第一章 二次函数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册二次函数，以120分钟120分设置，融合中考真题与跨学科情境，适配单元培优复习，提升数学眼光与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数实际应用（如围栏面积方案）、图像分析（运动重叠面积）|结合新疆中考真题，情境真实（篮球发球数据）| |填空题|6/18|最值问题（矩形花园面积）、动态几何（正方形运动面积）|融入浙江衢州模考题，考查模型意识| |解答题|8/72|综合实践（“天眼”抛物面、拱桥设计）、跨学科（物理电阻、射水鱼水流）|梯度分明，从基础计算到探究证明，发展创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章二次函数·培优冲刺（参考答案） 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 3 6 7 8 9 10 C B B D B B C B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 山 12.493 13.3 11 14.32 15.①③④⑤ 16.不能 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(8分) 【解析】1)解：当y=0时，-x2+2x+3=0, 解得X1=-1,x2=3, ,点A在点B左侧， .A-1,0,B3,0 (2分) (2)解：如图，连接BE, B .'△BCD E CD 的外心在 上 ∴.EB=EC=ED, ∴E为线段CD的中点， 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设C(xc,d),D(xD,d),则xc,xD是方程-X2+2x+3=d的两根， 整理得x2-2x+(d-3)=0' 由韦达定理得Xc+XD=2, .点E的横坐标为 c+xD=1,即E(1,d), 2 B3,0), 由勾股定理得BE2=(3-1P+(0-d}=4+d 又.CE=|xE-xc|=|1-xc, 由求根公式，方程X-2x+d-3=0的根为x-2±4-4d-3=1±4-a, 2 xe<0, ∴.xc=1-4-d1 ∴.CE=4-d,即CE2=4-d, .BE=CE, .4+d=4-d, 整理得d+d=0, 解得d=0或d=-1, .d<0, ∴.d=-1. (5分) (3)证明：设直线MN的解析式为y=kx+b,点T的横坐标为t,则T(t,kt+b), PQ‖y轴， .P(t,-t2+2t+3'Q(t,t+pt+q) 设M(x1,y1),N(x2,y2), 联立直线MN与抛物线C1得x+b=-x2+2x+3, 整理得：X+(k-2)x+(b-3)=0 .M,N是直线与C1的交点， ∴.X1,X2是该方程的两根， 2/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PT=yp-yr=-t+2t+3-(kt+b川=|t2+(k-2)t+(b-3川=|(t-x)(t-x2 同理，联立直线MN与抛物线C2得x+b=x2+px+q, 整理得x+p-k)x+(q-b)=0' ,M,N也在抛物线C2上， ∴.X1,X2也是该方程的两根， ∴.QT=yo-yr=l(t+pt+q)-(kt+b川=lt+(p-k)t+(q-b1=I(t-x)(t-x2川P' .'PT=QT, 过点M作MH⊥PQ于点H,则MH是△PMT和△QMT的公共高， Sam号PT~AM,Som=方QTMH,且PT=Qr 1 ∴.SAPMT=SAOMT, 同理，过点N作NG⊥PQ于点G,可得S△Pr=S△ONT, SAPMIN=SAPMT+SAPNT:SAOMN=SAOMT+SAONT, .SA PMN=S△QMN, Y M H G (8分) 18.(8分) 【解析】解：1)①若x=5,则y=5=5 ②y关于x的函数关系式为y=x: 3/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 故答案为：5：y=x2: (2分) (2)由题意可知，当x=4时，点P与点A重合， ∴.AD=4,此时y=4=16, 连接CD, F P D 由题图(2)可知点P与点C重合时，y=80,即CD2=80, 在Rt△ACD中，AD2+AC2=CD2,即42+AC2=80, .AC=8(负值已舍)， 当点P在AC上运动时，X=AD+AP=4+AP, .AP=X-4, 在Rt△ADP中，Dp2=AD2+AP2=42+x-42=X2-8x+32 y=x2-8x+32, 即当点p在AC上运动时，y关于x的函数关系式为y=X-8x+324≤X≤12 3分) (3)当0≤x<4时，y=x2, 则y-x=12时，x2-X-12=0, 解得x=-3(舍去)或x=4(舍去)： 当4≤x≤12时，y=x2-8x+32, 则y-x=12时，x2-9x+20=0, 解得x=4或x=5: 当x=4时，y=16,此时AP=0, 4/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=5时，y=17,此时AP=1, ∴.当y-x=12时，AP的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的坐标为4,16或5,17： 故答案为：0或1；4,16或5,17： (6分) (4)由(2)知，AD=4,AC=8, 又，D为AB的中点， ..AB=8=AC, 取AC的中点N,连接DN, E :AN=号AC=4=AD,DN是△ABC的中位线， .DN‖BC, 又，∠A=90°， “△ADN是等腰直角三角形， ,四边形DPEF是正方形 .△MDP是等腰直角三角形， 分析点P的运动规律可知，当点P运动到DP‖BC,即点P运动到点N处时，点A与点M重合， 点P在线段CN(不含点N)上运动时，点A在△DFM内部， 当点P运动到点N处时，x=4+4=8,此时y=x2-8x+32=32: 当x=12,y=12-8×12+32=80: ∴.点A在△DFM内部时x的取值范围为8<x≤12，y的取值范围为32<y≤80 (8分) 19.(8分) 【解析】((1)解：由题意，得抛物线L的对称轴为直线x=号×12=6，拱顶最高点距离地面EF 的高度为8m, 5/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.抛物线L1的顶点坐标为6,8： 设抛物线，的函数表达式 y=ax-62+81 由题意得，点A的坐标为0,6，且点A在抛物线L1上， 6=al0-6P+8 1 解得a=- 18 地物线L的函数表达式为y=8x-6+8, 由对称得抛物线L,的函数表达式为y=一日x+6P+8, 18 (2分) (2)解：设y轴右侧可以摆放m列储物箱，由题意，得号×1.2+1.8m+1.2m-1≤12， 解得m≤4.2， m为正整数，且取最大值， .m=4, 此时点M的横坐标为2×1.2+1.8×4+1.2×4-1=11.4， 将x=14代入y=一x-6+8, 得y=-。×11.4-6+8=6.38. 18 ∴点M与抛物线L1在竖直方向上的距离为6.38-2×1.5=3.38(m: (5 分) (3)解：由(2)知，右边仓库可放4列储物箱， 由题意得，第一列储物箱离AO的距离为0.6m, 当x=0.6时，y=-g0.6-62+8=6.38. 18 6.38-0.8÷1.5=3(个)余1.08米， 同理可求第二列4个， 根据对称性，第三列4，第四列3个， 所以，这个仓库可摆放3+4+4+3=14（个）， 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同样左边的仓库也可摆放14个储物箱， 共计可摆放14+14=28（个）储物箱. (8分) 20.(8分) 【解析】(1)解：.b=1,c=2, .y=-x2+x+2=- ·抛物线的顶点坐标为19 (2分) 2’4 (2)证明：抛物线上的点PXo,y在x轴上方， .y=-x6+bx+c>0 .c=xo-bxo+yo' .b2-4×-1×c=b2+4c=b2+4x7-4bx+4y=2x-b?+4yo>0 即方程-x+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴.抛物线与X轴有两个交点. (5分) (3)CD和DE的数量关系是CD=DE, 证明：.抛物线y=-x+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C0,2,如图， D 故可设Ax1,0Bx2,0X1>X 则X1,X2是方程-x2+bx+2=0的两根， 7/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由求根公式可得，_b+√b2+8,_b-Vb2+8, X1= 2 X2= 2 又坐标平面内存在点M满足MA=MB=MC, 由对称性可设M b 2, 由为定可NA-设-5+0+m-0PMc怡+m-2 -mfr .1 解得m= :.点M的坐标为b1 22 .直线y=bx+2与y=-bx-1相交于点D, .b≠0， 3 联立y=bx+2,解得 2b y=-bx-1 y=2 .点D的坐标为 31, 2b'2 -3,A可知MD⊥CE 2b’2 又'.MC=ME, ∴.MD垂直平分CE, ∴.CD=DE. (8分) 21.(8分) 8/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)解：设水流的函数解析式为 =ax2+bx+ca≠0' a+b+c= 27 8 由题意得 4a+2b+c= 2 c=3 c=3 冰流的函数解析式为y=司x2+分X+3105X56。 .1 2 (2分) (2)解：①.AB=3米，BC=6米， .A0,3,C6,0, 设直线AC的函数解析式为y=kx+b,k≠0 6k+b=0 b=3 k= 2 b1=3 ·直线AC的函数解析式为y=-号 x+3 设Nm,日++m,n+3 8 8 -<0 8 9/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .当m=4时，MN有最大值，最大值为2， 答：这棵小树MN可达到的最大高度是2米： (5分) ②设第二棵树底横坐标为n, 8h+n, 1 同理可得DE= ·两棵树等高，即MN=DE, 8 m2-n2-8m-n=0 .m+n-8m-n=0, ,n>m,即m-n≠0， ∴.m+n-8=0, .n=8-m, 又，m<n<6, .m<8-m<6, .2<m<4. (8分) 22.(10分) 【解析】(1)解：R1=82,总电阻R为 为8Q,RRR 01=1+1 言*完 3 解得R2=42 (2分) (2)如图，EF即为总阻值R的线段长 D (5分) (3)解：电路中，两条支路的电阻分别为R上=3+Rp,R下=6+Rp, 10/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'Rap+Rpp=92, 设Rp=X,Rp=9-X,其中0≤X≤9， 总电流1=5+5=5+，5=5.15-x+(3+X= 90 RRx3+x15-x°(3+x)15-x）-x2+12x+45 分母是关于x的二次函数y=-X2+12x+45=-x-6P+81:开口向下，当x=6时取得最大值. y=81, 当分母最大时，总电流I取最小值， 放m89-日A (8分) (4)解：串联总电阻：R=R1+R2=3+R2, 并联总电阻：R#F3+R2 3R2, 足3+R2(3+R,2R2+6R2+9_R2十 R#3R2 3R2 3R2 3R2 3+R2 由基本不等式R+ -≥2 R.3=2当且仅当=3，即R,=3Q时取等号， 3R Y3,R, 3R2 此时kmn=2+2=4, 当R,=0.52时，k=0.5+3 30.5 *249 6 当R,=10Q时，k=10+3+2=169 310 30 综上所述，4≤k≤49 1 (10分) 23.(10分) 【解析】(1)解：设直线l的表达式为y=x+b, 因为直线过点P(-1,1),代入得：1=-k+b,即b=k+1, 又因为直线与抛物线y=x2只有一个公共点，联立方程： 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x+b消去y得：x-x-b=0 y=x2 由于只有一个公共点，判别式△=0， 即：△=k2+4b=0, 将b=k+1代入，得： k2+4k+1)=0 .k2+4k+4=0, ∴.(k+2}2=0 解得k=-2, 则b=-2+1=-1, 因此，直线的函数表达式为y=-2x-1。 (2分) (2)解：如图，作PD⊥y轴于点D, x=-1V --D 由平面镜反射原理可得∠1=∠APB ,:直线x=-1与y轴平行 .∴.∠1=∠BAP ∴.∠APB=∠BAP .AB=PB 令x=0,得y=-1,故A(0,-1)。 .P(-1,1 .D(0,1 ∴.AD=1-（-1)=2 12/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AB=m,则BD=2-m,PB=m .PD2+BD2=PB .12+(2-m2=m2 解符m寻 B0=AB=A0=-1- 4 B0,4 (4分) (3)解：①当m≠0时， 不妨设m<0,如下图所示： x-m ------D P B A 作PD⊥y轴于点D,设直线1的解析式为y=x+b 把x=m代入y=ax,得y=am P的坐标为(m,am2) 把p(m,am)代入y=kx+b:得 am2=mk+b ∴.b=am2-mk .y=kx+am2-mk ,:直线1与抛物线y=ax只有一个公共点. 13/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立方程组： y=ax2 y=kx+am2-mk 得ax2-x+mk-am2=0 △=k2-4a(mk-am2)=0 即(k-2am}=0 .∴.k=2am .∴.直线1的解析式为y=2amx+am2-2am2=2amx-am2 .当x=0时，y=-am A的坐标为(0，-am2) ∴.AO=am2 由(I)可知PB=AB,设PB=t,则AB=t .AD=am2-(-am2)=2am2 ∴.BD=2am2-t PD2+BD2=PB2 .m2+(2am2-t2=t2 解得t=am2+1 4a :.BO=AB-AO=am+1-am'=1 4a a A0d “反射电感激与y稍交点坐杯为0， ②当m=0时，如下图所示： 14/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=0 ￥B 1 TTTTTTTTTTTTTTTIT产 此时，直线与x轴重合，反射电磁波与y轴重合，也经过点B(0,), 直线x三m在抛物线y三XQ>0止的反射电磁波与y轴的交点坐标为04。 然是同一个定点 (8分) (4)解：由y=2x2得a=2, 1=1 4a8 “第一次反射：入射电磁波X=m(m<0)与抛物线y=2xX交于P(m,2m2),反射后过点B(0,), 8 第二次反射：设反射光线与抛物线再次交于Q(n,2n' 根据光路可逆，第二次反射后电磁波平行于 y轴，方程为x=n, x-m y个x=n BO V17 入射电磁波X=m与第二次反射后的电磁波x=n的距离为 2,即n-ml7 2 设直线PB为y=px+q, 15/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把(m,2m0g 代入得 pm+q=2m 1 q-8 2m2- 8 解得： D=- m a8 .直线PB为 2m2、1 y= 8 1。 x+ m 8 联立直线PB与抛物线y=2x2,得： 2m2-1 2x2- 1 =0 m 8 由韦达定理，两根m和n满足： 1 m.n=- 161 .n=- 1 16m 代入Nn-m= 2，得： 1 V17, 16m 2 因为m<0,去绝对值后化简： 1 +m=一 V17 16m 2 整理得：16m2+8V17m+1=0, 解得： 16/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=-817±817-4×16×1 2×16 =-/17±4 (10分) 4 24.(12) 【解析】(1)解：，CD垂直平分AB, .CA=CB,∠CDA=∠CDB=90°， .AC=8,CD=4, ∴.AC=2CD, .∠ABC=∠CAB=30°， .∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=120°， (2分) (2)解：如图，以AB为X轴，AB的垂直平分线为y轴建立如下的坐标系， 则点c0,4B43,0 设抛物线的表达式为y=ax2+4, 将点B的坐标代入上式得0=43？×a+4: 1 解得a= 121 则抛物线的表达式为y= 1 x2+4: 12 (6分) (3)解：如图，设横杆GH长度和竖杆CQ长度分别为12n、n, Q H B 则点H6n,4-n, 17/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将点H的坐标代入y=- x+4相4-n=b6n+4, 12 3或n=0(舍去)， 解得n= 4出* 11 一横向限高杆离水面距离为兮米。 (9分) (4)解：作直线NP的平行线！，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， I交X轴于点J,过点J,作K⊥PN,垂足为K,如图所示， VA .l‖PN N A 设直线的解析式为y=-x+m, y=-x+m 联立直线与抛物线解析式y= 1 12 X+4 整理得x2-12x+12m-48=0, .直线与抛物线相切， ∴方程有两个相等的实数根， ∴.△=-122-412m-48=0 解得m=7, .直线的解析式为y=-x+7, 令y=0,解得X=7, .J7,0, ∴.JN=8-7=1, .射灯射出的光线与地面成45°角， 18/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V22 .∴.JK=JN×sin45°=1× 22 V2 光线与抛物线之间的最小距离为之米。 (12分) 19/19………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 二次函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用10米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园的面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形三种方案（如图所示），最佳方案是（ ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 2．（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·天津和平·三模）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·浙江杭州·二模）如图，，是边上的一动点，并以的速度沿的方向运动，为内的一点，连接，设点运动时间为，，图是关于的函数的部分图象，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C．图象过点 D．图象过点 5．新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（ ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 6．篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（ ） A． B． C． D． 9．在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动速度、运动路程的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示与的函数关系，用二次函数表示与的函数关系，则下列说法不正确的是（ ） A．弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B．弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C．当弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度是 D．当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为 10．如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像，如图2，且与之间的函数关系式为（），则变阻器消耗的电功率最大是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 12．（2026·浙江衢州·一模）如图1，四边形中，，平分，，（a为常数）且．记长为x，的值为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为________． 13．如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 14．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 15．（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数，若，则当时，随的增大而增大．其中正确的是_________（填写序号）． 16．（2026·甘肃武威·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 18．（8分）综合与实践： 【问题提出】如图（1）在中，，为的中点，点沿折线运动（运动到点停止），以为边在上方作正方形．设点运动的路程为，正方形的面积为． 【初步感悟】（1）当点在上运动时，①若，则　　　　　　； ②关于的函数关系式为　　　　　　； （2）当点从点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当时，的长为　　　　　　，此时关于的函数图象上点的坐标为　　　　　　； （4）连接正方形的对角线，两对角线的交点为，求点在内部时和的取值范围． 19．（8分）综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 20．（8分）（2026·福建·中考真题）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 21．（8分）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 22．（10分）数学跨学科综合实践不是“用数学做几道别的学科的题”，而是以数学为骨架，以现实问题为血肉，在不同学科的碰撞中提升综合思维、应用能力和创新意识．它回应了一个根本问题“学数学究竟有什么用？”——答案不再是“为了考高分”，而是“为了理解世界并改变它”．在数学跨学科综合实践学习中，善思学习小组在解决课本上一道练习题：如图①，在直线的同侧有两个和，连接，交于点，过点作直线，则有结论（无需证明）．融创学习小组敏锐的发现它与物理学科电阻知识的结论有点类似．电学有如下两个公式：如图②，在串联电路中，总电阻满足；如图③，在并联电路中，总电阻满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图③，两个电阻并联在同一电路中，已知，，请用无刻度直尺和圆规在图④中（1个单位长度代表）画出表示该电路图中总阻值的线段长（保留作图痕迹） (3)在如图⑤所示的等效电路图中，，，，为两个滑动变阻器且．电流表表示的数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由； (4)我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．请直接运用上述结论解决问题：现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围． 23．（10分）项目主题：“天眼”中的数学 “中国天眼”（）是当今世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．其核心工作原理是：望远镜在追踪天体时，反射面可实时调整形成瞬时抛物面，将平行入射的电磁波经反射后精准汇聚于馈源舱（信号接收器）． 为深入理解天眼抛物面反射信号的原理，“鹿鸣·博约”数学项目小组将空间抛物面的光学性质近似转化为平面抛物线问题进行了如下研究： 探究一：理解电磁波在抛物面上的反射 电磁波在平面镜上的反射符合光的反射定律，因而电磁波在抛物面上的反射可以近似转化成电磁波在平面镜上的反射． 如图，直线与抛物线交于点，直线过点且与抛物线只有一个公共点，与轴交于点，电磁波在抛物线上的反射，等同于电磁波在平面镜（直线）上的反射，反射电磁波与轴交于点．推理发现与之间的数量关系为： ① ． 探究二：性质研究 项目组尝试对直线一般化，计算直线的反射电磁波与轴的交点，发现均为同一个定点； 项目组又尝试对直线和同时一般化，计算直线在抛物线 上的反射电磁波与轴的交点坐标为 ② ，发现依然是同一个定点． 探究三：灵活运用 电磁波在抛物线上发生两次反射，入射电磁波和第二次反射后的电磁波之间距离为，则 ③ ． (1)求“探究一”中直线的函数表达式； (2)写成①处空缺的内容：________，并求点的坐标； (3)完成②处空缺的内容：________，并写出计算过程； (4)完成③处空缺的内容：________． 24．（12分）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 试题 第3页（共12页） 试题 第4页（共12页） 试题 第1页（共12页） 试题 第2页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 二次函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用10米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园的面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形三种方案（如图所示），最佳方案是（ ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 分别计算三种方案下菜园的最大面积，再比较大小确定最佳方案即可． 【详解】解：方案1：设矩形垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米， 矩形的面积为， 则矩形面积的最大值为； 方案2：过点作， 设长为，， 由勾股定理得， 等腰三角形的面积为， 则， 令得：， 因此，等腰三角形的面积最大值为； 方案3：设半圆的半径为，半圆的弧长为， 由围栏长度得，解得， 则半圆的面积为， 取，则， 由于， 因此，最佳方案是方案3， 故选：C． 2．（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解． 【详解】解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点， 边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合， ，，，垂直平分， ， ①当时，叠部分的面积为，此时， ， ， ， ， ； ②当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 即当时，有最大值为2； ③当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ； ④当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线， 只有B选项符合题意． 3．（2026·天津和平·三模）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意分段讨论点的位置，分别计算的长度和的面积表达式，进而判断各个结论的正确性． 【详解】解：由题意可知，点到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， 运动时间的取值范围是． 当时，点运动的路程为，即， 点在上； 点运动的路程为， ∵， ∴点在上，且， ∴，故①正确； ②当时，点在上，点在上， 此时，， ∴， 的高为， ∴， 当时，，随的增大而减小； 当时，，随的增大而增大，故②错误； ③当时，点在上，，点在上，， 此时以为底，为高， ∴，， ∴当时，取得最大值； 当时，由②知， 当时，；当时，；当时，， ∴此阶段的最大值为， 综上，的最大面积为，故③正确； ④当时，令，解得（负值舍去），符合题意； 当时，令，解得， ∴或， 解得或，均符合题意， ∴共有个不同的值满足条件，故④错误． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 4．（2026·浙江杭州·二模）如图，，是边上的一动点，并以的速度沿的方向运动，为内的一点，连接，设点运动时间为，，图是关于的函数的部分图象，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C．图象过点 D．图象过点 【答案】D 【分析】分别求出两段抛物线的解析式，再逐一判断即可求解． 【详解】解：如图，分别为点运动时所处的位置，由图可知点在上，点在上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由图可知，当点运动在图对应的点为，点为第一段抛物线的顶点， ∴， 设第一段抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴第一段抛物线的解析式为， 当时，， ∴，故选项错误； ∵，， ∴， ∴， 由图可知，当点运动在图对应的点为，点为第二段抛物线的顶点， ∴， 同理可得第二段抛物线的解析式为， 由，解得， ∴， ∴，故选项错误； 把代入，得， ∴图象过点，故选项错误； 把代入，得， ∴图象过点，故选项正确． 5．新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（ ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 【答案】C 【分析】运用待定系数法求解即可判断A，B选项，把分别代入两个解析式，进而求得的长，进而判断C，D选项，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴方案一抛物线的函数表达式为：，故A正确， 由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ，故B正确， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，故C错误 把代入得：， 解得：， ∴ ∴，故D正确 6．篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据表格数据和二次函数的性质逐项判断可得答案． 【详解】解：①根据表格数据，当时，，即发球机出球口离地面竖直高度为，故①正确； ②根据表格数据，当和时，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 由题意，该抛物线的开口向下， ∴当时，y取得最大值， 即当篮球飞行水平距离为时，达到最大高度，故②错误； ③根据表格数据，当时，， 故当篮球飞行水平距离为时，篮球离地面竖直高度为，未落地，故③错误； ④设该抛物线的解析式为， 将时，，时，代入， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴当时，，满足， 小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球，故④正确， 综上，正确的是①④，共2个． 7．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 8．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出点B的坐标，可得到点A的坐标，即可求解． 【详解】解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∵水流是关于轴对称的两条抛物线， ∴点A，B关于y轴对称， ∴点， ∴． 9．在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动速度、运动路程的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示与的函数关系，用二次函数表示与的函数关系，则下列说法不正确的是（ ） A．弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B．弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C．当弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度是 D．当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，待定系数法等知识． 选项A、B、C可根据一次函数、二次函数图象直接判断，D选项，可先用待定系数法求出二次函数的解析式，即可判断． 【详解】解：由图2，可知运动速度随运动时间的增大而减小，故选项A正确； 由图3，可知弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程越来越小，故选项B错误；由图3，可知弹珠在水平轨道上滚动时，运动时间是， 由图2，可知当时，，故选项C正确； 当弹珠停止滚动时，， 由图2，得此时运动时间是．设， 把和代入， 得， 解得， ． 把代入，得， 故选项D正确． 故选B． 10．如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像，如图2，且与之间的函数关系式为（），则变阻器消耗的电功率最大是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出与之间的函数关系式为，再化成顶点式，最后利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：由题意可得：当时，， ∴，解得：， ∴， ∴当时，变阻器消耗的电功率最大，最大值为，即选项D符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 12．（2026·浙江衢州·一模）如图1，四边形中，，平分，，（a为常数）且．记长为x，的值为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为________． 【答案】 【分析】先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出（负值舍去），当时，求出或，根据得到，．过点作于点，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（a为常数），长为x，长为y， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 由图2知，， ∴（负值舍去）， ∴， 当时，则，即， 解得或， 当时，，，符合； 当时，，，不符合，舍去． 过点作于点， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积为． 13．如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 【答案】 3 11 【分析】先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为1，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，当点在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，当时，． 【详解】解：由函数图象可得当点运动到点时，，， ∵， ， ∴, ∴， 当时，，此时点在上， ∴， ∴； 当点在上时， 由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得, 解得，， ∴， 当时， ， 即． 14．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 15．（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数，若，则当时，随的增大而增大．其中正确的是_________（填写序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】先代入已知点得到系数关系，，再逐一判断每个结论的正误．对于①，容易判断当时，，因此抛物线不经过第三象限；对于②，解方程可得抛物线与轴的交点为和，故存在两种平移方案；对于③，由与即可判断；对于④，结合②的结论可得是不等于1的正整数，因此；对于⑤，代入可得，当时，，且随的增大而减小，结合反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴代入坐标得，，整理得， ∴ 对于①：当时， ∵， ∴，， ∴， ∴抛物线不经过第三象限，故①正确； 对于②：将代入，得， ， 因式分解，得， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为和， ∴向左平移个单位后，交点变为和， ∵平移后过原点， ∴或，因此不一定等于，故②错误； 对于③：∵， ∴，故③正确； 对于④：由②可得，方程的根为和， ∵方程有两个不相等的整数根，且为正整数， ∴为不等于的正整数，即为的正因数，且， ∴，故④正确； 对于⑤：∵， ∴， ∴， 设， ∴与成二次函数关系， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵当时，， ∴， ∵， ∴与成反比例函数关系， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵随的增大而减小， ∴随的增大而增大，故⑤正确； 综上，正确的结论为①③④⑤． 16．（2026·甘肃武威·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）求出时对应点的坐标并结合点在点左侧即可求解； （2）先利用外心在边上推出是中点，得到点坐标；再根据列方程求解，结合取舍即可； （3）先设直线解析式与各点横坐标，联立直线与两条抛物线，借助一元二次方程根与因式分解证出；再利用等底同高三角形面积相等进行推导，即可证明两三角形面积相等． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，． （2）解：如图，连接， 的外心在上， ， 为线段的中点， 设，，则，是方程的两根， 整理得， 由韦达定理得， 点的横坐标为，即， ， 由勾股定理得， 又， 由求根公式，方程的根为， ， ， ，即， ， ， 整理得， 解得或， ， ． （3）证明：设直线的解析式为，点的横坐标为，则， 轴， ，， 设，， 联立直线与抛物线得， 整理得：， ，是直线与的交点， ，是该方程的两根， ， 同理，联立直线与抛物线得， 整理得， ，也在抛物线上， ，也是该方程的两根， ， ， 过点作于点，则是和的公共高， ，，且， ， 同理，过点作于点，可得， ，， ． ． 18．（8分）综合与实践： 【问题提出】如图（1）在中，，为的中点，点沿折线运动（运动到点停止），以为边在上方作正方形．设点运动的路程为，正方形的面积为． 【初步感悟】（1）当点在上运动时，①若，则　　　　　　； ②关于的函数关系式为　　　　　　； （2）当点从点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当时，的长为　　　　　　，此时关于的函数图象上点的坐标为　　　　　　； （4）连接正方形的对角线，两对角线的交点为，求点在内部时和的取值范围． 【答案】（1）①5；②；（2）；（3）0或1；或；（4）点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可； （2）当时，点与点重合，求得，由题图（2）可知点与点重合时，，即，在中，利用勾股定理即可求解； （3）分当和当时，即可求解； （4）取的中点，连接，分析点的运动规律可求得，点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【详解】解：（1）①若，则； ②y关于x的函数关系式为； 故答案为：5；； （2）由题意可知，当时，点与点重合， ∴，此时， 连接， 由题图（2）可知点与点重合时，，即， 在中，，即， ∴（负值已舍）， 当点在上运动时，， ∴， ∴在中，， ∴， 即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为； （3）当时，， 则时，， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 则时，， 解得或； 当时，，此时， 当时，，此时， ∴当时，的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的坐标为或； 故答案为：0或1；或； （4）由（2）知，，， 又∵D为的中点， ∴， 取的中点，连接， ∴，是的中位线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合， 点在线段(不含点)上运动时，点在内部， 当点运动到点处时，，此时； 当，； ∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了正方形的性质、求函数解析式、勾股定理、三角形中位线等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 19．（8分）综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为；抛物线的函数表达式为 (2) (3)28个 【分析】（1）运用待定系数法可求出抛物线的函数表达式为，根据对称性可得出抛物线的函数表达式为； （2）设y轴右侧可以摆放m列储物箱，根据题意列不等式求解即可； （3）由（2）知，右边仓库可放4列储物箱，求出每列数量分别为3，4，4，3，共14个，同理可求左边仓库也可放14个，共计可放28个． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线的对称轴为直线，拱顶最高点距离地面的高度为， ∴抛物线的顶点坐标为； 设抛物线的函数表达式为， 由题意得，点A的坐标为，且点A在抛物线上， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为， 由对称得抛物线的函数表达式为； （2）解：设y轴右侧可以摆放m列储物箱，由题意,得， 解得， ∵m为正整数，且取最大值， ∴， 此时点M的横坐标为， 将代入， 得， ∴点M与抛物线在竖直方向上的距离为； （3）解：由（2）知，右边仓库可放4列储物箱， 由题意得，第一列储物箱离的距离为， 当时，， （个）余1.08米， 同理可求第二列4个， 根据对称性，第三列4，第四列3个， 所以，这个仓库可摆放（个）， 同样左边的仓库也可摆放14个储物箱， 共计可摆放（个）储物箱． 20．（8分）（2026·福建·中考真题）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）将，代入抛物线表达式，配方得顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可； （2）由抛物线上的点在轴上方得，进而得， 进而得判别式为，得有两个不相等的实数根，进而判断抛物线与轴有两个交点； （3）设，，，由对称性可设，根据抛物线与方程的关系可得、，根据勾股定理得，，由列式计算可得点的坐标，联立直线与可得点的坐标，进而得，由得垂直平分，进而得． 【详解】（1）解：，， ， 抛物线的顶点坐标为． （2）证明：抛物线上的点在轴上方， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个交点． （3）和的数量关系是， 证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图， 故可设，，， 则，是方程的两根， 由求根公式可得，， 又坐标平面内存在点满足， 由对称性可设， 由勾股定理可得，，， ， 解得， 点的坐标为， 直线与相交于点， ， 联立，解得， 点的坐标为， 由，可知， 又 ， 垂直平分， ． 21．（8分）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①2米；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出直线的函数解析式为；设，则，可求出，据此可得答案；②设第二棵树底横坐标为，同理可得，根据题意可得，，则可推出，再根据求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：设水流的函数解析式为， 由题意得 ∴， ∴水流的函数解析式为； （2）解：①∵米，米， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为2， 答：这棵小树可达到的最大高度是2米； ②设第二棵树底横坐标为， 同理可得， ∵两棵树等高，即， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22．（10分）数学跨学科综合实践不是“用数学做几道别的学科的题”，而是以数学为骨架，以现实问题为血肉，在不同学科的碰撞中提升综合思维、应用能力和创新意识．它回应了一个根本问题“学数学究竟有什么用？”——答案不再是“为了考高分”，而是“为了理解世界并改变它”．在数学跨学科综合实践学习中，善思学习小组在解决课本上一道练习题：如图①，在直线的同侧有两个和，连接，交于点，过点作直线，则有结论（无需证明）．融创学习小组敏锐的发现它与物理学科电阻知识的结论有点类似．电学有如下两个公式：如图②，在串联电路中，总电阻满足；如图③，在并联电路中，总电阻满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图③，两个电阻并联在同一电路中，已知，，请用无刻度直尺和圆规在图④中（1个单位长度代表）画出表示该电路图中总阻值的线段长（保留作图痕迹） (3)在如图⑤所示的等效电路图中，，，，为两个滑动变阻器且．电流表表示的数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由； (4)我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．请直接运用上述结论解决问题：现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)如图，即为总阻值的线段长 (3)存在， (4) 【分析】（1）根据，代数值进行计算即可； （2）根据题意在边取，边取，连接，交于点，过点作于点F，即为所求； （3）根据两条支路的电阻分别为，，总电流，再根据二次函数的性质求出最小值即可； （4）先用题目给出的不等式公式求出的最小值，再代入​取值范围的两个边界值比较大小，得到的最大值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：，总电阻为，， ， 解得 （2）如图，即为总阻值的线段长 （3）解：电路中，两条支路的电阻分别为，， ， 设，其中， 总电流， 分母是关于的二次函数，开口向下，当时取得最大值，， 当分母最大时，总电流取最小值， 故； （4）解：串联总电阻：， 并联总电阻：， 则， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号， 此时， 当时，， 当时，， 综上所述，． 23．（10分）项目主题：“天眼”中的数学 “中国天眼”（）是当今世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．其核心工作原理是：望远镜在追踪天体时，反射面可实时调整形成瞬时抛物面，将平行入射的电磁波经反射后精准汇聚于馈源舱（信号接收器）． 为深入理解天眼抛物面反射信号的原理，“鹿鸣·博约”数学项目小组将空间抛物面的光学性质近似转化为平面抛物线问题进行了如下研究： 探究一：理解电磁波在抛物面上的反射 电磁波在平面镜上的反射符合光的反射定律，因而电磁波在抛物面上的反射可以近似转化成电磁波在平面镜上的反射． 如图，直线与抛物线交于点，直线过点且与抛物线只有一个公共点，与轴交于点，电磁波在抛物线上的反射，等同于电磁波在平面镜（直线）上的反射，反射电磁波与轴交于点．推理发现与之间的数量关系为： ① ． 探究二：性质研究 项目组尝试对直线一般化，计算直线的反射电磁波与轴的交点，发现均为同一个定点； 项目组又尝试对直线和同时一般化，计算直线在抛物线 上的反射电磁波与轴的交点坐标为 ② ，发现依然是同一个定点． 探究三：灵活运用 电磁波在抛物线上发生两次反射，入射电磁波和第二次反射后的电磁波之间距离为，则 ③ ． (1)求“探究一”中直线的函数表达式； (2)写成①处空缺的内容：________，并求点的坐标； (3)完成②处空缺的内容：________，并写出计算过程； (4)完成③处空缺的内容：________． 【答案】(1) (2)， (3)，见解析 (4) 【分析】（1）设直线 的表达式为 ，因其过点，可得。将直线与抛物线联立，消元后得到一元二次方程。根据两者只有一个公共点，令判别式 ，解得斜率，进而求出截距 ，得到直线解析式； （2）结合光学反射定律与几何性质求解。由反射定律及平行线性质可得 ，从而得出，即与的数量关系为相等。接着利用第一问求出的点 坐标和点 坐标，通过作垂线构造直角三角形，设未知数利用勾股定理列方程求解，最终确定点 的坐标； （3）设入射线与抛物线 的交点为 ，仿照第一问方法求出切线（平面镜）的解析式，进而求出其与 轴交点的坐标，再仿照第二问，利用 的关系及勾股定理列方程，求解出反射光线与轴交点的坐标，计算发现无论取何值（ 或 ），交点始终为定点 ； （4） 已知抛物线 ，由（3）结论可知第一次反射光线必过定点 。设入射线与抛物线交于，连接并延长交抛物线于，则第二次反射光线平行于 轴（即）。利用韦达定理表示出 和 mn 的关系，结合已知距离 列方程求解，最终得出的值． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 因为直线过点，代入得：，即， 又因为直线与抛物线只有一个公共点，联立方程： 消去得：， 由于只有一个公共点，判别式， 即：， 将代入，得： ， ， 解得， 则， 因此，直线的函数表达式为。 （2）解：如图，作轴于点， 由平面镜反射原理可得 直线 与 轴平行 令，得，故。 设 ，则 ， 解得 （3）解：①当时， 不妨设，如下图所示： 作 轴于点 ，设直线 的解析式为 把 代入 ，得 的坐标为 把 代入 ，得 直线 与抛物线 只有一个公共点. 联立方程组： 得 即 直线 的解析式为 当 时， 的坐标为 由 (1) 可知 ，设 ，则 解得 反射电磁波与 轴交点坐标为 ②当时，如下图所示： 此时，直线与轴重合，反射电磁波与轴重合，也经过点 ， 综上所述，直线在抛物线 上的反射电磁波与轴的交点坐标为，发现依然是同一个定点． （4）解：由得， ∴第一次反射：入射电磁波（）与抛物线交于，反射后过点， 第二次反射：设反射光线与抛物线再次交于，根据光路可逆，第二次反射后电磁波平行于轴，方程为， 入射电磁波与第二次反射后的电磁波的距离为，即， 设直线 为 ， 把 代入得 ， 解得：， ∴直线为。 联立直线与抛物线，得： ， 由韦达定理，两根和满足： ， ， 代入，得： ， 因为，去绝对值后化简： ， 整理得：， 解得： ． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用、待定系数法求解析式、根的判别式、勾股定理以及光的反射定律，解题的关键在于理解“相切”的几何含义（ ），利用反射定律和等腰三角形性质（）建立几何与代数的联系，并能通过类比推广发现反射光线过定点 的规律，进而结合韦达定理解决复杂的动态几何问题． 24．（12分）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 【答案】(1) (2)拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线， 理由：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： (3)横向限高杆离水面距离为米 (4)光线与抛物线之间的最小距离为米 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得，，由已知可得，可得，由三角形的内角和定理，即可得的度数； （2）假设该拱桥轮廓线是圆弧，设圆心为，设圆的半径为，在图1中，连接、，根据勾股定理可得，在图2中，连接、、，由三角形的内角和定理可得，可得，解，可得，可判断拱桥的轮廓线不是圆弧，是抛物线，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法即可得抛物线的解析式； （3）设横杆长度和竖杆长度分别为、，点，将点的坐标代入抛物线的解析式，可得，即可得横向限高杆离水面的距离； （4）作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点），交轴于点，过点，作，垂足为，设直线的解析式为，与抛物线的解析式联立，整理为关于的一元二次方程，由可得，可得直线的解析式，可得点的坐标，可得，结合已知解三角形即可得光线与拱桥之间的距离． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系， 则点、， 设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， 则抛物线的表达式为； （3）解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、， 则点， 将点的坐标代入得， 解得或（舍去）， ∴（米） ∴横向限高杆离水面距离为米． （4）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， 交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，解得， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， 光线与抛物线之间的最小距离为米． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 二次函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用10米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园的面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形三种方案（如图所示），最佳方案是（ ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 2．（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·天津和平·三模）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·浙江杭州·二模）如图，，是边上的一动点，并以的速度沿的方向运动，为内的一点，连接，设点运动时间为，，图是关于的函数的部分图象，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C．图象过点 D．图象过点 5．新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（ ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 6．篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（ ） A． B． C． D． 9．在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动速度、运动路程的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示与的函数关系，用二次函数表示与的函数关系，则下列说法不正确的是（ ） A．弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B．弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C．当弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度是 D．当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为 10．如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像，如图2，且与之间的函数关系式为（），则变阻器消耗的电功率最大是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 12．（2026·浙江衢州·一模）如图1，四边形中，，平分，，（a为常数）且．记长为x，的值为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为________． 13．如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 14．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 15．（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数，若，则当时，随的增大而增大．其中正确的是_________（填写序号）． 16．（2026·甘肃武威·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 18．（8分）综合与实践： 【问题提出】如图（1）在中，，为的中点，点沿折线运动（运动到点停止），以为边在上方作正方形．设点运动的路程为，正方形的面积为． 【初步感悟】（1）当点在上运动时，①若，则　　　　　　； ②关于的函数关系式为　　　　　　； （2）当点从点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当时，的长为　　　　　　，此时关于的函数图象上点的坐标为　　　　　　； （4）连接正方形的对角线，两对角线的交点为，求点在内部时和的取值范围． 19．（8分）综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 20．（8分）（2026·福建·中考真题）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 21．（8分）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 22．（10分）数学跨学科综合实践不是“用数学做几道别的学科的题”，而是以数学为骨架，以现实问题为血肉，在不同学科的碰撞中提升综合思维、应用能力和创新意识．它回应了一个根本问题“学数学究竟有什么用？”——答案不再是“为了考高分”，而是“为了理解世界并改变它”．在数学跨学科综合实践学习中，善思学习小组在解决课本上一道练习题：如图①，在直线的同侧有两个和，连接，交于点，过点作直线，则有结论（无需证明）．融创学习小组敏锐的发现它与物理学科电阻知识的结论有点类似．电学有如下两个公式：如图②，在串联电路中，总电阻满足；如图③，在并联电路中，总电阻满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图③，两个电阻并联在同一电路中，已知，，请用无刻度直尺和圆规在图④中（1个单位长度代表）画出表示该电路图中总阻值的线段长（保留作图痕迹） (3)在如图⑤所示的等效电路图中，，，，为两个滑动变阻器且．电流表表示的数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由； (4)我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．请直接运用上述结论解决问题：现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围． 23．（10分）项目主题：“天眼”中的数学 “中国天眼”（）是当今世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．其核心工作原理是：望远镜在追踪天体时，反射面可实时调整形成瞬时抛物面，将平行入射的电磁波经反射后精准汇聚于馈源舱（信号接收器）． 为深入理解天眼抛物面反射信号的原理，“鹿鸣·博约”数学项目小组将空间抛物面的光学性质近似转化为平面抛物线问题进行了如下研究： 探究一：理解电磁波在抛物面上的反射 电磁波在平面镜上的反射符合光的反射定律，因而电磁波在抛物面上的反射可以近似转化成电磁波在平面镜上的反射． 如图，直线与抛物线交于点，直线过点且与抛物线只有一个公共点，与轴交于点，电磁波在抛物线上的反射，等同于电磁波在平面镜（直线）上的反射，反射电磁波与轴交于点．推理发现与之间的数量关系为： ① ． 探究二：性质研究 项目组尝试对直线一般化，计算直线的反射电磁波与轴的交点，发现均为同一个定点； 项目组又尝试对直线和同时一般化，计算直线在抛物线 上的反射电磁波与轴的交点坐标为 ② ，发现依然是同一个定点． 探究三：灵活运用 电磁波在抛物线上发生两次反射，入射电磁波和第二次反射后的电磁波之间距离为，则 ③ ． (1)求“探究一”中直线的函数表达式； (2)写成①处空缺的内容：________，并求点的坐标； (3)完成②处空缺的内容：________，并写出计算过程； (4)完成③处空缺的内容：________． 24．（12分）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $