10.1.1.平方根 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“平方根”核心内容，涵盖平方根与算术平方根的概念、性质、求法及开平方运算，通过“正方形面积求边长”情境导入，结合填表活动引导学生发现“已知正数平方求正数”的本质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，通过逆运算推理和分层例题（整数、分数、小数）发展数学思维，用规范符号（±√a）强化数学语言。系统小结梳理知识，助力学生构建体系，教师可直接用于教学，提升效率。

10.1.1.平方根 第10章 数的开方 22251 1.理解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根. 2. 会求某些数的平方根、算术平方根. 3.会用计算器求一个非负数的算术平方根. 22251 正方形的面积为25,边长是多少？ ( )2＝25. 要剪出一张面积为25的正方形纸片，正方形的边长应是多少？ 22251 知识点一 平方根的概念 概括 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 在问题1中，因为62=36，所以6是36的平方根. 36的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于36？ 又因为(-6)2=36，所以-6也是36的一个平方根. 根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来求一个数的平方根. 22251 因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根.也可以说:9的平方根是3和-3. 求法 根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根. 22251 问题1 本章导图中提出的问题,就是已知正方形的面积为25 cm2, 求这个正方形的边长. 这个正方形的边长是5 cm. 问题2 若正方形的面积如下，请填表： 正方形的面积/cm2 1 4 9 16 25 36 正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 思考：你发现问题1、2有哪些共同的点吗？ 上述问题的实质都是已知一个正数的平方，求这个正数. 22251 如果一个数的平方等于a，即x2=a，那么这个数叫做a的平方根. 例：5的平方等于25，所以5叫做25的平方根. 25的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于25？ 因为5和-5的平方都等于25，我们就说5和-5是25的平方根. 也可以说:25的平方根是5和-5. 求法：根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根. 22251 1. 144的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？ 3. 的平方根是什么？ 4. -4有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数 试一试 22251 试 一 试 （1）144的平方根是什么？ （2）0的平方根是什么？ （3）-4有没有平方根？为什么？ ±12 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数. 通过这些题目的解答，你能发现什么？ 思考：正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？ 22251 例1 求100的平方根. 解：因为102＝100， (-10)2 ＝100， 除了10和-10以外， 任何数的平方都不等于100， 所以100的平方根是10和-10. 也可以说，100的平方根是±10. 22251 平方根的性质： 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 2.0的平方根是0. 3.负数没有平方根. 22251 例2.求下列各数的平方根： （1） ； （2）0.36； （3）324. 解：（1）因为 ，所以 ，因此 的平方根为 . （2）因为(0.6)2=0.36，所以 ，因此0.36的平方根为 . （3）因为(18)2=324，所以 ，因此324的平方根为 . 22251 例2 . 求下列各数的平方根： （1）81；（2） ； （3） ； （4）0.49; 解：(1)∵  (±9)2=81， （2） 的平方根是 ， （3） 的平方根是 ， (4)∵(±0.7)2=0.49， ∴0.49的平方根为±0.7． ∴81的平方根为±9． 22251 特殊：0的算术平方根是0. 记作＝0. 记法：a(a≥0)的算术平方根记为，读作“根号a”，另一个平方根是它的相反数，即－，因此正数a的平方根可以记作±，其中a叫做被开方数. 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，也就是a的正的平方根. 22251 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 x x2 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 这是什么运算？ 平方运算 x2 x 算一算，下面两种运算有什么关系？ 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算 22251 知识点二 算术平方根的概念 一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到另一个. 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即 .因此，正数a的平方根可以记作 ，其中a称为被开方数. 特殊：0的算术平方根是0. 记作 . 22251 根号 被开方数 （a是非负数，a 0） ≥ 22251 例3 将下列各数开平方： （1）49；（2）. 解：（1）因为72=49，所以＝7， （2）因为()2＝，所以＝， 因此49的平方根为± ＝±7. 因此的平方根为±＝±. 说明：求一个正数的平方根，只要求出它的算术平方根后，就可以写出它的平方根了。 22251 计算器计算算术平方根的方法： 在计算器上依次键入： . 被开 方数 EXE 将2 026开平方运算的结果是多少？如何计算呢？ 对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）. 22251 知识点三 开平方运算 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根. 平方与开平方有什么关系？ 平方与开平方互为逆运算 22251 知识点四 用计算器求算术平方根 例4 用计算器求下列各数的算术平方根： （1）529 ； （2）44.81（精确到0.01）． 说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可. 解：(1）在计算器上依次键入： ， 显示结果为23,所以529的算术平方根为： 5 2 9 = 4 4 . 8 1 = （2）在计算器上依次键入： 显示结果为 6.6940271884718 ，要求精确到0.01，可得 6.69 22251 4．写出下列各数的平方根： (1)64；　 (2)3 600；　 (3)0.49；　 (4) 解：(1)因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8. (2)因为(±60)2＝3 600，所以3 600的平方根是±60. (3)因为(±0.7)2＝0.49，所以0.49的平方根是±0.7. 22251 定义 平方根 平方根和算术平方根的基本概念 平方根和算数平方根的性质 性质 开平方，用计算器计算算术平方根 22251 1. 的算术平方根是( ) A. 4 B. C. 2 D. 2. 一个数的平方根与它本身相等，这个数是( ) A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 返回 D A 22251 3. 【思维生长】下列各数中，一定有平方根的是(　　) A．m2＋1 B．m2－1 C．－m2＋1 D．－m2－1 向“正向应用”生长：一个正数m的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝________，m＝________． A 2星题 提升四能 2 9 22251 向“分类讨论思想”生长：若x＋4是4的一个平方根，则x＝______________． 向“逆向推理”生长：若2x－4与1－3x是同一个正数a的平方根，则a的值为____________． －2或－6 4或100 22251 5．下列说法正确的是(　　) A．－9的平方根是－3 B．－1的平方根是±1 C．－8是64的平方根 D．(－1)2没有平方根 C 4．“±”的意义是(　　) A．a的平方根 B．±a的平方根 C.的平方根 D．以上都不对 A 22251 解：(1)因为(±15)2＝225，所以225的平方根为±15. 6．求下列各数的平方根． (1)225； (2)｜-2｜； (3)(-)2； (4)0.003 6. (2)因为｜-2｜＝，(±)2＝，所以｜-2｜的平方根为±. (4)因为(±0.06)2＝0.003 6，所以0.003 6的平方根为±0.06. (3)因为(±)2＝(-)2，所以(-)2的平方根为±. 22251 本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？ 1.平方根的概念: 一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根. 2.平方根的性质: 一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 0的平方根还是0. 负数没有平方根. 3.平方根的表示法: 4.算术平方根的概念: 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根 22251 (4)因为＝，所以的平方根是±. . $