10.1.1平方根 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册 (1)

该初中数学课件聚焦“平方根”核心知识，涵盖概念、性质、算术平方根及开平方运算。课堂导入通过“温故知新”梳理数系扩充（自然数→整数→有理数）和运算逆关系（如乘法与除法），再以正方形面积问题引出新知，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于知识体系连贯且结合现实情境，通过数系扩充和运算逆关系铺垫培养抽象能力（数学眼光），情境引入从实际问题抽象数学问题发展创新意识，概念生成用具体例子归纳性质培养推理意识（数学思维）。学生能构建知识网络理解本质，教师可获得清晰教学逻辑与丰富资源。

第10章 数的开方（章起始课） 10.1.1 平方根 1 数学是研究数量关系和空间形式的科学，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律． “数”是数学中的基本概念，是数量的抽象．数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃．一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平． 温故知新 现在我们一起来回顾一下运算的发展与数系的扩充． 温故知新 自然数 加法 2 + 3 = 5 加数+加数= 和 3 = 5 2 被减数减数 差= 减法 引入减号 逆运算 温故知新 自然数 加法 7 + x = 5 加数+加数= 和 x = 5 7= 2 被减数减数 差= 减法 引入减号 +负整数 整数 乘法 7 × 6 = 42 乘数×乘数=积 6 = 42 ÷ 7 商=被除数÷除数 除法 引入除号 引入乘号 重复加 逆运算 逆运算 温故知新 自然数 加法 7 + x = 5 加数+加数= 和 x = 5 7 被减数减数 差= 减法 引入减号 +负整数 整数 乘法 7 × x = 4 乘数×乘数=积 x = 4 ÷ 7 商=被除数÷除数 除法 引入除号 引入乘号 重复加 逆运算 逆运算 +分数 有理数 在整范围内无解 温故知新 整数 有理数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 自然数 温故知新 自然数 +负整数 整数 乘法 7 × x = 4 乘数×乘数=积 x = 4 ÷ 7 商=被除数÷除数 除法 引入除号 逆运算 +分数 有理数 乘方 22 = 4，23=8，24=16，⋯ 底数指数=幂 引入乘方 重复乘 x = ？ 温故知新 自然数 +负整数 整数 乘法 7 × x = 4 乘数×乘数=积 x = 4 ÷ 7 商=被除数÷除数 除法 引入除号 逆运算 +分数 有理数 平方 x2 = 2 底数指数=幂 引入乘方 重复乘 在有理数范围内无解 引入新运算 引入新的数的表达方式 情境引入 要剪出一张面积为25cm2的正方形纸片，正方形的边长应为多少？ 已知一个数的平方等于25，求这个数． 这个问题的本质是什么？ 5cm 概念生成 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 问题回顾：已知一个数的平方等于25，求这个数． 又因为（5）2=25，所以 5 也是 25 的一个平方根. 解：因为52=25，所以 5 是 25 的一个平方根. 概括 除了5和 5 外，任何数的平方都不等于25． 所以25的平方根是5和 5. 也可以说25的平方根是± 5. 根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来求一个数的平方根． 例题分析 解：因为102=100，（10）2=100， 除了10和 10 外，任何数的平方都不等于100． 所以100的平方根是± 10. 求 100 的平方根. 例1 学以致用 1. 144 的平方根是什么？ 2. 0 的平方根是什么？ 3. 4 有没有平方根？为什么？ 试一试 ±12 0 4 没有平方根，因为任何数的平方都不等于负数. 请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答. 通过这些题目的解答，你有什么发现？ 思考：正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？ 归纳小结 1. 正数有两个平方根，且互为相反数. 概括 2. 0的平方根只有一个，就是0. 3. 负数没有平方根. 平方根的性质 概念生成 正数有两个平方根，且互为相反数. 正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”; 另一个平方根是算术平方根的相反数，即 . 因此，正数a的平方根可以记作 ，其中a称为被开方数. 0的平方根只有一个，就是0. 特殊：0 的平方根也叫0的算术平方根，记作 ，即 . 例题新解 解：因为100的算术平方根为 ， 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方． 求 100 的平方根. 例1 所以100的平方根为 ， 思考：将一个正数开平方的关键是什么？ 找出这个数的算术平方根 类比迁移 自然数 +负整数 整数 乘法 7 × x = 4 乘数×乘数=积 x = 4 ÷ 7 商=被除数÷除数 除法 引入除号 逆运算 +分数 有理数 平方 x2 = 2 底数指数=幂 引入乘方 重复乘 引入新运算 引入新的数的表达方式 开平方 逆运算 例题分析 将下列各数开平方： 例2 （1）49; （2） ． 解：（1）因为72=49，所以 ， 因此49的平方根为 . （2）因为 ，所以 ， 因此 的平方根为 . 例题分析 思考：将2025 开平方的结果是多少？如何计算呢？ 在例1、例2、中，我们是通过观察，利用开平方与平方的关系来求平方根的. 对于无法利用上述方法平方根的. 通常可以借助计算器直接求出一个正数的算术平方根（有时会是近似值）. 计算方法：在计算器上依次键入： 被开方数 = 解： 在计算器上依次键入： 2025 = 显示结果为45，所以2025的平方根为± 45. 例题分析 用计算器求下列各数的算术平方根： 例3 （1）529; （2）44.81（精确到0.01）． 显示结果为 6.694027188⋯，要求精确到0.01，所以44.81的算术平方根为 解：（1）本小题的按键顺序是： 529 = 显示结果为23，所以529的算术平方根为 . （2）本小题的按键顺序是： 44.81 = 课堂练习 A.1个 B.2个 C.3个 D.5个 A 2. 已知 a 是(－5)2的平方根， b 是 的算术平方根，则 a－b 的值 为 ⁠. －14或－4　 1. 有下列说法: ①16的平方根是4；② 的算术平方根是2；③0.01是0.1的平方根; ④7是(－7)2的算术平方根；⑤ ＝±5. 其中正确的有 (　　) 课堂练习 3. 已知一个数m的平方根是2a－1和a－11，求这个数. 解:由题意得：2a－1＋a－11＝0，得a＝4， 所以2a－1＝2×4－1＝7. 所以这个数为m＝72＝49. 4. 说出下列各数的平方根 ⁠. （1）6400; （2）0.25； （3） ． ±80 ±0.5 课堂小结 1. 通过“平方根”的学习，你有哪些收获？ 1. 一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 2. 0的平方根还是0. 3. 负数没有平方根. 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根.记作 . 一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根.记作 . 依次键入： 被开方数 = 概念 性质 算术平方根 用计算器求一个数的算术平方根 平方根 课堂小结 1. 通过“平方根”的学习，你有哪些收获？ 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算． 随着运算的发展，数系在不断扩充，从整数、分数到有理数，数的意义在拓展，表达方式也各有不同，但他们的本质是一致的，都是对数量的抽象． 2. 完成本节课的学习后，你还想继续探究什么？ 类比“平方与开平方的关系，以及平方根的定义”，研究立方的逆运算． 课后作业 2. 下列式子中正确的是（ ） 1. （1）16的算术平方根记为 ，化简得 ； （2） 25的平方根记为 ，化简得 ； （3）平方根等于它本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ． 基础作业（必做题） A. B. C. D. 3. 若 ，且a为整数，则a = ． 课后作业 5. 求下列各数的平方根 （1）144 ; （2）1.69 ; （3） ． 4. 计算下列各式： （1） ; （2） ． 基础作业（必做题） 课后作业 2. 若代数式 有意义，则x的取值范围是 ． 1. 根据平方根的定义解下列方程： （1） ; （2） （3） ． 拓展作业（选做题） 3. 若 ，则 ． 谢谢观看 Thank you $