1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦共线与共面向量，分层设计从基础概念到几何综合，通过正方体、三棱柱模型培养空间观念与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|共线向量判定、共面条件理解|选择1-5直接考查定义，填空11-12强化参数计算，夯实概念理解| |能力提升|几何模型应用（正方体/三棱柱）|选择6-10结合二次函数、动态参数（k），提升空间几何转化能力| |综合应用|共线共面综合证明|解答14通过重心性质证明四点共面，培养逻辑推理与数学表达|

1.1.1 空间向量及其线性运算 第2课时 共线向量与共面向量 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.若a，b不共线，而a＋3b与λa－b共线，则λ＝（　 　） A.3 B.－3 C. D.－ 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是（　 　） A.，， B.，， C.，， D.，， 3.（多选）已知空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出A，B，C，D四点共面的有（　 　） A.＝2＋3 B.＝3－－ C.∥ D.＝＋3－5 4．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（　 　） A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D．以上都不对 5.（多选）若a，b是平面α内的两个向量，则下列说法错误的是（　 　） A.α内任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） B.若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C.若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） D.若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） 6.已知点A，B，C不共线，O是空间任意一点，点P在平面ABC内，且＝y－x2＋x，则（　 　） A.y有最小值 B.y有最大值 C.y有最小值1 D.y有最大值1 7.已知向量e1，e2，e3不共线，＝e1－2e2＋e3，＝－5e1－6e2＋4e3，＝7e1＋2e2－2e3，则一定共线的三个点是（　 　） A.O，P，Q B.P，Q，R C.O，Q，R D.O，P，R 8.已知A，B，C是空间中不共线的三个点，若点O满足＋2＋3＝0，则下列说法正确的是（　 　） A.点O是唯一的，且一定与A，B，C共面 B.点O不唯一，但一定与A，B，C共面 C.点O是唯一的，但不一定与A，B，C共面 D.点O不唯一，也不一定与A，B，C共面 9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么点M必在（　 　） A.平面BAD1内 B.平面BA1D内 C.平面BA1D1内 D.平面AB1C1内 10.（多选）如图，已知在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k（0≤k≤1），则下列判断正确的是（　 　） A.与向量共面的一组向量是向量和向量 B.当k＝0时，MN在平面ABB1A1内 C.当k＝1时，MN在平面ABB1A1内 D.当0＜k＜1时，MN∥平面ABB1A1 二、填空题 11.已知a＝3m－2n－4p（a≠0），b＝（x＋1）m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＋y＝ . 12.已知向量a，b，c不共面，＝2a＋b，＝a＋c，＝b＋λc，若A，B，C，D四点共面，则实数λ的值为 . 三、解答题 13.已知空间中三个不共面的向量p，q，r，若a＝3p－2q－4r，b＝（x＋1）p＋yq＋2r，且a∥b，求实数x，y的值. 14.如图所示，四面体O－ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点. （1）试用向量a，b，c表示向量，； （2）试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面. 答案与解析 一、选择题 1.若a，b不共线，而a＋3b与λa－b共线，则λ＝（　D　） A.3 B.－3 C. D.－ 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是（　C　） A.，， B.，， C.，， D.，， 3.（多选）已知空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出A，B，C，D四点共面的有（　ACD　） A.＝2＋3 B.＝3－－ C.∥ D.＝＋3－5 4．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（　A　） A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D．以上都不对 5.（多选）若a，b是平面α内的两个向量，则下列说法错误的是（　ABC　） A.α内任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） B.若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C.若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） D.若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） 6.已知点A，B，C不共线，O是空间任意一点，点P在平面ABC内，且＝y－x2＋x，则（　A　） A.y有最小值 B.y有最大值 C.y有最小值1 D.y有最大值1 解析：因为P，A，B，C四点共面，所以y－x2＋x＝1，即y＝（x－）2＋，所以当x＝时，y有最小值.故选A. 7.已知向量e1，e2，e3不共线，＝e1－2e2＋e3，＝－5e1－6e2＋4e3，＝7e1＋2e2－2e3，则一定共线的三个点是（　D　） A.O，P，Q B.P，Q，R C.O，Q，R D.O，P，R 解析：若∥，则存在唯一实数λ使得＝λ. 故e1－2e2＋e3＝λ（－5e1－6e2＋4e3）， 所以 所以，不共线，则O，P，Q三点不共线； 若∥，则存在唯一实数λ使得＝λ， 即7e1＋2e2－2e3＝λ（－5e1－6e2＋4e3）， 所以 所以，不共线，则P，Q，R三点不共线； 若∥，则存在唯一实数λ使得＝λ， ＝＋＝－4e1－8e2＋5e3， 所以 所以，不共线，则O，Q，R三点不共线； 因为＝＋＝2e1－4e2＋2e3＝2，所以∥， 又P为两向量的公共点，所以O，P，R三点共线.故选D. 8.已知A，B，C是空间中不共线的三个点，若点O满足＋2＋3＝0，则下列说法正确的是（　A　） A.点O是唯一的，且一定与A，B，C共面 B.点O不唯一，但一定与A，B，C共面 C.点O是唯一的，但不一定与A，B，C共面 D.点O不唯一，也不一定与A，B，C共面 解析：由空间向量的知识可知a，b，c共面的充要条件为存在实数x，y，使c＝xa＋yb， 因为＋2＋3＝0， 所以＝－2－3， 所以，，共面， 又，，过同一点O，所以O，A，B，C四点共面， 因为＋2＋3＝0，所以（＋）＋2（＋）＝0，所以点O是唯一的.故选A. 9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么点M必在（　C　） A.平面BAD1内 B.平面BA1D内 C.平面BA1D1内 D.平面AB1C1内 解析：连接PA1，PD1，PB（图略）， 则＝＋7＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋6（－）－4（－） ＝11－6－4， 又11－6－4＝1， 所以M，B，A1，D1四点共面，所以点M必在平面BA1D1内. 10.（多选）如图，已知在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k（0≤k≤1），则下列判断正确的是（　ABD　） A.与向量共面的一组向量是向量和向量 B.当k＝0时，MN在平面ABB1A1内 C.当k＝1时，MN在平面ABB1A1内 D.当0＜k＜1时，MN∥平面ABB1A1 解析：连接B1A（图略）.因为＝k，＝k，所以＝＋＋＝k＋＋k＝k（＋）＋＝k（＋）＋＝k＋＝－k＝－k（＋）＝（1－k）－k，所以由向量共面的充要条件知向量与，共面，A正确.当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，B正确.当0＜k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由对于A的分析知与，共面，所以MN∥平面ABB1A1，故C不正确，D正确. 二、填空题 11.已知a＝3m－2n－4p（a≠0），b＝（x＋1）m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＋y＝　－5　. 12.已知向量a，b，c不共面，＝2a＋b，＝a＋c，＝b＋λc，若A，B，C，D四点共面，则实数λ的值为　－2　. 解析：因为A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的有序实数对（x，y），使得＝x＋y，即b＋λc＝x（2a＋b）＋y（a＋c）＝（2x＋y）a＋xb＋yc， 所以所以λ＝－2. 三、解答题 13.已知空间中三个不共面的向量p，q，r，若a＝3p－2q－4r，b＝（x＋1）p＋yq＋2r，且a∥b，求实数x，y的值. 解：因为a∥b，b≠0， 所以b＝λa（λ∈R），即（x＋1）p＋yq＋2r＝3λp－2λq－4λr. 又因为向量p，q，r不共面， 所以解得 故实数x，y的值分别为－，1. 14.如图所示，四面体O－ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点. （1）试用向量a，b，c表示向量，； （2）试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面. 解：（1）＝－＝－a， ＝＋＝＋＝＋（－）＝＋×（＋）－＝（＋＋）＝（a＋b＋c）. （2）证明：连接GH（图略），则＝－， 又＝＝×（＋）＝（b＋c）， 所以＝（b＋c）－（a＋b＋c）＝－a＝－， 又＝－，所以＝. 所以M，N，G，H四点共面. 页 学科网（北京）股份有限公司 $