第20章 二次根式（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

第20章 二次根式 教学目标 1. 二次根式及其性质； 2. 利用二次根式的性质化简二次根式； 3. 最简二次根式与同类二次根式； 4. 二次根式的运算；分母有理化； 5. 二次根式的应用。 教学重难点 1.重点 （1）理解二次根式的有关概念，根据概念求参数值或取值范围； （2）会化简二次根式，根据条件化简二次根式、根据化简结果求参数范围； （3）掌握二次根式的运算及其应用。 2.难点 （1）复合二次根式的化简； （2）二次根式的综合应用。 知识点1 二次根式 1.二次根式：形如的代数式(其中a 为有理式),叫作二次根式.例如，、、、、等，都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：在实数范围内，负数没有平方根，所以如、(b<0) 这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0,即a≥0. 易知≥0，所以二次根式具有“双重非负性”。它与前面学的算术平方根的“双重非负性”是一致的。 【即学即练】 1．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如果，那么的值为 ． 4．若，则 ． 知识点2 二次根式的性质与化简 Ⅰ、二次根式的性质 1. 性质1：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 2. 性质2： 性质3 =· (a≥0,b≥0). 性质4 (a≥0,b>0). Ⅱ、二次根式的化简 1.被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外 一般地，根据性质3,设a≥0,那么 =·=|b|. 完全平方式：形如A²(A为整式)的代数式称为完全平方式，如b²、(a+b)². 2.化去被开方数中的分母 根据性质4,设≥0,那么 这说明，如果二次根式里被开方数含有分母，那么可以将分子和分母同乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母用它的算术平方根代替后移到根号外面作为新的分母，从而化去被开方数中的分母. 3.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 4.二次根式的第二形式：为了方便，我们常把形如(其中a、b为有理式)的代数式也称为二次根式，如、、-等. 【即学即练】 1． 2．化简： ． 3．若是正整数，则整数不能是（   ） A．2 B．4 C．8 D．32 4．将根号外的因式移到根号内得 ． 5．已知，那么化简的结果是（　　） A． B． C． D． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 知识点3 最简二次根式 同类二次根式 1.最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 说明：被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 例如，与是同类次根式,而与不是同类二次根式. 要点： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 【即学即练】 1．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 知识点4 二次根式的运算 1.二次根式的乘法法则：.= (a≥0,b≥0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点： (1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数； (2) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 　 （a1≥0，a2≥0，a3≥0,.......an≥0）; (3) 在二次根式的乘法运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 2.二次根式的除法法则： (a≥0,b>0), 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化成最简二次根式，最后结果中分母不能带根号. 3.二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 要点： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 【即学即练】 1．计算：． 2．计算：． 3．不等式的解集是 知识点5 分母有理化 二次根式的混合运算 1.分母有理化 思考：把代数式和中分数线下的式子看作分母，前一个分母是根式，后一个分母是整式，这两个分母之间有什么关系？怎样把转化为3b? 把的分数线上，下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法的法则可得 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化。分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 2.有理化因式 思考： 利用平方差公式，得 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 3.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【即学即练】 1．写出一个的有理化因式 ． 2．分母有理化： ． 3．计算： 题型01 判断二次根式 【典例1】．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列式子中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型02 二次根式有意义的条件 【典例1】．二次根式中x的取值范围是（    ） A．x 3 B．x3 C．x3 D．x<3 【变式1】．若一次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型03 最简二次根式 【典例1】．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】．下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型04 同类二次根式 【典例1】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列二次根式中，不能与 合并的是（    ） A． B． C． D． 题型05 比较二次根式的大小 【典例1】．比较大小： ． 【变式1】．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 题型06 二次根式的化简综合 【典例1】．计算： ． 【变式1】． 【变式2】．化简： ． 【变式3】．化简： ． 【变式4】．化简： ． 【变式5】．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简的结果是 ． 【变式6】．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【变式7】．当时，的化简结果（    ） A． B． C． D． 【变式8】．化简二次根式得（    ） A． B． C． D． 题型07 根据二次根式的性质或化简结果求参数范围 【典例1】．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式1】．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型08 有理化因式 【典例1】．的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．的一个有理化因式是 ． 题型09 分母有理化 【典例1】．分母有理化： ． 【变式1】．计算： ． 题型10 二次根式的化简、运算综合辨析 【典例1】．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．对所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是（        ） A． B． C．= D． 【变式3】．下列说法错误的个数为（ ）个． （1）；（2）的倒数是； （3）；（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11 二次根式的应用—解不等式 【典例1】．不等式的解集是 ． 【变式1】．不等式的解集是 ． 题型12 二次根式的其他应用 【典例1】．如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，，那么 ． 【变式2】．若a，b为有理数，且，则 ． 题型13 解答题 【典例1】．计算： 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： 【变式4】．计算： 【变式5】．已知：，，求代数式的值． 【变式6】．先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【变式7】．对于两个含有根号的无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”． (1)求的“友好无理数”； (2)请你再写出一组符号不同的“友好无理数”，并说明理由． 【变式8】．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列结论正确的是（   ） A． B．不是最简二次根式 C． D． 4．如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 5．当时，代数式的值是（   ） A． B．1 C． D． 6．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．比较大小∶ （填“”或“”符号）． 8．计算： ． 9．计算： ． 10．要使得代数式有意义，那么的取值范围是 ． 11．计算： ． 12．化简的结果是 ． 13．在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是： ． 14．化简： ． 15．已知，，则的值为 ． 16．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20章 二次根式 教学目标 1. 二次根式及其性质； 2. 利用二次根式的性质化简二次根式； 3. 最简二次根式与同类二次根式； 4. 二次根式的运算；分母有理化； 5. 二次根式的应用。 教学重难点 1.重点 （1）理解二次根式的有关概念，根据概念求参数值或取值范围； （2）会化简二次根式，根据条件化简二次根式、根据化简结果求参数范围； （3）掌握二次根式的运算及其应用。 2.难点 （1）复合二次根式的化简； （2）二次根式的综合应用。 知识点1 二次根式 1.二次根式：形如的代数式(其中a 为有理式),叫作二次根式.例如，、、、、等，都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：在实数范围内，负数没有平方根，所以如、(b<0) 这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0,即a≥0. 易知≥0，所以二次根式具有“双重非负性”。它与前面学的算术平方根的“双重非负性”是一致的。 【即学即练】 1．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：，被开方数为（负数），不符合非负条件，故不是二次根式，故此选项不符合题意； B：，被开方数为．当时，被开方数非负，但题目未限定的范围，无法保证其始终有意义，故此选项不符合题意； C：，被开方数7是正数，根指数为2，完全符合二次根式定义，故此选项符合题意； D：，根指数为3，属于三次根式，而非二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、解一元一次不等式，二次根式中被开方数必须是非负数，所以可得，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得：． 故选：D． 3．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 4．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 知识点2 二次根式的性质与化简 Ⅰ、二次根式的性质 1. 性质1：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 2. 性质2： 性质3 =· (a≥0,b≥0). 性质4 (a≥0,b>0). Ⅱ、二次根式的化简 1.被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外 一般地，根据性质3,设a≥0,那么 =·=|b|. 完全平方式：形如A²(A为整式)的代数式称为完全平方式，如b²、(a+b)². 2.化去被开方数中的分母 根据性质4,设≥0,那么 这说明，如果二次根式里被开方数含有分母，那么可以将分子和分母同乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母用它的算术平方根代替后移到根号外面作为新的分母，从而化去被开方数中的分母. 3.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 4.二次根式的第二形式：为了方便，我们常把形如(其中a、b为有理式)的代数式也称为二次根式，如、、-等. 【即学即练】 1． 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 直接根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简． 先比较和的大小，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．若是正整数，则整数不能是（   ） A．2 B．4 C．8 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 将的值分别代入逐一验证选项即可确定答案． 【详解】解：A.当时，，故该选项不符合题意； B. 当时，，不是正整数，故该选项符合题意； C. 当时，，故该选项不符合题意； D. 当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．将根号外的因式移到根号内得 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 5．已知，那么化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．将根号内的式子化为完全平方形式，再利用二次根式的性质及已知条件进行化简即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴上点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，是解题关键．根据数轴可得，进而可得，再根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：C． 知识点3 最简二次根式 同类二次根式 1.最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 说明：被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 例如，与是同类次根式,而与不是同类二次根式. 要点： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 【即学即练】 1．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，先把二次根式化为最简二次根式后，根据被开方数相同的二次根式就是同类二次根式判断即可． 【详解】解：．，与是同类二次根式，故该选项符合题意； ．，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是同类二次根式，故该选项不符合题意； ．与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查最简二次根式；根据最简二次根式的定义及二次根式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，不符合题意； B． 是最简二次根式，符合题意； C． ，不是最简二次根式，不符合题意； D． ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键．根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故答案为：2， 知识点4 二次根式的运算 1.二次根式的乘法法则：.= (a≥0,b≥0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点： (1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数； (2) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 　 （a1≥0，a2≥0，a3≥0,.......an≥0）; (3) 在二次根式的乘法运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 2.二次根式的除法法则： (a≥0,b>0), 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化成最简二次根式，最后结果中分母不能带根号. 3.二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 要点： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 【即学即练】 1．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 3．不等式的解集是 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，移项，合并同类项，一次项系数化为，即可求解；掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案为：． 知识点5 分母有理化 二次根式的混合运算 1.分母有理化 思考：把代数式和中分数线下的式子看作分母，前一个分母是根式，后一个分母是整式，这两个分母之间有什么关系？怎样把转化为3b? 把的分数线上，下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法的法则可得 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化。分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 2.有理化因式 思考： 利用平方差公式，得 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 3.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【即学即练】 1．写出一个的有理化因式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分母有理化，有理化因式是指两个含有根式的代数式，当它们相乘时，它们的积不含有根式，这样的两个代数式互称为有理化因式，由此判断即可． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一）． 2．分母有理化： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的性质，先根据二次根式的性质化简，结合分母有理化性质化简，再运用加减，即可作答． 【详解】解： ． 题型01 判断二次根式 【典例1】．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的被开方数为非负数，逐一分析即可． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意； B、因，则是二次根式，故本选项不符合题意； C、，由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意； D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】．下列式子中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的概念进行分析判断． 【详解】解：A、中，，∴原式没有意义，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、∵，∴原式一定是二次根式，故此选项符合题意； D、中，不一定是非负数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的定义，完全平方公式，理解二次根式的定义是解决问题的关键． 题型02 二次根式有意义的条件 【典例1】．二次根式中x的取值范围是（    ） A．x 3 B．x3 C．x3 D．x<3 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”，列不等式求解． 【详解】根据题意，得 3−x≥0，解得x≤3． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式的性质． 【变式1】．若一次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的定义的理解与掌握情况．形如的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数．正确理解只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义是解本题的关键．根据二次根式的定义，令二次根式的被开方数大于或等于零即可求出结论． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：A． 题型03 最简二次根式 【典例1】．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 根据最简二次根式的定义对选项逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； B.该选项是最简二次根式，故符合题意； C. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； D. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 【变式1】．下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，不是二次根式，不符合题意；     C. ，符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：Ｃ． 题型04 同类二次根式 【典例1】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意． 故选：C ． 【变式1】．下列二次根式中，不能与 合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、能与合并，不符合题意； B、不能与合并，符合题意； C、能与合并，不符合题意； D、能与合并，不符合题意； 故选：B 题型05 比较二次根式的大小 【典例1】．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式性质的应用，把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 【变式1】．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故答案为： 题型06 二次根式的化简综合 【典例1】．计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握． 先根据二次根式性质将转化为，再计算绝对值得到结果． 【详解】根据二次根式的性质（为任意实数），对于，这里，则， 又因为绝对值的定义是：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，是负数， 所以，即． 故答案为：． 【变式1】． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的性质直接化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】 【变式2】．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法，逆用二次根式的乘法，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，直接根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为；． 【变式4】．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式的化简．根据题意知，然后根据平方根的性质化简． 【详解】解：由知，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5】．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴．由数轴得到，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴ ， 故答案为：． 【变式6】．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 【变式7】．当时，的化简结果（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，． 【变式8】．化简二次根式得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质可得b＜0，再利用=|a|进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∵a＜0， ∴b3＜0， ∴b＜0， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质=|a|是解题的关键． 题型07 根据二次根式的性质或化简结果求参数范围 【典例1】．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，以及分母不等于零,本题属于基础题． 【变式1】．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合完全平方公式对被开方式子进行变形，然后利用二次根式的性质进行化简，从而结合绝对值的意义作出分析判断． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质，理解相关公式是解题关键． 题型08 有理化因式 【典例1】．的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理化因式．根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 【变式1】．的一个有理化因式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子． 一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴的一个有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）． 题型09 分母有理化 【典例1】．分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，分子分母同时乘以，然后化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型10 二次根式的化简、运算综合辨析 【典例1】．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的相关定义和性质是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简逐项判断即可． 【详解】解：A. ，计算错误，故选项不符合题意； B. ，二次根式的被开方数不能是负数，和都无意义，计算错误，故选项不符合题意； C. ，计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 【变式1】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简二次根式，二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则与二次根式的化简逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、，故正确； B、，故错误； C、，故错误； D、，故错误； 故选：A． 【变式2】．对所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是（        ） A． B． C．= D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键．利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，，当时，，故A不一定成立； 当都小于0时，，故B不一定成立； ，故C不成立； ，故D成立， 故选：D． 【变式3】．下列说法错误的个数为（ ）个． （1）；（2）的倒数是； （3）；（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次根式运算法则和二次根式性质，判定每个式子的正误即可得出答案． 本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 【详解】解：（1），故错误； （2）的倒数为，故错误； （3）当时，，故错误； （4），故正确； ∴符合题意的有3个； 故选：C． 题型11 二次根式的应用—解不等式 【典例1】．不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，先根据不等式的性质得到，再把不等式右边分母有理化即可得到答案． 【详解】解：∵，且，即， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【变式1】．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，分母有理化等知识，先移项，合并同类项，然后根据分母有理化求解即可． 【详解】解∶， ， ， ∴，即， 故答案为：． 题型12 二次根式的其他应用 【典例1】．如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分母有理化，先把分母有理化即可得出答案. 【详解】解：。 ∵， ∴， 故选：B. 【变式1】．已知，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据平分差公式进行运算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式2】．若a，b为有理数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加法运算，二次根式的性质化简，原式先化简，再合并即可求出结论 【详解】解： ∵a，b为有理数，且， ∴， 故答案为： 题型13 解答题 【典例1】．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及二次根式性质、平方差公式等知识，首先利用二次根式性质化简，再由二次根式混合运算求解即可得到答案．熟练掌握二次根式的性质、二次根式混合运算法则及平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）关键二次根式加减乘除的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算，分母有理化计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）） ． 【变式3】．计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简及加减运算，根据二次根式的性质和运算法则求解即可． 【详解】解：由题意，，则 ． 【变式4】．计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，分母不变，分子利用完全平方公式和平方差公式变形，然后化简求解即可．解题的关键是将分子利用完全平方公式和平方差公式变形． 【详解】 ． 【变式5】．已知：，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用平方差公式分别计算出、的值，代入中计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， 【变式6】．先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，先计算出，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ， ． 【变式7】．对于两个含有根号的无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”． (1)求的“友好无理数”； (2)请你再写出一组符号不同的“友好无理数”，并说明理由． 【答案】(1) (2)和（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了一元一次方程，分母有理化以及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂题意． （1）设的“友好无理数”是a，根据“友好无理数”的定义解答即可； （2）根据“友好无理数”的定义，写出一组符号不同的即可； 【详解】（1）解：设的“友好无理数”是a， 则， 故， ∴的“友好无理数”是； （2）解：一组符号不同的“友好无理数”，如和． 理由：， ， 即， 故和是“友好无理数”． 【变式8】．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加法，减法，乘法法则，性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、：根据二次根式乘法法则，，则，但选项A结果为，显然A错误； B、 ：直接计算得，，故，而，因此选项B错误； C、 ：合并同类二次根式，系数相减：，与选项C结果一致，故正确； D、 ：先计算被开方数：，则，但选项D结果为，显然D错误； 故选：C 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的判断，先将各选项化简，再找到被开方数为的选项即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； C、与的被开方数相同，故是同类二次根式； D、与的被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选C． 3．下列结论正确的是（   ） A． B．不是最简二次根式 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，最简二次根式的定义，二次根式的除法计算，根据可判断A、C；被开方数不含有分母且被开方数不含有开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可判断B；根据二次根式除法计算法则可判断D． 【详解】解：A、，原结论错误，不符合题意； B、是最简二次根式，原结论错误，不符合题意； C、，原结论错误，不符合题意； D、，原结论正确，符合题意； 故选：D． 4．如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是数形结合，计算出两个小正方形的边长即可求解． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 两个小正方形的边长为：，， 原正方形边长为：， 故选：B． 5．当时，代数式的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的化简，直接利用，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选C 6．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为， 则， 所以其面积， 的值为． 故选：A． 二、填空题 7．比较大小∶ （填“”或“”符号）． 【答案】 【分析】可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ，， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，掌握比较方法是解题的关键． 8．计算： ． 【答案】4 【分析】根据解答即可． 本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：4． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先根据二次根式的性质化简，再计算减法即可． 【详解】解：； 故答案为：． 10．要使得代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：若代数式有意义， 则有且， 解得且． 故答案为：且． 11．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的除法，利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为： 12．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13．在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是： ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、实数与数轴、二次根式的加减，分两种情况：当这个点在左边时；当这个点在右边时；分别列出式子，计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：， 当这个点在右边时，这个点对应的数为：， 综上所述，表示到这个点的距离为的点对应的数是：或， 故答案为：或． 14．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 当，，原式， 故答案为：8． 16．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，则，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$