1.1.1 空间向量共线定理与共面定理 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到综合应用再到思维拓展，适配新授课知识内化与能力进阶，培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|共线/共面定理辨析与简单应用|选择、填空题为主，如共线三点判断、命题正误辨析，强化概念理解| |提能力|定理在几何体中的迁移应用|解答题结合正方体，如证明四点共面、求共面参数，发展推理能力| |迎挑战|跨知识综合与充要条件证明|探究题综合体积计算与逻辑证明，如三棱锥体积求解、共面充要条件论证，提升创新意识|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.1.1 空间向量共线定理与共面定理 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（24-25高二上·福建福州·期中）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】利用空间向量平行证明三点共线即可. 【详解】因为，，若、、三点共线， 则，而无解，故A错误. 因为，若、、三点共线， 则，而无解，故B错误. 因为、、， 所以，即， 所以、、三点共线，故选C正确. 因为、、， 所以，若、、三点共线， 则，而无解，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高二上·广东佛山·阶段检测）（多选）（多选题）下列命题中不正确的是（       ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量，，满足，则∥ D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ 【答案】ABD 【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C 【详解】对于A，若，则与共线，与共线，但与不一定共线，所以A错误， 对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以与共线，所以∥，所以C正确， 对于D，若，，则不存在，使=λ，所以D错误， 故选：ABD 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线的判定定理结合平面向量基本定理逐项分析判断. 【详解】因为向量，向量为平面内两个不共线的单位向量， 且，， 对于选项A：若A、B、C三点共线，则，其中， 则，方程组无解， 所以A、B、C三点不共线，故A错误； 对于选项B：因为， 若A、C、D三点共线，则，其中， 则则，方程组无解， 所以A、C、D三点不共线，故B错误； 对于选项C：因为， 所以A、B、D三点共线，故C正确； 对于选项D：若B、C、D三点共线，则，其中， 则，方程组无解， 所以B、C、D三点不共线，故D错误； 故选：C. 4．（24-25高二上·湖北·阶段检测）在下列条件中，使点与点，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量定理，利用三个向量表示向量，其系数和为，则可得四点共面． 【详解】D选项中，，结合共面定理的推论，且ABD三个选项的系数和不为，所以不共面． C选项可化为：即，系数和为． 故选：C． 5．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（其中为实数） 【答案】B 【分析】根据向量共面的定义逐项分析即可. 【详解】对于A，设， 由与是不共面的向量，则，即方程组有解， 所以向量、、共面，故A错误； 对于B，设， 由与是不共面的向量，则，方程组无解， 所以向量、、不共面，故B正确； 对于C，设， 由与是不共面的向量，则，即方程组有解， 所以向量、、共面，故C错误； 对于D，设， 由与是不共面的向量，则， 当时，方程组有解为，此时向量、、共面， 当时，方程组无解，此时向量、、不共面， 所以向量、、不一定共面，故D错误. 6．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 7．（24-25高二下·江苏·期中）已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 【答案】 【分析】根据向量共面的基本定理计算即可求解. 【详解】， 因为四点共面，且为空间中任意一点， 所以，解得. 故答案为： 8．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 9．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是________．（填“平行”“相等”或“相反”） 【答案】平行 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】解：如图所示： 设G是AC的中点，连接EG，FG， 则， 所以， 从而∥． 故答案为：平行 10．（24-25高二上·全国·课后作业）有下列命题：①若，则，，，四点共线；②若 ，则，，三点共线；③若为不共线的非零向量， ， ，则；④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则.其中是真命题的是________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】利用共线向量的意义及定理判断①②③；利用共面向量定理判断④ 【详解】对于①，由，得或，，，四点共线，①错误； 对于②，，而有公共点，则，，三点共线，②正确； 对于③，由，得，③正确； 对于④，若不全为，不妨令， 由，得， 则共面，与向量是三个不共面的向量矛盾， 因此，④正确. 故答案为：②③④ 11．（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与是否共线. 【答案】 连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG， ∵E、F分别为AB、CD的中点. ∴. 又∵E、F、G三点共面， ∴，即与共线. 【分析】连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，然后利用三角形中位线定理和空间向量的线性运算将用表示，从而可证得结论 【详解】略 提能力 综合用 · 善迁移 12．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（    ） A．在平面内 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 【答案】C 【分析】根据空间向量运算得出即可判断. 【详解】因为 ， 所以，，，四点共面. 故选：C. 13．已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数_______. 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为： 14．如图所示，在正方体中，M、N、P、Q分别为、、、的中点，用共面向量定理证明M、N、P、Q四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】通过证明向量、、共面来证得四点共面. 【详解】令，，， 所以，， ， 设， ， 则，解得， 则．所以向量、、共面， 所以M、N、P、Q四点共面． 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】因为，所以， ， 令，则， 又，故点共面， 所以. 故选：B. 16．已知、、是空间三个不共线向量，求证：向量、、共面的充要条件是存在三个不全为零的实数、、，使． 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量共面的基本定理结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立. 【详解】证明：不妨设，使得，则， 所以，向量、、共面， 即“存在三个不全为零的实数、、，使”“向量、、共面”； 另一方面，因为、、是空间三个不共线向量，且向量、、共面， 则存在非零实数、使得，不妨设，设，， 则，， 则，整理可得. 所以，“向量、、共面”“存在三个不全为零的实数、、，使”. 因此，向量、、共面的充要条件是存在三个不全为零的实数、、，使. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.1.1 空间向量共线定理与共面定理 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（24-25高二上·福建福州·期中）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．（24-25高二上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列命题中不正确的是（       ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量，，满足，则∥ D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线 4．（24-25高二上·湖北·阶段检测）在下列条件中，使点与点，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（其中为实数） 6．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 7．（24-25高二下·江苏·期中）已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 8．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 9．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是________．（填“平行”“相等”或“相反”） 10．（24-25高二上·全国·课后作业）有下列命题：①若，则，，，四点共线；②若 ，则，，三点共线；③若为不共线的非零向量， ， ，则；④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则.其中是真命题的是________．（填序号） 11．（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与是否共线. 提能力 综合用 · 善迁移 12．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（    ） A．在平面内 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 13．已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数_______. 14．如图所示，在正方体中，M、N、P、Q分别为、、、的中点，用共面向量定理证明M、N、P、Q四点共面． 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 16．已知、、是空间三个不共线向量，求证：向量、、共面的充要条件是存在三个不全为零的实数、、，使． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $