专题20.2 二次根式的运算（2）（9大题型+能力训练） 【精英班课程】2025-2026学年 沪教版 （五四制）八年级数学上学期同步培优讲义

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题20.2 二次根式的运算（2） 知识点一、 分母有理化 有理化因式 1. 分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化。 分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 知识点二、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 知识点三、二次根式的应用 1. 二次根式的比较大小 ①能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大； ②不能化简成同类二次根式的： a.正数大于负数； b.同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大； 2．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型01：分母有理化因式 【例1】的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理化因式的定义：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．根据定义即可求解． 【详解】解：∵， 又 ∴ 故的有理化因式为 故选：A． 【例2】的有理化因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 【跟踪训练】 1．填空： （1）的有理化因式为 ； （2）的有理化因式为 ； （3）的有理化因式为 ； （4）的有理化因式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断，掌握分母有理化的应用是解题的关键． 【详解】解：（）的有理化因式为； （）的有理化因式为 ； （）﹣的有理化因式为 ； （）+2的有理化因式为； 故答案为：；；；． 2．的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了有理化因式．根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 3．下列无理数中，与相乘积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、化为最简二次根式 【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再进行判断． 【详解】解：∵，， ∴与相乘积为有理数的是， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法运算，化简是解题的关键． 4.下列各组中互为有理化因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据有理化因式的定义判断即可. 【详解】A. =,不符合题意;     B. =,不符合题意; C. =    ,符合题意; D. ·=,不符合题意; 故选C. 【点睛】本题考查有理化因式得定义,关键在于掌握定义化简判断. 题型02：分母有理化 【例3】分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，分子分母同时乘以，然后化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例4】计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先分母有理化，然后合并同类二次根式即可求解． 【解析】解： 【例5】化简：； 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算及分母有理化，原式进行分母有理化后再进行计算即可得出答案 【解析】解： 【跟踪训练】 1．分母有理化： ． 【答案】/ 【分析】分子分母同乘以，然后进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是熟练掌握分母有理化，平方差公式． 2．计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】 先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 解： 故答案为：． 【点睛】 本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，分母不变，分子利用完全平方公式和平方差公式变形，然后化简求解即可．解题的关键是将分子利用完全平方公式和平方差公式变形． 【解析】 ． 题型03：分母有理化的应用 【例6】已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】先对a、b分母有理化，然后将因式分解，最后将a、b的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，正确的对a、b因式分解是解答本题的关键． 【跟踪训练】 1.式子的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可． 【解析】解：的倒数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是熟练运用二次根式性质进行分母有理化． 2．如果的整数部分是a，小数部分是b，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，分母有理化，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．先对估算出大小，从而求出其整数部分a和小数部分是b，再进一步表示出分母有理化即可． 【详解】解：∵， ∴； ∴； ∴． 故答案为：． 题型04：比较二次根式的大小 【例7】比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解：， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 【例8】比较大小：______． 【答案】＞ 【分析】先求出与的倒数，然后进行大小比较． 【详解】∵ 而， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小． 【跟踪训练】 1.比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 2.已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2021×2023-2021×2022 =2021（2023-2022） =2021； ∵20242-4×2023 =（2023+1）2-4×2023 =20232+2×2023+1-4×2023 =20232-2×2023+1 =（2023-1）2 =20222， ∴b=2022； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 3.先观察解题过程，再解决以下问题： 比较与的大小． 解：，， ，又， （1）比较与的大小． （2）试比较与的大小． 【答案】（1）＜；（2）＜ 【分析】（1）根据示例中的方法，把与化为分子是1的数，再比较大小即可； （2）根据示例中的方法，把与化为分子是1的式子，再比较大小即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：＜； （2）∵()()=1，()()=1， ∴，， 又∵＞， ∴＜，即：＜． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键． 题型05：二次根式的混合运算 【例9】计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 【例10】计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的混合运算，将原式正确化简是解本题的关键． 根据二次根式的性质将原式进行化简，然后根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪训练】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的混合运算、绝对值的化简等知识．先将绝对值，二次根式化简，再合并即可． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，先算乘除，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3.计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用二次根式的性质是解题的关键．先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，最后进行加减运算，即可解题． 【详解】解：原式          ． 4.计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】 先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可求得结果． 解： =． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算． 题型06：解含二次根式的方程或不等式 【例11】解方程：． 【答案】 【分析】按照移项、合并同类项、把系数化为1进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴ ， ∴方程的解为． 【点睛】本题考查了解方程，涉及二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【例12】不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】先移项，再合并，即可求解． 【详解】解：， ∴， 即， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【跟踪训练】 1.解方程：． 【答案】 【分析】先去括号，然后再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确计算． 2.不等式的解集是 . 【答案】/ 【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 即 ∵， ∴ ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键． 3.不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】根据移项、合并同类项、把x系数化为1，然后把分母有理化，即可求出解集． 【详解】解： 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化1，可得：， 分母有理化，可得：， ∴不等式的解集是． 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式、二次根式分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型07：已知条件式，化简求值 【例13】已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 【答案】； 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算，根据二次根式被开方数的非负性可得、的值，将所求式子化简后代入、的值进行计算即可. 【详解】解：∵ ∴且， ∴， ∴， 当时， 原式 【例14】已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为正数数， ∴ ． 【跟踪训练】 1．先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算及分式的约分，掌握分式的约分运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．先化简，再求值：已知,求的值 【答案】 【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案． 【详解】 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质． 3.已知，， 求的值． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式， 首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解，最后代数求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 4．先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 5.已知，， （1）求，的值； （2）求的值． 【分析】（1）直接利用平方差公式分别化简各式进而计算得出答案； （2）利用（1）中所求，结合分母有理化的概念得出有理化因式，进而化简得出答案． 【解答】解：（1），， ， ； （2） ． 【点评】此题主要考查了分母有理化，正确得出有理化因式是解题关键． 6．已知则的值是 . 【答案】-14 【分析】根据已知的等式可知a,b为负数，再根据分式的运算得到=，再根据完全平方公式的变形即可求解. 【详解】∵ ∴a,b为负数， ∴= ===-14 故填：-14. 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知分式的运算及乘方公式的运用. 7．已知，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】通过完全平方公式求出，把待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示． 题型08：解决实际问题 【例15】2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】(1)米 (2)1400元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解： （米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元． 【跟踪训练】 1．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能截出 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板和宽进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵木板C为正方形，且面积为， ∴木板C的边长为：， 故答案为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：不能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，但 不能截出． 2.如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示：由题意可得：， ， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 3.小明同学从一张面积为的正方形I中剪出一个面积为的小正方形II，并按如图所示摆放，其中，，三点共线，线段 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，掌握正方形的性质是解题的关键．先求出，，由勾股定理可求解． 【详解】解：由题意，得：，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4.如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 【答案】(1) (2)585千克 【分析】本题考查二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据长方形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由大长方形的面积减去养鸡场的面积得到种植蔬菜的面积，进而乘以每平方米的产量即可求解． 【详解】（1）解：由题意，大长方形空地的周长为 ， 答：大长方形空地的周长为； （2）解：由题意，种植蔬菜的面积为 ， ∴（千克）， ∴张大伯种植蔬菜的总产量为585千克． 5．如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1)； (2)阴影部分图形的周长，阴影部分图形的面积 (3) 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据正方形的面积公式结合图形直接求解即可； （2）由（1）所求的长和宽，结合长方形的周长和面积公式求解即可； （3）先求出长方形的长为，宽为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：因为两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中， 所以阴影部分图形的长为，宽为； （2）解：阴影部分图形的周长． 阴影部分图形的面积． （3）解：由图2可知，， 长方形的长为，宽为， ． 题型09：阅读理解问题 【例16】[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 【跟踪训练】 1.阅读材料： 黑白双堆，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如，．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题： (1)的有理化因式可以是_____________，分母有理化得_____________． (2)①已知，，求的值． ②求的值． 【答案】(1)，； (2)①，② 【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可； （2）①将与分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果． ②原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式可以是， ， 故答案为：，； （2）解：依题意，①， ， 则 ． ②依题意， ． 2．阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 【答案】(1) (2)①3，；② 【分析】本题考查分母有理化，与无理数整数部分有关的计算： （1）根据分母有理化进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再根据无理数的估算方法，确定的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：； （2）①， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：3，； ②∵，， ∴． 一、选择题 1．（23-24八年级上·上海闵行·期中）的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分母有理化 【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理化因式的定义：两个含二次根式的非零代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一般地，的有理化因式是；的有理化因式是． 2（23-24八年级上上海实验西校期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分母有理化、平方差公式分解因式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 3．（2024上海八年级课时作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．利用二次根式的乘除法和加减法法则进行计算，逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意； B、，原式错误，故本选项不符合题意； C、，原式错误，故本选项不符合题意； D、，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级上市西中学期中）估计的值应在（   ）之间． A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，再算加减，然后再估算出的值的范围，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在到之间， 故选：C． 5．（2024上海八年级课时作业）若a＝，b＝2+，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将a乘以可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出的值． 【解析】a＝•＝． ∴． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式． 6．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的应用 【分析】将代入原式求得，将代入原式求得即可解答． 【详解】解：将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； 将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 2、 填空题 7．（23-24八年级上·上海崇明·期末）的一个有理化因式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 【详解】解：， ∴的一个有理化因式是， 故答案为：（答案不唯一）． 8.（23-24八年级上·上海徐汇期中）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，先根据二次根式的性质化简，然后分母有理化即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 9.（24-25八年级上·上海松江·期中）分母有理化： ； 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的分母有理化．利用了平方差公式分母有理化即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·上海嘉定·期中）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 11．（23-24八年级上·上海·单元测试）已知，，那么 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据平分差公式进行运算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【详解】解： ； 故答案为：． 13．（23-24八年级上·上海宝山期中）计算： ． 【答案】 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·上海青浦期中）的整数部分是（　　） A．3 B．5 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化，将各式进行分母有理化后再计算即可得出答案． 【详解】解： 原式 故选：C． 15．（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】分母有理化、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式以及分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． 不等式移项，然后合并同类项，系数化为1，利用分母有理化求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得． 故答案为：． 16．（23-24八年级上大同中学期中）已知：x＝（），y＝（），代数式x2﹣xy+y2＝ ． 【答案】22 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的化简求值 【分析】先算出x+y和xy的值，再整体代入x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy即可． 【详解】解：∵x＝（+），y＝（﹣）， ∴x+y＝（+）+（﹣）＝++﹣＝2， xy＝（+）（﹣）＝7﹣5＝2， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣3xy ＝（2）2﹣3×2 ＝28﹣6 ＝22， 故答案为：22． 【点睛】本题是比较典型的二次根式代入求值，一般像这种已知字母的值中含有二次根式的，多数是整体代入． 17．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 18．（23-24八年级上上海实验西校期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，将代入中结合平方差公式进行运算，即可解题． 【详解】解：第2个数，当时， ， 故答案为：1． 三、解答题 19．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．先计算二次根式的乘法和分母有理化，再加减求解即可． 【详解】解： ． 20．（23-24八年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式加减运算，先分母有理化，化简二次根式，再加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 21．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：. 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 22．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 【答案】1 【知识点】分式化简求值、利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据的大小化简是解题的关键．先将分子和分母分解因式，并根据二次根式的性质化简，再约分，最后代入计算即可． 【详解】解： 原式 当时 原式 23．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）解不等式：． 【答案】 【分析】先化简二次根式，然后根据解不等式的方法和步骤解不等式即可； 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的化简、二次根式的混合运算、解一元一次不等式；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 24．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】2015 【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形，进而代入得出答案． 【详解】解：∵x， y， ． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键． 25．（23-24八年级上·上海浦东新区期中）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 【答案】(1) (2)585千克 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据长方形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由大长方形的面积减去养鸡场的面积得到种植蔬菜的面积，进而乘以每平方米的产量即可求解． 【详解】（1）解：由题意，大长方形空地的周长为 ， 答：大长方形空地的周长为； （2）解：由题意，种植蔬菜的面积为 ， ∴（千克）， ∴张大伯种植蔬菜的总产量为585千克． 26．阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________． ； (2)比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 【答案】(1)， (2) (3)2021 (4)7 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，平方差公式． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； （3）解：原式 ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（24-25八年级上文来中学期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题20.2 二次根式的运算（2） 知识点一、 分母有理化 有理化因式 1. 分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化。 分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 知识点二、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 知识点三、二次根式的应用 1. 二次根式的比较大小 ①能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大； ②不能化简成同类二次根式的： a.正数大于负数； b.同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大； 2．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型01：分母有理化因式 【例1】的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【例2】的有理化因式是 ． 【跟踪训练】 1．填空： （1）的有理化因式为 ； （2）的有理化因式为 ； （3）的有理化因式为 ； （4）的有理化因式为 ． 2．的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 3．下列无理数中，与相乘积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 4.下列各组中互为有理化因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型02：分母有理化 【例3】分母有理化： ． 【例4】计算： 【例5】化简：； 【跟踪训练】 1．分母有理化： ． 2．计算：______． 3．计算： 题型03：分母有理化的应用 【例6】已知，，则的值是 ． 【跟踪训练】 1.式子的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．如果的整数部分是a，小数部分是b，那么的值是 ． 题型04：比较二次根式的大小 【例7】比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【例8】比较大小：______． 【跟踪训练】 1.比较大小： （1） ； （2） ． 2.已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 3.先观察解题过程，再解决以下问题： 比较与的大小． 解：，， ，又， （1）比较与的大小． （2）试比较与的大小． 题型05：二次根式的混合运算 【例9】计算：． 【例10】计算：． 【跟踪训练】 1．计算：． 2．计算：． 3.计算： 4.计算：． 题型06：解含二次根式的方程或不等式 【例11】解方程：． 【例12】不等式的解集是 ． 【跟踪训练】 1.解方程：． 2.不等式的解集是 . 3.不等式的解集是 ． 题型07：已知条件式，化简求值 【例13】已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 【例14】已知，求的值． 【跟踪训练】 1．先化简，再求值：已知，求的值． 2．先化简，再求值：已知,求的值 3.已知，， 求的值． 4．先化简，后求值：，其中，． 5.已知，， （1）求，的值； （2）求的值． 6．已知则的值是 . 7．已知，那么的值等于 ． 题型08：解决实际问题 【例15】2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【跟踪训练】 1．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 2.如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ． 3.小明同学从一张面积为的正方形I中剪出一个面积为的小正方形II，并按如图所示摆放，其中，，三点共线，线段 ． 4.如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 5．如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 题型09：阅读理解问题 【例16】[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【跟踪训练】 1.阅读材料： 黑白双堆，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如，．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题： (1)的有理化因式可以是_____________，分母有理化得_____________． (2)①已知，，求的值． ②求的值． 2．阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 一、选择题 1．（23-24八年级上·上海闵行·期中）的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 2（23-24八年级上上海实验西校期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024上海八年级课时作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上市西中学期中）估计的值应在（   ）之间． A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11 5．（2024上海八年级课时作业）若a＝，b＝2+，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 7．（23-24八年级上·上海崇明·期末）的一个有理化因式是 ． 8.（23-24八年级上·上海徐汇期中）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 9.（24-25八年级上·上海松江·期中）分母有理化： ； 10．（23-24八年级上·上海嘉定·期中）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 11．（23-24八年级上·上海·单元测试）已知，，那么 ． 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 13．（23-24八年级上·上海宝山期中）计算： ． 14．（23-24八年级上·上海青浦期中）的整数部分是（　　） A．3 B．5 C．9 D．6 15．（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集是 ． 16．（23-24八年级上大同中学期中）已知：x＝（），y＝（），代数式x2﹣xy+y2＝ ． 17．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 18．（23-24八年级上上海实验西校期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 20．（23-24八年级上·上海松江·期末）计算：． 21．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：. 22．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 23．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）解不等式：． 24．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知，，求代数式的值． 25．（23-24八年级上·上海浦东新区期中）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 26．阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________． ； (2)比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 27．（24-25八年级上文来中学期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $