专题01 二次函数图象性质压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建二次函数压轴突破体系，提炼四步解题流程与八大题型专项方法，强化数形结合与模型迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|4步流程|定解析式→设动点坐标→几何条件代数化→分类检验|从基础运算到数形转化，构建解题思维链| |题型归纳|8题型（含典例+变式）|系数符号判断/区间最值/铅垂高面积法/对称最短路径/存在性代数化/中点法平行四边形/定点定值探究|从性质辨析到动态几何，难度梯度上升，覆盖中考核心考法| |压轴挑战|选择+填空+解答|综合应用通法与技巧，突破高难综合题|整合多知识点，提升复杂问题解决能力|

专题01 二次函数图象性质压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、系数a,b,c符号与图像判断（选择填空压轴） 题型二、区间限定最值问题（高频小压轴） 题型三、面积最值压轴（安徽解答题必考） 题型四、最短路径 题型五、等腰三角形存在性 题型六、直角三角形存在性 题型七、平行四边形存在性（坐标中点法秒杀） 题型八、定点、定值、角度定值探究（拔高压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 步骤1：定解析式（第一小问必拿分） 读题抓取已知点、顶点、交点，匹配三种解析式，待定系数求解；先固定抛物线，再处理动点问题。 步骤2：设动点坐标（压轴核心操作） 抛物线上动点统一设：； 对称轴上动点：固定，设仅一个未知数，大幅简化计算； 直线上动点代入对应直线解析式设元。 步骤3：几何条件代数化（数形结合核心） 把几何要求翻译成方程： 平行四边形：对角线中点重合； 等腰三角形：两边距离平方相等（避开根号简化运算）； 面积最值：铅垂高构建关于的二次函数； 最短路径：将军饮马对称转化两点之间线段最短。 步骤4：分类讨论+检验取舍 等腰、直角三角形、平行四边形存在性必须全分类； 解出根后验证：动点是否在指定区间、三点是否共线、坐标是否符合题意。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、系数a,b,c符号与图像判断（选择填空压轴） 【典例1】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质和各系数表示的意义是解题的关键，根据题意由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，从而判断④，由时y取最大值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，①错误． ∵时，， ∴，②错误． ∵抛物线对称轴为直线，时， ∴时，，③正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，④错误． ∵时y取最大值， ∴，即，⑤正确． 故选：A． 题型模版 1.考法特征：给出抛物线简图，判断等式子正负。 2.易错点：仅凭图像臆断数值大小，忽略对称轴位置限制a、b关系。 【变式1-1】．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数（、、b、c为常数，且）系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图象得：， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①错误； ∵当时，，当时，， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，当时，， ∴当时，，故③错误； ∵当时，，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时， 当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 观察图象得：当时，y随x的增大而减小，故⑥错误； 综上所述：正确的结论有②④⑤；共3个； 故选：A 【变式1-2】．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①；②；③方程的两个根为；④抛物线上有两点和，若且，则 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确； 抛物线对称轴为直线，时，， 时，， ，故②正确； 由可得方程的解，， 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴另一个交点为， 方程的两个根为，6， ，， ， 而若方程的两个根为，， 则，，故③错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且， 则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ，故④错误． 故选：D． 【变式1-3】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：①；②当时，；③；④．其中正确的是 _____（把正确说法的序号都填上）． 【答案】①③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当x取何值时，． 【详解】解：①∵开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴ ， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故正确； ②如图，当时，y不只是大于0．故错误； ③∵对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间， ∴另一个交点的横坐标在0与之间； ∴当时，，故正确； ④∵对称轴， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，故正确； ∴正确的有3个． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，数形结合思想的应用是本题的关键． 题型二、区间限定最值问题（高频小压轴） 【典例2】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线（，是实数且）经过． （1）若，则抛物线的顶点坐标为______． （2）若该二次函数满足当时，总有随的增大而增大，则代数式的最小值为______． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的综合运用，涉及解不等式，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入得到，再把代入求出解析式，配方为顶点式得到顶点坐标即可； （2）得到，代入得到解析式，然后根据题意得到，且，求出n的取值范围为，然后代入得到，根据二次函数的性质求出最小值即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过， ∴，即， 又∵， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由得到， ∴抛物线的解析式为， ∵二次函数满足当时，总有随的增大而增大， ∴，且对称轴， 解得， ∴ ， ∴对称轴为， ∴在对称轴的左侧， ∵开口向上，则当时，随n的增大而减小， 则当时，最小，最小值为 故答案为：． 【变式2-1】．对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数的同值点，已知二次函数． （1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 _____． （2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 _____． 【答案】 ﹣8 m＜﹣3 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据函数的同值点的定义，代入函数解析式即可求得答案； （2）（a，a），（b，b）在直线y＝x上，令＝x，整理得，可得Δ＝＞0，解得m＜1，再设，由a＜1＜b，可得x＝1时，y＝3+m＜0，解得m＜﹣3，即可求解． 【详解】解：（1）∵点（2，2）是此函数的同值点， ∴抛物线经过（2，2）， 将（2，2）代入得2＝4+6+m， 解得m＝﹣8， 故答案为：﹣8． （2）∵（a，a），（b，b）在直线y＝x上， 令＝x， 整理得， ∵函数有两个相异的同值点， ∴Δ＝＞0， 解得m＜1， 设， ∵a＜1＜b， ∴x＝1时，y＝3+m＜0， 解得m＜﹣3， 综上可知，m＜﹣3， 故答案为：m＜﹣3． 【点睛】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，掌握函数与方程的转化． 【变式2-2】．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线 (1)求抛物线的表达式； (2)当时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为2，求q的值． 【答案】(1) (2)6 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质， （1）由抛物线的对称轴是可得，则此题可解； （2）先根据抛物线的性质确定，可知此时，即可求出函数的最大值，再求出方程的解，则此题可解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：∵抛物线中，当时，， 当时，， 当时，不符合题意， ∴， 当时，， ∴函数的最大值是， 即， 解得， ∴， 即当时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为2． 【变式2-3】．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知二次函数（b、c为常数）． (1)当，时，求函数的最小值； (2)当时，函数的最小值为，求b的值； (3)当且时，函数有最小值，求二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题： （1）根据题意得到解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据题意得到解析式，再把解析式化为顶点式求出最小值，再根据最小值为建立方程求解即可； （3）先求出解析式为，则函数开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此分对称轴在直线左侧，在直线右侧，和在直线和之间三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当，时，二次函数解析式为， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∵当时，函数的最小值为， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大， 当，即时，则当时，函数有最小值， ∴， 解得（舍去）； 当，即时，则当时，函数有最小值， ∴， ∴（舍去）； 当，即时，函数的最小值为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，， ∴函数解析式为． 题型三、面积最值压轴（安徽解答题必考） 【典例3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，用长为的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为，窗户的透光面积为．（铝合金条的宽度不计） (1)求出与的函数关系式． (2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【答案】(1)； (2)窗框的长和宽分别为和时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为． 【知识点】列代数式、y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先分析“日”字形窗框的边长组成：3条宽2条长，结合铝合金条总长度，用宽表示出长，再根据长方形面积公式列出与的函数关系式； （2）先判断二次函数的开口方向，再利用二次函数顶点坐标公式求出宽的取值，进而算出长，最后代入函数式求出最大面积． 【详解】（1）解：“日”字形窗框由条宽（均为）和条长组成，铝合金条总长为， 长，解得长为， 由宽和长，解得， 透光面积． 答：． （2）解：由（1）可知：和是二次函数关系，且， 故函数有最大值， 当时，长为， ． 答：窗框的长和宽分别为和时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为． 题型模版 1.易错点：铅垂高上下顺序写反符号、忘记自变量取值范围导致最值取错。 【变式3-1】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线G：与直线l：交于两点． (1)求b，c的值以及抛物线的顶点坐标； (2)若C为直线l下方抛物线上一点，当面积最大时，求C点的坐标； (3)平移抛物线G得到新抛物线M，新抛物线M的顶点始终在原抛物线G上，直线l与抛物线M相交于P、Q两点，当点B恰好为线段的中点时，请写出抛物线G到抛物线M的平移方式． 【答案】(1)； (2) (3)将抛物线G先向右平移3个单位长度，再向上平移9个单位长度即可得到抛物线M 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，则可求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式中，求出抛物线的解析式，再把抛物线的解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）过点C作轴，交直线l于点T，设，则，可得，则，据此可得答案； （3）设抛物线M的解析式为联立得，则，根据中点坐标公式得到，解得，据此可得答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得， ∴， ∴直线l的解析式为， 把点B的坐标代入得， ∴， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：如图所示，过点C作轴，交直线l于点T， 由（1）可得直线l的解析式为， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时，即点C的坐标为； （3）解：∵抛物线M的顶点始终在抛物线G上 ∴可设抛物线M的解析式为 联立得， ∴， 又∵为线段的中点， ∴ ∴， ∴ ∴抛物线M的解析式为 又∵抛物线G的解析式为 ∴将抛物线G先向右平移3个单位长度，再向上平移9个单位长度即可得到抛物线M． 【变式3-2】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，先求出点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据（1）中的二次函数表达式，求出点的坐标，结合、两点利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，易得，根据的长度表达式计算出的最大值，由此即可得出四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴点的坐标为， 将点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为． 将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：过点作轴，交于点，如下图所示： 由（2）知， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 【变式3-3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； (3)若为抛物线的顶点，直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)9 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的最值，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据在函数图象上，得到，根据到y轴的距离不大于2，得到，根据二次函数的性质，求出最大值和最小值，作差即可； （3）可得，必过，不妨设，连接，则轴，则，联立直线与抛物线表达式可得，那么，再由求解最值即可． 【详解】（1）解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）可知：， ∵函数图象上有一点到y轴的距离不大于2， ∴，， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，的值最小为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，的值最大为， ∴的最大值与最小值的差为； （3）解：∵    ∴ ∵   故直线必过， 不妨设 连接，则轴， ∴ 联立，得： 故 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 故面积的最小值为． 题型四、最短路径 【典例4】．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用二次函数对称性求最短路径、用勾股定理解三角形 【分析】根据抛物线，得对称轴是直线，得出点坐标为，将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长，可得，，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：． 抛物线的对称轴是直线． 点关于对称轴直线的对称点为． 当时，， 点坐标为， 将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长， ，， ，即的最小值为． 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型模版 1. 两定一动（对称轴上动点） 两点在抛物线同侧，作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点，连线与对称轴交点即为所求，线段长为最小值。 2. 两动一定、周长最小：两次对称转化折线为直线。 【变式4-1】．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 【变式4-2】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)点在该函数图象上（其中），求的值； (3)在（2）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用二次函数对称性求最短路径、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入二次函数的解析式，即可求解； （3）作点关于对称轴的对称点,连接与对称轴的交点为所求点, 本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点和点代入二次函数表达式， 得 解得：，， 该二次函数的表达式为：． （2）解：∵点在函数图像上， ， 则或， ， 的值为：6． （3）解：如图，由（2）可知点，对称轴为 作点关于对称轴的对称点,连接与对称轴的交点为， 设直线的解析式为， 把点，,代入得， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 则， 所以当点时，最小． 【变式4-3】．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为      (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、利用二次函数对称性求最短路径 【分析】（1），首先把点B的坐标为代入解析式，利用待定系数法求出m的值，从而求出抛物线顶点坐标； （2），首先连接交抛物线的对称轴l于点P，此时的值最小，然后利用待定系数法求得的解析式，继而求得答案. 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，      令，则，解得： ∴，， 当时，， ∴ 设直线的解析式为，带入得 ，解得：， ∴， 当时，， ∴点P的坐标为 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题，解答本题的关键是主要找到点P的位置 题型五、等腰三角形存在性 【典例5】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为__________； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为__________． 【答案】 或． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识． （1）二次函数的图象经过点，得到，即可得到； （2）求出点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，得到，，，分三种情况进行讨论即可进行解答． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为： （2）当时，， ∵， ∴， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴，，， 则， 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 综上可知，a的值为或． 故答案为：或． 题型模版 1.技巧：两边平方相等列方程，消去根号；解完检验三点不共线。 2.易错点：只讨论一类、两类，漏解。 【变式5-1】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知点在抛物线上． (1)求m的值； (2)在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形性质，分类讨论，熟练掌握是解题的关键．分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。（1）可将点代入抛物线中，可得到m的值；（2）假设存在点P，接下来根据是等腰三角形分情况讨论即可求解. 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴． （2）解：存在． ∵， ∴． ∴． ∵是等腰三角形， ∴当时， ∴． 当时， ∵点A在第一象限平分线上， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 当时，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点P的坐标为或或或． 【变式5-2】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求此时点P的坐标； (3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，从而即可求出直线的表达式为， 设点，则，，表示出，．再根据，得出方程，求解即可； （3）设点，分两种情况：当时，；当时，过点C作于点H，则有，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得． ∴该抛物线的表达为； （2）解：由（1）得：抛物线的表达式为． 当时，，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 代入和，得． 解得． ∴直线的表达式为， 设点，则，． ∴，． ∵， ∴， 整理，得，解得，（舍去）． 当时，． ∴点P的坐标为； （3）解：∵，， ∴． ∴． ∵轴， ∴轴． ∴． 由（2）知直线的表达式为， 设点． 如答图1．当时，． ∴，即，解得，（舍去）． ∴此时； 如答图2，当时，过点C作于点H，则有， ∴，解得，（舍去）． ∴此时． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合——线段问题，二次函数综合——特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式5-3】．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 题型六、直角三角形存在性 【典例6】．（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，特殊三角形问题； （1）将点代入解析式得出，进而化为顶点式，即可求解； （2）①根据解析式，得出抛物线与轴的交点的坐标为，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点，根据建立方程，即可求解． ②由①得点的坐标为，点的坐标为．勾股定理分别求得，根据为直角三角形，分类讨论，利用勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， ， ， 顶点的坐标为． （2）①当时，， 抛物线与轴的交点的坐标为． 如图所示，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点， 设直线的表达式为， 把，代入 得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， ， ， 解得； ②由①得点的坐标为，点的坐标为． ， ，， 为直角三角形， 分以下几种情况： 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得，此方程无实数解； 综上，点的坐标为或． 【典例7】．（24-25九年级·安徽安庆·阶段检测）已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为 (2)存在点， (3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意得：，再将代入，求解即可；设直线的解析式为，把，代入，然后解方程组即可； （2）连接，，则，当、、三点共线时，有最大值，延长交对称轴于点，，解方程得到，设直线的解析式为，得到直线解析式为，当时，求出的值即可； （3）根据题意对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，， ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）存在点，连接，，则， 当、、三点共线时，有最大值， 延长交对称轴于点，则， ∵二次函数的图像与轴交于，， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点，使是直角三角形， ∵点对称轴上， 设， ∵，， ∴，，， ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，， ∴， 解得：或， 点坐标为或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【典例8】．（2024·安徽安庆·一模）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可； ②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入解析式，得： ，解得：； ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 设的解析式为，把代入，得：， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为； ②∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴ 设点，则：， ∴， 当点为直角顶点时，则：， ∴， 解得：（舍去），或； ∴或 当点为直角顶点时：， ∴， 解得：（舍），（舍），或； ∴或； 综上：或或或． 【变式6-1】．（23-24九年级·安徽芜湖·自主招生） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点P作垂直y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接，当线段的长度最短时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标是或 (3)点P的坐标是或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）将，两点代入列方程计算即可； （2）分、两种情况，分别求解即可； （3）为矩形，则，，据此计算最小值即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在． 理由：如图所示： ①当时，设直线交轴于点，则 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． ∵联立， 解得（舍去）， ∴． ②当时，设直线交轴于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． ∵联立， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，P的坐标是或． （3）解：如图2所示：连接． ∵， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． 设点，则点 则， ∵，故有最小值，此时， 即点， 将代入得到：， 解得， 故点P的坐标是或． 【变式6-2】．已知抛物线经过，，三点，与y轴交于点E (1)求这个抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在点P使的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)设点Q在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为，，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当三点共线时，的值最小，此时得的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点； （3）设，而， 可得，再由直角三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：将，，代入， ， 解得， ； （2）解：存在点P，使得的周长最小， 理由如下：如图，连接，交对称轴于， 令，则， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ， ∴当三点共线时，的值最小，长度固定不变，此时得的周长最小， 设直线的解析式为， 则，解得， ， ∴当时，， ． （3）解：存在点，使得为直角三角形， 理由如下：设，而， ， 当时，，解得， 或； 当时，，解得， ； 当时，，解得， ； 综上所述：点坐标为，，，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 【变式6-3】．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线的函数关系式为：或． 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，据此即可求解； （3）设点的坐标为，求得，，，分点在轴上方和点在轴下方，利用勾股定理列式，求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）解：假设存在，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． 【变式6-4】．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：平分； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)． (2) 证明：令，则， ， ，， ， 又，， ， ， ， 平分． (3)当为直角三角形时，M的坐标为或． 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）本题用待定系数法求二次函数解析式，将，两点代入求解，即可解题． （2）本题根据抛物线的表达式得到点C的坐标，利用勾股定理求得的长，结合，得到，推出，，以及，推出，最后利用等量代换即可解题． （3）本题利用、求得对称轴，根据是以为直角边的直角三角形，分别过点B作交对称轴于和过点A作交对称轴于，先求出直线解析式，根据垂直得到直线解析式和直线解析式，将代入上述解析式，即可解题． 【详解】（1）解：将，两点代入中， 有，解得， 抛物线的表达式为：． （2）略 （3）解：存在，理由如下： ，， 对称轴为直线， 过点B作交对称轴于， 设直线解析式为，则得，解得， 直线解析式为， 设直线为， ， ， ． 当时，， ； 过点A作交对称轴于， 设直线为，则得， ， ． 当时，， ； 当为直角三角形时，M的坐标为或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形性质、平行线的性质、勾股定理、角平分线的判定、二次函数与一次函数综合、一次函数互相垂直，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用分类讨论思想与数形结合思想是解题的关键． 题型七、平行四边形存在性（坐标中点法秒杀） 【典例9】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（），连接、、、． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当的面积等于的面积的4倍时，求m的值． (3)当时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将点，代入，即可求解析式； （2）过点作轴交于点，求出的直线解析式，设，则，根据列方程即可求的值； （3）设，，分三种情况讨论：①当和为平行四边形对角线时；②当和为平行四边形的对角线时；③当和为平行四边形的对角线时，因为平行四边形对角线互相平分，所以对角线中点重合，根据中点公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， ， ， ； （2）解：令，则， ， ， ， ， ， 的面积是的面积的4倍， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为，代入 ， ， ， ，则， ， ， ， 即 ， （3）解：存在点使得以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ， 设，， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴对角线中点重合， ①当和为平行四边形对角线时， 此时， 或， 或（舍去）； ②当和为平行四边形的对角线时， 此时， 或， 或（舍去）； ③当和为平行四边形的对角线时， 此时， 或， 或； 综上所述：点的坐标为或或或． 【变式7-1】．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点，设点D的横坐标为m． （1）连接则的最大面积为________； （2）当时，在平面内存在点M，使以为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐标________． 【答案】 或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线和直线解析式，设，，则，故，进而求解即可； （2）分别以、、为平行四边形对角线进行求解即可． 【详解】解：，， ， 将，代入得， ， 解得， ， 当时，，即； 设直线解析式为， ，解得， ， 设，， ， ， ，开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为：； （2）， ， 设， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ； 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 【变式7-2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点，的坐标分别为，，对称轴交轴于点，点为顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方一点，且，求直线的解析式； (3)点是抛物线上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)直线解析式为； (3)点的坐标为． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数应用——面积问题，二次函数与平行四边形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点，代入解析式即可求解； （）先求出直线解析式为，顶点，根据点是直线上方一点，且，则有点在过点且平行的平行线上，即，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线解析式为且过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 由， ∴顶点， 如图， ∵点是直线上方一点，且， ∴点在过点且平行的平行线上，即， 设直线解析式为且过， ∴，解得， ∴直线解析式为； （3）解：如图，设， 由， ∴， ∵，的坐标分别为，， ∴当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，在抛物线上，符合题意； 当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，不在抛物线上，不符合题意； 当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，不在抛物线上，不符合题意； ∴当以为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为． 【变式7-3】．（2025·安徽合肥·二模）如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将、的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将点横坐标代入抛物线的解析式中. （2）的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设点的横坐标为，用分别表示出、的纵坐标，即可得到关于 的长、的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值. （3）存在.如图，设抛物线与的交点为，由题意，可知 轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可. 【详解】（1）解：将代入，得到，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）将点的横坐标代入，得， ∴， 设直线的解析式为， 把分别代入，得，解得：， ∴直线的函数解析式是， 设点的横坐标为，则、的坐标分别为：， ∵点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； （3）存在．满足条件的点的坐标为或或或． 理由：如图，设抛物线与轴的交点为，由题意得， ∵， ∴轴，， 当点与点重合时， ①当是平行四边形的边时，即 ，则， 得， ②当是平行四边形的对角线时，即，则得， 当点在轴的上方时，令，解得， ∴， 由平移的性质可知， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的定义，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数与一次函数交点求线段的最值问题，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用． 题型八、定点、定值、角度定值探究（拔高压轴） 【典例10】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（A，B与原点都不重合）． （ⅰ）若，且，比较与的大小； （ⅱ）当时，若是一个与无关的定值，求a与b的值． 【答案】(1)对称轴是直线 (2)；， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； （ⅱ）将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再根据是一个与无关的定值，即可求出系数的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得，，即， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：（ⅰ）由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． （ⅱ）由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合， 所以，． 故，即． ∴． 依题意知，是与无关的定值． 则， 解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． ∴，． 【典例11】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线（为常数）的对称轴与抛物线的对称轴是同一条直线． (1)求的值； (2)若点是抛物线上的动点，随着点的移动，点（，，为常数，且）恰好在抛物线上运动． （i）求的值； （ii）过作直线，直线对应的一次函数解析式为，随着点的移动，直线过一个定点，求定点坐标． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数的性质、利用待定系数法求解一次函数的解析式，熟练的运用参数解题的能力是解本题的关键． （1）根据二次函数图象对称轴建立方程求解即可； （2）（i）根据题意可得，②，联立方程，得到对于任意的，都成立，进而得到，求解即可；（ii）由题意得，得到，进而求出直线解析式为，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：（i）点是抛物线上的动点， ， 点是抛物线上的动点， ②， ①代入②，得：， 则， 为动点， 为变量， 对于任意的，都成立， ， 又 ； （ii）由题意得在直线上， ， ④③，得， 则， 直线解析式为，即， 直线过定点． 【典例12】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，设，然后根据列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：如图，连接，设， 当，则， 解得，， ∴， ∴． ∵， ∴． ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积取得最大值； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 综上，当时，点P的坐标为或． 题型模版 1. 直线过定点：解析式整理为含参数k的式子，令参数系数为0求解固定坐标； 2. 线段长度定值、角度不变：联立抛物线与直线，韦达定理x1+x2、x1x2整体代换化简； 3. 角度相等、角平分线：斜率相等、对称、三角函数正切值相等列式。 【变式8-1】．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性及对称轴求出、的坐标，再求出的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）利用角平分线及构造全等三角形，求出点坐标，即可求出直线解析式，联立二次函数即可求解； （3）设，求出直线和直线的解析式，当时，求出和，表示出，利用恒为定值即可求解． 【详解】（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，    ∵的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得， 解得：，， 当时，， 则； （3）解：设， 由，， 设直线解析式为：， 则， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则， 解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 【变式8-2】．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移（）个单位，得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式：_____（用含t的式子表示）； (2)如图1，抛物线的顶点为M，抛物线与直线交于A，B两点，连接，，若为等边三角形，求t的值； (3)如图2，在（2）的条件下，一次函数（）与抛物线交于C，D两点，过点C的直线交抛物线于另一点E．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)t的值为1 (3) 证明：由（2）可知， ∴的解析式为：， 如图，由：， 联立与抛物线得：， ∴， ∴①，②； 由：； 联立与抛物线得： ， ∴③，   设为：， 联立与抛物线得：， ， ∴④，⑤， ∴①②得：⑥， 由③得⑦， 将⑦代入⑥中， ∴， 化简得⑧， 将④⑤代入⑧中，得， 化简得， ∴； ∴当时，y恒等于， ∴直线恒过定点． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的平移，二次函数的图象与性质； （1）根据平移求出解析式为，即可得到顶点M的坐标为； （2）过点M作于H，由M的，可得，再求出，根据为等边三角形，，得到，，代入解方程即可． （3）设：，联立与抛物线得①；②；由：，联立与抛物线得③，设为：，联立与抛物线得④，⑤，通过消元整理化简得，，当时，y恒等于，直线恒过定点． 【详解】（1）解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移个单位，得到抛物线为：， 顶点M的坐标为； （2）解：如图，过点M作于H， 由M的，可得， 又联立， ∴，， 解得，， ∴ ∵为等边三角形，， ∴，， ∴，即 解得，， ∵， ∴， 即t的值为1； （3）略 【变式8-3】．（25-26九年级上·安徽铜陵·期末）如图，二次函数与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)请求出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，则直线必过定点的坐标为________（请直接写出答案） 【答案】(1)，， (2)或 (3)． 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）求出时x的值可得点A和点B的坐标，求出时y的值可得点C的坐标； （2）把解析式化为顶点式得到点D的坐标，当点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ，由抛物线的对称性可得，，证明得，求出直线的解析式为，联立，求解即可；当点在轴下方时，同理可求得直线的解析式为，联立：，求解即可； （3）设，求出直线，同理可得，直线的解析式为，直线的解析式为，因为直线经过定点，得到，求出直线解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得或， 当时，， ，，； （2）解：∵， ∴顶点的坐标为， ①当点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点， ，，， ，， 由抛物线的对称性可得， ， ， ， 又∵， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为（），将、两点坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为； ②点在轴下方时， 同理可求得直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设，，， 设直线的解析式为， 联立得， 由根与系数关系可知，， 直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， 直线的解析式为， ，即， 直线经过定点， ， 整理得， 将代入中，得， 整理得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 【变式8-4】．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解； （）由二次函数解析式可得，进而得到，即得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，即得到，求出的值即可求解； （）设直线交轴于，可证，得到，得到，即得直线解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（）得抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，设直线交轴于， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得或， ∵点是直线上方的抛物线上一动点， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 【详解】解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 2．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”的定义是解题的关键．把抛物线三角形系数代入抛物线，令，求出与轴的交点为，，再求出顶点坐标，然后根据等腰直角三角形的斜边上的高线等于斜边的一半列出方程求解即可得到b的值． 【详解】解：∵抛物线三角形系数为， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点为，， ∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形， ∴， ∴或， ∵时，抛物线与x轴只有一个交点， ∴不符合题意， ∴或， 故选：A． 3．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质， 用交点式确定函数表达式，然后分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； 【详解】解：根据题意得：； 故二次函数表达式为：； 当时，， ∴， ①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； 故选：C 4．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数的值等于；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合系数和图象，正确判断各结论是解题的关键． 先从函数图象上得到一些信息，确定出函数与系数的关系，然后再对各个结论进行判断． 【详解】解：根据函数图象得：，，与x轴交于，两点，对称轴为直线； ， ①，正确； ②当或时，函数的值等于，正确 ∵图象过点， ， ， ，③错误； ④∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ， ，故④错误； 所以正确结论有个． 5．已知抛物线（，，为常数，）与轴的一个交点位于点和之间，顶点的坐标为．有下列结论： ①； ②对于任意实数，都有； ③； ④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等腰直角三角形，则． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】由该二次函数的图象开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴，可知，，且，进而可得，易得，故①正确；由顶点的坐标为，易得当时，取最大值，进而可知当时，，则有，进一步可得，故②不正确；由二次函数的部分图象与x轴的一个交点位于和之间，可知当时，可有，结合可得，进一步可得，故③正确；根据二次函数对称性得到，若是等腰直角三角形，则，设该二次函数图象的对称轴交轴于点，则，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，记的横坐标分别为，可得，当时，可得，进一步可得，，进而根据完全平方公式得到，即，根据顶点的坐标为得到，即，得到，求解后根据得到，即可得到，故④正确． 【详解】解：∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴， ∴，，且， ∴， ∴，故①正确； ∵顶点的坐标为， ∴当时，取最大值， 当时，， ∴， ∴，故②不正确； ∵二次函数的部分图象与x轴的一个交点位于和之间， ∴当时，可有， 又∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为二次函数顶点，、为抛物线与轴的交点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 如图，是等腰直角三角形，，设该二次函数图象的对称轴交轴于点， 则，，，， 记的横坐标分别为， ∴， 当时，可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顶点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得或， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽铜陵·期末）已知抛物线（）的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若，（）为方程的两个根，且；以上说法正确的有________ 【答案】②③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用抛物线的开口方向、对称轴的位置、抛物线与轴交点的位置即可判断，，的符号；根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点坐标可算出另一个交点的坐标为，则当时，根据函数图象即可判断；利用二次函数的性质即可判断，的大小关系；把，看作二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图象即可判断，的取值范围． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ∴， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点的坐标为， 抛物线与轴的另一个交点的坐标为， 当时，， ，故②正确； 抛物线开口向下， 离对称轴越近，函数值越大， ， ，故③正确； ，为方程的两个根， ，可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ，故④正确． 说法正确的有②③④． 故答案为：②③④． 7．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，M是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线的对称轴上存在2个不同的点M，使为直角三角形，则的值（或范围）是 _________ ． 【答案】或或或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】分三种情况讨论直角顶点位置，直角顶点为O和A时各对应1个符合条件的点M，直角顶点为M时M在以为直径的圆上，总共有2个不同点M说明圆与对称轴无交点，根据圆心到对称轴的距离大于半径列不等式求解即可． 【详解】解：为直角三角形，分三种情况讨论： 当时，，点M在定直线上，抛物线对称轴为竖直直线，因此定直线与对称轴有且仅有1个交点； 当时，，同理，点M所在定直线与对称轴有且仅有1个交点； 当时，由圆周角定理可知，点M在以为直径的圆上，设圆心为，则为的中点， 已知，，则的坐标为，由勾股定理得，因此圆的半径。 抛物线的对称轴为直线， 设，则对称轴为， 圆心到对称轴的距离， 若满足条件的点共有2个不同的点，则圆与对称轴无交点，即， 因此，即， 得或， 解得或， 即或， 当对称轴过点时, 则的对称轴为：， 则， 当对称轴过点时, 则的对称轴为：， 则， 故答案为或或或． 8．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线交于点E，点P在抛物线上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】或或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与四边形综合，二次函数的性质，平行四边形的性质，先求得点和点的坐标，再分类讨论，为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，这三种情况，分别解答即可． 【详解】解：令， 解得， 点A在点B左侧， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， 设，， 若为平行四边形的对角线时，， 解得， 或； 若为平行四边形的对角线时，， 解得， 或； 若为平行四边形的对角线时，， 解得， ， 综上，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点C关于抛物线对称轴的对称点为P，连接，．    （1）点P的坐标为__________． （2）若点M在PC的垂直平分线上，且在第一象限内，当是等腰直角三角形时，点M的坐标为__________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意可得点A、B、C的坐标，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （2）设抛物线的对称轴与，x轴分别交于点E，D，由题意易得点M的横坐标为1，然后可证，进而问题可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的函数解析式为， 令，解得，；令，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． ∵抛物线的对称轴为直线，点C的坐标为， ∴点P的坐标为， 故答案为； （2）∵的垂直平分线为抛物线的对称轴， ∴点M的横坐标为1． 如图，设抛物线的对称轴与，x轴分别交于点E，D，    ∴． 当是等腰直角三角形时，且只有以点M为直角顶点时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为________； （2）点为抛物线上一点，且以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积，则点的坐标为________． 【答案】 或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质并求出二次函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）将点代入抛物线解析式 可得：， 解得：， 则拋物线解析式为：． 故答案为： （2）设点P的坐标为， ∵，， ∴， ∵以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积， ∴ 则或， 解得，， 当时，与重合，故舍去， ∴点的坐标为或或 三、解答题 11．已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为8，求a的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、利用二次函数对称性求最短路径、用勾股定理解三角形 【分析】(1)①将点代入即可求解a；②由抛物线的解析式求出点C的坐标，对称轴和点B的坐标，利用勾股定理求出最小值即可； (2)根据抛物线的对称轴为直线，分三种情况进行求解：当时，当时，当时，分时和时两种情况求解a即可． 【详解】（1）解：①将点代入，得 ，解得； ②由①得， 令，则，故点C的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 令，则， 解得，， 故点B的坐标为， 设与x轴的另一个交点为， 则， ， 的最小值为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，当时，， 当时，， ， 解得； 当时，当时，， 当时，， ， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，二次函数的最值，抛物线与x轴交点的相关知识，求出抛物线解析式是解答关键． 12．已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 13．已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为，连接，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数对称性求最短路径、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，根据，构建二次函数的最值确定点的坐标，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长，再根据两点之间的距离公式求解即可； （3）利用二次函数的平移规律求出平移后的抛物线的解析式和点的坐标，分两种情况讨论：若点在的下方时，若点在的上方时，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为，通过证明，求得点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，再与抛物线的解析式联立确定交点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点和代入中得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ，解得， ， 设，则，其中， ， ， ， 当时，的面积取得最大值，此时点的坐标为， 对于抛物线， 对称轴为直线， 如图，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长， ，， ，， ， 即的最小值为； （3）解：将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为， ，， 若点在的下方时， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 若点在的上方时， 如图所示，过点作交于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 综上所述，点的坐标为或． 14．（24-25九年级·安徽淮南·期中）如图，平面直角坐标系中有一抛物线，它过点，，点在第四象限内，点的横坐标为1，点为直线下方的抛物线上一点，轴上一点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)上有一点，点的纵坐标和点的纵坐标相同，点的坐标为多少时的长度最大； (3)在的下方的抛物线上是否存在一点，使，若存在，写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点的坐标为 (2)当时，的最大值为 (3)存在，横坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，然后将代入即可求出点的坐标； （2）首先求出直线的解析式为，设，点，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设点的坐标为，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点 代入解析式，得 解得， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为1， 把代入，得， 点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为，由题意得： 解得 直线的解析式为． 设， 点的纵坐标为， 把代入得， 点， 点为直线下方的抛物线上一动点， 当时，的最大值为； （3）解：设点的坐标为， ， ． ， ． 点的坐标为，点， ， ， 解方程得， 点的横坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，解直角三角形等知识，会利用数形结合思想是解答的关键． 15．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若此函数图象上有一点到y轴的距离不大于2，求t的最大值与最小值之差； (3)若M为线段的中点，N为抛物线的顶点，直线交抛物线于D，E两点，直线交x轴于点P，直线交x轴于点Q．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)是定值， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的最值，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据在函数图象上，得到，根据到y轴的距离不大于2，得到，根据二次函数的性质，求出最大值和最小值，作差即可； （3）设，，求出，根据题意求出，，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）由（1）可知：， ∵函数图象上有一点到y轴的距离不大于2， ∴，， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，的值最小为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，的值最大为， ∴的最大值与最小值的差为； （3）解：的值为定值， 为抛物线上两点， 设，， 为直线与抛物线的交点， 联立得：， 得：， ， 为抛物线的顶点， ， ， 设的解析式为， 把代入，得为 ， 解得， ∴， 直线交轴于点， 令，得，解得， ， ， 同法可得的解析式：， 令，得，解得， ， 为线段的中点， ， ， ， ， 故的值为定值，为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数图象性质压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、系数a,b,c符号与图像判断（选择填空压轴） 题型二、区间限定最值问题（高频小压轴） 题型三、面积最值压轴（安徽解答题必考） 题型四、最短路径 题型五、等腰三角形存在性 题型六、直角三角形存在性 题型七、平行四边形存在性（坐标中点法秒杀） 题型八、定点、定值、角度定值探究（拔高压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 步骤1：定解析式（第一小问必拿分） 读题抓取已知点、顶点、交点，匹配三种解析式，待定系数求解；先固定抛物线，再处理动点问题。 步骤2：设动点坐标（压轴核心操作） 抛物线上动点统一设：； 对称轴上动点：固定，设仅一个未知数，大幅简化计算； 直线上动点代入对应直线解析式设元。 步骤3：几何条件代数化（数形结合核心） 把几何要求翻译成方程： 平行四边形：对角线中点重合； 等腰三角形：两边距离平方相等（避开根号简化运算）； 面积最值：铅垂高构建关于的二次函数； 最短路径：将军饮马对称转化两点之间线段最短。 步骤4：分类讨论+检验取舍 等腰、直角三角形、平行四边形存在性必须全分类； 解出根后验证：动点是否在指定区间、三点是否共线、坐标是否符合题意。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、系数a,b,c符号与图像判断（选择填空压轴） 【典例1】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型模版 1.考法特征：给出抛物线简图，判断等式子正负。 2.易错点：仅凭图像臆断数值大小，忽略对称轴位置限制a、b关系。 【变式1-1】．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①；②；③方程的两个根为；④抛物线上有两点和，若且，则 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-3】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：①；②当时，；③；④．其中正确的是 _____（把正确说法的序号都填上）． 题型二、区间限定最值问题（高频小压轴） 【典例2】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线（，是实数且）经过． （1）若，则抛物线的顶点坐标为______． （2）若该二次函数满足当时，总有随的增大而增大，则代数式的最小值为______． 【变式2-1】．对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数的同值点，已知二次函数． （1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 _____． （2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 _____． 【变式2-2】．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线 (1)求抛物线的表达式； (2)当时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为2，求q的值． 【变式2-3】．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知二次函数（b、c为常数）． (1)当，时，求函数的最小值； (2)当时，函数的最小值为，求b的值； (3)当且时，函数有最小值，求二次函数的解析式． 题型三、面积最值压轴（安徽解答题必考） 【典例3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，用长为的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为，窗户的透光面积为．（铝合金条的宽度不计） (1)求出与的函数关系式． (2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 题型模版 1.易错点：铅垂高上下顺序写反符号、忘记自变量取值范围导致最值取错。 【变式3-1】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线G：与直线l：交于两点． (1)求b，c的值以及抛物线的顶点坐标； (2)若C为直线l下方抛物线上一点，当面积最大时，求C点的坐标； (3)平移抛物线G得到新抛物线M，新抛物线M的顶点始终在原抛物线G上，直线l与抛物线M相交于P、Q两点，当点B恰好为线段的中点时，请写出抛物线G到抛物线M的平移方式． 【变式3-2】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【变式3-3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； (3)若为抛物线的顶点，直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 题型四、最短路径 【典例4】．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型模版 1. 两定一动（对称轴上动点） 两点在抛物线同侧，作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点，连线与对称轴交点即为所求，线段长为最小值。 2. 两动一定、周长最小：两次对称转化折线为直线。 【变式4-1】．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)点在该函数图象上（其中），求的值； (3)在（2）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为      (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 题型五、等腰三角形存在性 【典例5】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为__________； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为__________． 题型模版 1.技巧：两边平方相等列方程，消去根号；解完检验三点不共线。 2.易错点：只讨论一类、两类，漏解。 【变式5-1】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知点在抛物线上． (1)求m的值； (2)在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求此时点P的坐标； (3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【变式5-3】．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 题型六、直角三角形存在性 【典例6】．（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 【典例7】．（24-25九年级·安徽安庆·阶段检测）已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【典例8】．（2024·安徽安庆·一模）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【变式6-1】．（23-24九年级·安徽芜湖·自主招生） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点P作垂直y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接，当线段的长度最短时，求出点P的坐标． 【变式6-2】．已知抛物线经过，，三点，与y轴交于点E (1)求这个抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在点P使的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)设点Q在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 【变式6-3】．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【变式6-4】．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：平分； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 题型七、平行四边形存在性（坐标中点法秒杀） 【典例9】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（），连接、、、． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当的面积等于的面积的4倍时，求m的值． (3)当时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点，设点D的横坐标为m． （1）连接则的最大面积为________； （2）当时，在平面内存在点M，使以为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐标________． 【变式7-2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点，的坐标分别为，，对称轴交轴于点，点为顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方一点，且，求直线的解析式； (3)点是抛物线上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【变式7-3】．（2025·安徽合肥·二模）如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型八、定点、定值、角度定值探究（拔高压轴） 【典例10】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（A，B与原点都不重合）． （ⅰ）若，且，比较与的大小； （ⅱ）当时，若是一个与无关的定值，求a与b的值． 【典例11】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线（为常数）的对称轴与抛物线的对称轴是同一条直线． (1)求的值； (2)若点是抛物线上的动点，随着点的移动，点（，，为常数，且）恰好在抛物线上运动． （i）求的值； （ii）过作直线，直线对应的一次函数解析式为，随着点的移动，直线过一个定点，求定点坐标． 【典例12】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 题型模版 1. 直线过定点：解析式整理为含参数k的式子，令参数系数为0求解固定坐标； 2. 线段长度定值、角度不变：联立抛物线与直线，韦达定理x1+x2、x1x2整体代换化简； 3. 角度相等、角平分线：斜率相等、对称、三角函数正切值相等列式。 【变式8-1】．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【变式8-2】．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移（）个单位，得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式：_____（用含t的式子表示）； (2)如图1，抛物线的顶点为M，抛物线与直线交于A，B两点，连接，，若为等边三角形，求t的值； (3)如图2，在（2）的条件下，一次函数（）与抛物线交于C，D两点，过点C的直线交抛物线于另一点E．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【变式8-3】．（25-26九年级上·安徽铜陵·期末）如图，二次函数与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)请求出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，则直线必过定点的坐标为________（请直接写出答案） 【变式8-4】．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 2．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（    ） A． B． C．2 D．3 3．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数的值等于；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知抛物线（，，为常数，）与轴的一个交点位于点和之间，顶点的坐标为．有下列结论： ①； ②对于任意实数，都有； ③； ④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等腰直角三角形，则． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽铜陵·期末）已知抛物线（）的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若，（）为方程的两个根，且；以上说法正确的有________ 7．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，M是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线的对称轴上存在2个不同的点M，使为直角三角形，则的值（或范围）是 _________ ． 8．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线交于点E，点P在抛物线上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点C关于抛物线对称轴的对称点为P，连接，．    （1）点P的坐标为__________． （2）若点M在PC的垂直平分线上，且在第一象限内，当是等腰直角三角形时，点M的坐标为__________． 10．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为________； （2）点为抛物线上一点，且以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积，则点的坐标为________． 三、解答题 11．已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为8，求a的值． 12．已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 13．已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为，连接，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 14．（24-25九年级·安徽淮南·期中）如图，平面直角坐标系中有一抛物线，它过点，，点在第四象限内，点的横坐标为1，点为直线下方的抛物线上一点，轴上一点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)上有一点，点的纵坐标和点的纵坐标相同，点的坐标为多少时的长度最大； (3)在的下方的抛物线上是否存在一点，使，若存在，写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 15．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若此函数图象上有一点到y轴的距离不大于2，求t的最大值与最小值之差； (3)若M为线段的中点，N为抛物线的顶点，直线交抛物线于D，E两点，直线交x轴于点P，直线交x轴于点Q．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $