2026年高二数学秋季开学学情自测卷01（人教A版）【范围：选一空间向量与立体几何、直线与圆】

**基本信息** 以空间向量与立体几何、直线与圆为核心，融入无人机巡检等科技情境，通过基础计算与翻折综合问题，检测开学学情，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|直线倾斜角、空间向量表示、线圆位置关系|单选8题结合VOR信标台科技情境，多选11题菱形与正三角形综合考查线面关系| |填空题|3/15|方向向量斜率、平面内点坐标、圆的切线长|14题通过切线长计算强化几何直观| |解答题|5/77|空间向量基底证明、线面垂直、翻折二面角|19题翻折问题融合空间观念与推理能力，18题以矩形四棱锥为载体考查面面夹角|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019选择性必修一第一章～第二章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 3．直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 4．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 7．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 8．全向信标台（）是机场飞机航路引导的核心设备．已知某机场信标台在地面上的核心信号覆盖投影区域可近似看作圆：．一架负责信号测试的巡检无人机在规划的水平直线航线：上进行沿线巡检．当无人机飞行至某位置时，由于测试需要，其两侧的定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点．若要在该位置使得四边形的面积最小，则巡检无人机此时的坐标应为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 10．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（     ）    A．在棱上不存在点M，使平面 B．异面直线与所成的角为 C．二面角的大小为 D．与平面不垂直. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 13．在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 14．过点A作圆C：的两条切线，两切点为D，E，则=__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 16．（15分） 如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 17．（15分） 已知直线和圆 . (1)直线交圆C于A，B两点，求弦长； (2)求过点的圆的切线方程. 18．（17分） 如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 19．（17分） 如图1，在等腰梯形中，，，，，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，记二面角的平面角为． (1)当时，求证：平面； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $·● 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学 : : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 舒 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.考试范围：人教A版2019选择性必修一第一章第二章 第一部分（选择题共58分) : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 : 1.已知直线1经过A(1,2),B(0,1)两点，则直线1的倾斜角为() A c居 2.如图所示，在四面体A-BCD中，点E是CD的中点，记AB=,AC=b,AD=c,则BE=() 0 : B : 照 : 2 ca-5+ 0.a6 : 3.直线：(a-1)x+y+3=0,直线2：2x+y+6=0,若∥1，则实数a的值为() : A.a=-1或a=2B.a=-1 C.a=2 D.a=2 4.若平面x的一个法向量为n=(2,1,1),直线1的一个方向向量为a=(1,2,-2),则1与α所成角的正弦值为 北 A.V②1 B.6 C.v6 D.2v6 6 6 9 9 : : 5.如图，直三棱柱ABC-ABC,∠BCA=90°，点D,F分别是AB,AC的中点，若BC=CA=CC, 试题第1页（共6页） : 6学科网·上好课 则BD与AF所成角的余弦值是() B 0 B O A.30 c.30 D.5 10 8. 15 10 6.己知点A(1,1),B(2,-2),若直线1：x+y+m=0与线段AB相交（包含端点的情况），则实数m的取值范 围是() A.-2≤1m≤- 1 B.m≤-2或l≥- D.m≤2或m≥2 7.过点P(-2,2)作直线1，使直线1与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线1一共有 () A.3条 B.2条 C.1条 D.0条 8.全向信标台(OR)是机场飞机航路引导的核心设备.已知某机场信标台在地面上的核心信号覆盖投 影区域可近似看作圆C：(x-2)+(y-1)?=1.一架负责信号测试的巡检无人机在规划的水平直线航线1： x-y-3=0上进行沿线巡检.当无人机飞行至某位置P时，由于测试需要，其两侧的定向接收天线发出的 探测射线PA,PB恰好分别切于圆C的A,B两点，若要在该位置使得四边形PACB的面积最小，则巡检 无人机此时的坐标P应为() A.（2,-1) B.(3,0) c.(1,-2) 751 .22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线1：√3x-y+2=0,O为坐标原点，则下列选项中正确的有() A直线的倾角为号 B.直线l在y轴上的截距为√5 C.过O且与直线I平行的直线方程为V3x-y=0D.过O且与直线l垂直的直线方程为x-√3y=0 10.已知直线1：x-y+1=0,圆C:x2+y2-8x-2y+1=0,则下列说法正确的是（). A.圆C的圆心坐标为(4,1) B.直线1与圆C相交 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 C.圆(x-1)2+y2=1与圆C相切 D.圆C上存在4个点到直线1的距离为1 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥ 平面ABCD,则下列说法正确的是() B A.在棱AD上不存在点M,使AD⊥平面PMB B.异面直线AD与PB所成的角为90° C.二面角P-BC-A的大小为45° D.BD与平面PAC不垂直. 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线1的一个方向向量为=1V3),则直线1的斜率为 13.在空间直角坐标系中，已知A(-1,0,1),B(0,0,3),C(-1,1,2),若点P(1,1,)在平面ABC内，则 23 14.过点A(0,-2)作圆C:(x-4)+(y-2)=4的两条切线，两切点为D,E,则CD.CE= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(5,0),C(1,8) (1)求点A到直线BC的距离： (2)求BC边上的高所在直线的方程： (3)求BC边上的中线所在直线的方程， 试题第3页（共6页） 16.(15分) 如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD中，AB=AD=2,AA'=3,∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60° D' B A B (1)以A5,AD,AA为基底向量，表示向量BD、AC; 兵 (2)求证：BD⊥AC; (3)求AC的长 张 河 游 17.(15分) 已知直线：x-y+2=0和圆C:x2+y2-6y-7=0. 习 (1)直线1交圆C于A,B两点，求弦长AB|; (2)求过点P(4,-5)的圆的切线方程. 肉 性 试题第4页（共6页） 18.(17分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD,点E,F分别为棱BC,PD的中点. O O E (1)证明：CF/1平面PAE: (2)若PB与底面ABCD所成角为45°，平面PDE⊥平面PAE,求平面PAE与平面ACF的夹角. 蜗 0 :0 O 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 19.(17分) 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,AE⊥CD,AB=AE=2,CD=6,将△DAE沿AE翻折，得到 如图2所示的四棱锥D-ABCE,记二面角D-AE-C的平面角为O. E E A 6 B 图1 图2 a当0-5时，求证：CB1平面BDZ: 2当9-写时，求平面DMg与平面D8s所成角的余弦值， 试题第6页（共6页） 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019选择性必修一第一章～第二章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 3．直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 4．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 7．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 8．全向信标台（）是机场飞机航路引导的核心设备．已知某机场信标台在地面上的核心信号覆盖投影区域可近似看作圆：．一架负责信号测试的巡检无人机在规划的水平直线航线：上进行沿线巡检．当无人机飞行至某位置时，由于测试需要，其两侧的定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点．若要在该位置使得四边形的面积最小，则巡检无人机此时的坐标应为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 10．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（     ）    A．在棱上不存在点M，使平面 B．异面直线与所成的角为 C．二面角的大小为 D．与平面不垂直. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 13．在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 14．过点A作圆C：的两条切线，两切点为D，E，则=__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 16．（15分） 如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 17．（15分） 已知直线和圆 . (1)直线交圆C于A，B两点，求弦长； (2)求过点的圆的切线方程. 18．（17分） 如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 19．（17分） 如图1，在等腰梯形中，，，，，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，记二面角的平面角为． (1)当时，求证：平面； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 2．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 3．直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 4．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与平面所成的角为， 则. 5．如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 6．已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 7．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 8．全向信标台（）是机场飞机航路引导的核心设备．已知某机场信标台在地面上的核心信号覆盖投影区域可近似看作圆：．一架负责信号测试的巡检无人机在规划的水平直线航线：上进行沿线巡检．当无人机飞行至某位置时，由于测试需要，其两侧的定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点．若要在该位置使得四边形的面积最小，则巡检无人机此时的坐标应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点， 可得， 当最小时，最小，又最小时，即为到直线的距离， 即此时，又，所以， 又因为，所以此时直线的方程为，即， 由，得，所以巡检无人机此时的坐标应为. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 10．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 【答案】ABD 【详解】因为，所以， 圆C的圆心坐标为，故A正确； 圆心C到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交，故B正确； 圆与圆C两圆心距离， 两圆半径之和为，半径之差为， 因为，故两圆相交，故C错误； 因为圆心C到直线的距离为，所以， 圆C上存在4个点到直线l的距离为1，故D正确. 故选：ABD. 11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（     ）    A．在棱上不存在点M，使平面 B．异面直线与所成的角为 C．二面角的大小为 D．与平面不垂直. 【答案】BCD 【详解】取中点E，连接，，因为为等边三角形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面，则平面，因为平面，所以， 因为底面为菱形，，所以， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，    则令，则有，， 则有，，，，，， 对于A选项，令，若平面，则有， ， 则，，，则有， 即点为AD中点时，有平面，故A错误； 对于B选项，，，因为，则， 则异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C选项，平面的法向量为，则平面的法向量为， 则，，则有， 即，令，则有，，故， 故，故二面角的大小为，故C正确； 对于D选项，，，因为， 所以与不垂直，故与平面不垂直，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 【答案】 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为 13．在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 【答案】6 【详解】由题意知，，，， 而，为不共线向量，因此根据共面向量定理，应存在唯一一对实数，， 使得， 则应有，解得，，． 14．过点A作圆C：的两条切线，两切点为D，E，则=__________． 【答案】 【详解】设，圆的圆心为，半径，两切点为， 如下图所示，则， 易知，， ， 即，且. 所以cos    ，故 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1），，则，直线的方程为， 即，，点到直线的距离为； （2）设边上的高所在直线的斜率为 ， ，，， 边上的高所在的直线过， 边上的高所在直线的方程为，即； （3）设中点，，， ，， ，， 则边上的中线所在直线的方程为， 即. 16．（15分） 如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）由（1）得， 所以，则； （3）由（1）， 所以 ， 所以，即的长为. 17． （15分） 已知直线和圆 . (1)直线交圆C于A，B两点，求弦长； (2)求过点的圆的切线方程. 【答案】(1)；(2)与 【详解】（1）由圆C：，可得圆心，半径，      所以圆心到直线的距离，      所以. （2）① 当过点的直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为4， 恰等于半径，所以直线是圆的一条切线；      ② 当直线斜率存在时，设切线方程为：即，      因直线与圆相切，则可得圆心到该直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为. 故所求切线有两条：与. 18． （17分） 如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）取的中点为，连接． 因为四边形是矩形，且点为的中点，所以，且， 又因为分别为的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面；（2）因为平面，四边形为矩形，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．    因为与底面所成角为，即，所以． 过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以． 又因为平面，平面，所以. 又因为平面，， 所以平面，平面，所以． 因为为中点，所以，即为等腰直角三角形，即。 又因为四边形是矩形，所以，所以，即． 设，则． 则， 设平面的法向量为， 则，即. 因为，即，则，令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，所以． 设平面与平面的夹角为，则， 所以，即平面与平面的夹角为． 19．（17分） 如图1，在等腰梯形中，，，，，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，记二面角的平面角为． (1)当时，求证：平面； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）当时， 平面平面，平面平面，             ，由折叠可知，， ∵平面，∴平面，         ∵平面，则， 又在三角形中， 易知，，， 则，所以，             又∵，平面，平面， 所以平面．         方法二： 由折叠可知，，， 所以即为二面角的平面角， 当时，，             如图，建立空间直角坐标系 ，，，， 则，，，         ，， 所以，，         又∵，平面，平面， 所以平面． （2）由折叠可知，，， 所以即为二面角的平面角， 则，                 又，所以平面， ∵平面，∴平面平面，且交线为，             过作于点，则平面，             如图，以为原点，的平行线为轴，建立空间直角坐标系 在中，，，所以，，，，         则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， ∴.                 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， ∴.                 ， 则平面与平面所成角的余弦值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1 3 4 5 6 8 C A B C A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AC ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分 12.V5 13.6 14.-3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【答案】(1)N5:(2)x-2y=0:(3)3x-y-5=0 【详解】a)50cL8则：=号2，直线C的方程为2-5引 -…-2分 2×2+1-10=5 即2x+y-10=0'A(2,1),点4到直线BC的距离为√2+ -4分 (2)设BC边上的高所在直线的斜率为k, 8-0 :kgc=1-5 -2,:6cA=1,k= -6分 :BC边上的高所在的直线过A(2,1), :BC边上的高所在直线的方程为少-1=2-2)，即x-2y=0: -8分 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设BC中点D(m,n),B(5,0),C(18), ∴.l= 5+1=3, 0+8=4, 2 9分 4-1 D(3,4),kao=3-2 =3 -11分 则BC边上的中线所在直线的方程为y-1=3(x-2), 即3x-y-5=0. 13分 16.(15分) 【答案】(1)BD=AD-AB,AC=AB+AD+AA;(2)答案见解析：(3)V29 【详解】(1)在△ABD中，根据空间向量的减法运算可得BD=AD-AB, -2分 AC=AC+CC=AB+AD+AA 4分 (2)由(1)得BDAC-(AD-ABAB+AD+AA）=ADAB+AD+ADAA-AB-ABAD-ABAA 1 =0+4+2×3× 24-0-2x3×20, -7分 所以BD⊥AC,则BD⊥AC: -9分 (3)由(1)AC=AB+AD+AA, -10分 所以AC=AB+AD+AA+2ABAD+2AB.AA+2AD.AA 1 =4+4+9+0+2×2×3×+2×2×3×二=29 2 -13分 所以AC=29,即4C的长为V29 -15分 17.(15分) 【答案】(1)W62;(2)x=4与3x+4y+8=0 【详解】(1)由圆C:x+(y-3)2=16,可得圆心C(0,3),半径r=4, --------2分 所以图心到直线4-+2=0的离d=10-2-日 2 4分 -7分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①当过点P(4,-5)的直线斜率不存在时，圆心C(0,3)到直线x=4的距离为4， 恰等于半径，所以直线x=4是圆的一条切线： -9分 ②当直线斜率存在时，设切线方程为：y+5=(x-4)即x-y-4k-5=0, -------11 分 因直线与圆相切，则可得圆心C(0,3)到该直线的距离等于半径， -3-4k-5=4,解得=3 即 Vk2+1 4’此时切线方程为3x+4y+8=0~ -14分 故所求切线有两条：x=4与3x+4y+8=0. -15分 18.(17分) 【答案】(1)答案见解析：(2)4 【详解】(1)取PA的中点为G,，连接FG,EG D A D B 因为四边形ABCD是矩形，且点E为BC的中点，所以EC4D,且EC=4D】 2 --2分 又因为F,G分别为PD,PA的中点，所以GF11AD,且GF=2AD, -3分 所以GFIIEC,且GF=EC,所以四边形ECFG为平行四边形， -4分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以CF∥EG,且CF￠平面PAE,EGC平面PAE, 所以CFII平面PAE: -6分 (2)因为PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形，所以分别以AB,AD,AP所在直线为X,少，2轴建立空间 直角坐标系，如图所示. Z 因为PB与底面ABCD所成角为45°，即∠PBA=45,所以PA=AB. 过点A作AH⊥PE,垂足为H 因为平面PDE⊥平面PAE,平面PDE∩平面PAE=PE,AHc平面PAE, 所以AH⊥平面PDE,DEc平面PDE,所以AH⊥DE. 又因为PA⊥平面ABCD,DEc平面ABCD,所以PA⊥DE. 又因为PA,AHC平面PAE,PA∩AH=A, 所以DE⊥平面PAE,AEc平面PAE,所以DE⊥AE 因为E为BC中点，所以AE=DE,即△AED为等腰直角三角形，即∠EAD=45°。 又因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAE=45,所以AB=BE,即AD=2AB. -9分 设4B=a则4oo,Ea.0).c(a,2ao.r0.aPa,a. 则正=(aa0.=@0u.ac=(a,2a0.-（0a -11分 设平面PAE的法向量为=(x,y,), [AE·n=0ax+ay=0 则P=0即 az1=0 x+片=0 >0 因为。 即1=0 ，则2=0，令x=1则y=1所以元=(1，-1,0)： -13分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设平面ACF的法向量为乃，=(x,y2,22), ax2+2ay2=0 x2+2y2=0 AC·n2=0 ,即 +=0即 a 1 AF.n,=0 +23=0 令=1，则=3=-2，所以n=（-2,1-2) 15分 设平面。与平面，的夹角为，则cos6=Cosm,2 3V2 ACF 0 可同 √2×32， PAE 所以9-子，即平面PME与平面ACF的夹角为年， -17分 19.(17分) V7 【答案】(1)答案见解析；(2)7 【详解】(4)当9-时， 平面DAE⊥平面ABCE,平面DAB∩平面ABCE=AE, AE⊥CD,由折叠可知，DE⊥AE, :DEC平面DAE,.DE⊥平面ABCE, 2分 :BCC平面ABCE,则DE⊥CB -3分 又在三角形BCE中， 易知BE=2W2,BC=22,CE=4, 则BE2+BC2=CE,所以CB⊥BE, -5分 又，BEDE=E,BEC平面BDE,DEC平面BDE, 所以CB⊥平面BDE. -6分 方法二： 由折叠可知，DE⊥AE,CBE⊥AE, 所以∠DEC即为二面角D-AE-C的平面角， 当6s 2时，DB1EC, -2分 如图，建立空间直角坐标系 5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B E(0,0,0)B(2,2,0)C(0,4,0)D(0,0,2) 则CB=(2,-2,0),ED=(0,0,2),丽=(2,2,0)， CB.ED=0,CB.EB=0, 所以CB⊥ED,CB⊥EB, 又，BEDE=E,BEC平面BDE,DEC平面BDE, 所以CB⊥平面BDE. -6分 (2)由折叠可知，DE⊥AE,CE⊥AE, 所以∠DC即为二面角D-AE-C的平面角， 刘∠Dac-子， -8分 又DE∩CE=E,所以AE⊥平面CDE, ,AEC平面ABCE,∴平面ABCE⊥平面CDE,且交线为CE 过D作DO⊥CE于点O,则DO⊥平面ABCE, -9分 如图，以E为原点，D0的平行线为z轴，建立空间直角坐标系 D B 在RtDB0中，E0=1,D0=V5,所以E(0,0.0),D(0,15),A(2,0,0),B(2,2,0), 则A=(2,0,0),ED=(0,15),E8=(2,2,0), -11分 设平面AD的一个法向量为元=(：，片，)， EAi=0「2x=0 则历=0即+55=0令2=1则飞=0，=-5 i=(0,-5,1. -13分 6 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设平面EBD的一个法向量为而=(2，，32)， EB.m=0 「2x2+2y2=0 EDm=0'即 则 +52=0'令名=1则5=5，，=-5 m=（5,-5,1 -15分 nn 3x0+(5)×(3)+1x1 42W7 圆-同55-7 2万 则平面DAB与平面DBE所成角的余弦值为). --17分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2026年秋季高二开学学情自测卷 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） 1 [A][B]IC][D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A]B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 舒 三、填空题（每小题5分，共15分） 相 12 13 14. 剂 请在各题目磨靆！内，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D' D.2 2---- 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D B E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D D E C E A B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）