中）公园内三条小路两两相交，交点分别为点A，B，C，若要在区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭，则凉亭的位置应建在（   ） A．的三条高线的交点 B．的三条角平分线的交点 C．的三条中线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 4．（2026·北京东城·一模）如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·北京石景山·二模）如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）． 有以下结论： ①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ （2） 填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 9．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，，平分，，，则点D到的距离为______． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 11．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是______．    12．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是外的一点，交的延长线于点，于点，交的延长线于点，连接，，若，，则的度数为__________． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是_______． 16．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分,共36分） 17．（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 18．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 19．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． （1）求证：； （2）若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 20．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $