2026年高二数学秋季开学学情自测卷（人教B版）

**基本信息** 2026年高二数学秋季开学学情自测卷，聚焦必修三和四核心内容（占80%），通过选择、填空、解答题梯度设计，综合考查向量、三角函数、立体几何等知识，凸显数学思维的逻辑性与空间观念的建构，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、向量夹角、解三角形、正方体异面直线成角|基础巩固与能力区分结合，如第6题考查空间几何直观| |填空题|3题15分|三角函数周期、向量面积比、三棱锥外接球|突出数学抽象，如第14题综合空间想象与运算| |解答题|5题77分|向量运算、三角函数图像变换、立体几何证明与计算、函数单调性|分层设计，如18题三问递进考查逻辑推理与空间观念，19题论证函数性质培养理性精神|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高二数学秋季开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2026年高二数学秋季开学学情自测卷 数学·答题卡 ! 姓 名： 准考证号； 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3.1 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂■ 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CD] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 3[A][B][C]D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][CD] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) ! 9[A][B][CI[D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分） 常 12 相 13 14. 剂 请在各题獭答戀1顷内供笛，页超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) Ak= D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高二数学秋季开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以，所以的虚部为． 2．在中，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算公式化简可得. 【详解】由题意可知，如图所示， 已知，所以，即，所以， 所以，故D正确. 3．非零向量满足，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加法的平行四边形法则作图，即可得. 【详解】如图，， 由，则四边形为菱形且， 所以，则向量与向量的夹角为. 4．在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】由，结合正弦定理，可得， 又， 因为为三角形内角，所以. 根据余弦定理，，可得， 中，，且，所以为等边三角形. 5．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 6．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 7．已知函数（且）在上具有单调性，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解. 【详解】（且）在上具有单调性， 当在上单调递减时，，解得； 当在上单调递增时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 8．函数的部分图像如图所示，若，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象求出的值确定函数解析式，利用正弦函数的对称性求出的值，代入计算即可. 【详解】由图象可知， ，解得， 因为，所以， 由得， 则，解得， 因为，所以， 故， 令，解得， 当时，， 因为，所以是函数在区间内的一条对称轴， 因为且， 所以关于直线对称， 则，即， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若实数，，且，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为8 C．的最小值为6 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】A，B，C通过均值不等式求解，D通过三角换元求解. 【详解】选项A，因为，所以，解得，当且仅当时等号成立，错误. 选项B，，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8，正确. 选项C，因为，所以， ，易知函数在上单调递减， 所以，无最小值，错误. 选项D，令，，由，，可知，， 得，，由题意得，设，，， ，，此时，所以D正确. 10．在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用同角公式、和差角的正余弦公式求解判断ABC；利用数量积的定义及正弦定理求解. 【详解】因为是锐角三角形，所以，则，因此. 由，得，A错误. 由 两式相加得：； 两式相减得：； 两式作商得：，C正确. ，且为锐角，因此. 由余弦和角公式： ，B正确； 设角对边为，则，. 向量点积：. 由正弦定理，得， 代入得： , D正确. 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若该正方体的顶点都在球的球面上，则球的体积为 B．若∥平面，则点的轨迹长度是 C．若，则点的轨迹长度为 D．过点，，的平面截正方体所得的截面图形的面积为 【答案】AC 【分析】对于A：利用正方体外接球直径为体对角线，套球体体积公式；对于B：面面平行判定找底面内动点轨迹线段，对比长度；对于C：线面垂直推导线线垂直，在底面作垂线求轨迹线段长；对于D：找到截面图形，计算面积验证. 【详解】正方体棱长 ， 分别为 中点。 选项 A ，正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长，棱长为 2，面对角线长 ，体对角线长：， 所以外接球半径 ，球体积，A 正确； 选项 B，取 中点 ，连接 ，，则∥，平面，平面， 所以∥平面， ∥，平面，平面，所以∥平面， 因为平面 所以平面 ∥ 平面 ， 点在底面 内，满足 ∥ 平面 的点轨迹是线段 ，，B错误； 选项 C ，取 中点 ，连接，设，在正方体中，平面，平面， 所以 ，在直角中，， 同理，在直角中，，所以， 所以，所以，所以, 因为平面，所以平面 ， 因为平面 ，所以， 若，点是正方形内一动点（含边界）,则点的轨迹为， ，则点的轨迹长为，C 正确； 选项 D， 延长，过点作∥交于，此时, 连接交于，连接, 延长到，使得，连接，则三点共线，连接 ,连接，因为∥，∥，所以∥， 所以过点，，的平面截正方体所得的截面图形为五边形， 因为，所以，同理得， 由面面平行的性质，平面与上下底面的交线互相平行，故∥， 在中，，得 由相似比例可得 ，， 将五边形拆分为梯形和等腰两部分： 梯形的高（两平行线与的距离）： 梯形面积： 底边，底边上的高 三角形面积： 截面面积，D 错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数（）的最小正周期为，则__________. 【答案】 【分析】根据正切函数的周期性求得，再求的值. 【详解】因为函数（）的最小正周期为， 所以，解得， 即， 则. 13．已知点是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则__________． 【答案】/ 【分析】取线段的中点，连接，可得出，代入等式，推导出为线段的中点，据此可求得的值. 【详解】因为点是内部一点，并且满足， 取线段的中点，连接，如下图所示： 因为为的中点，所以，即，所以， 所以，即，故为线段的中点， 所以，，故. 14．在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心位置并求出球半径即可. 【详解】在三棱锥中，取的中点，连接， 和均为边长为的等边三角形，得， 由二面角的平面角为，得，即， 平面，则平面，同理平面， 令和的中心分别为，三棱锥的外接球球心为， 则平面，平面，于是，四边形为矩形， ，而，， 所以三棱锥外接球半径，表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，求在上的投影向量； (3)若，且，求与的夹角的大小. 【答案】(1)或. (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用共线向量的坐标表示和向量模的计算公式，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，利用投影向量的计算公式，即可求解； （3）根据题意，利用垂直向量的坐标表示，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，， 因为，且，可得，解得或， 向量的坐标为或. （2）解：由向量，，可得且， 所以在上的投影向量. （3）解：由，且，可得， 因为，可得， 解得， 所以， 因为， 所以，即与的夹角为. 16．（15分） 已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)当时，求的最小值及此时x的值； (3)将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位后，得到的函数是偶函数，求α的最小值． 【答案】(1)，的单调递减区间为 (2)时，的最小值为 (3)α的最小值 【分析】（1）由题意可求得，进而利用图象过点，可求得，可求解析式，利用，可求单调递减区间； （2）由已知可得，可求值域； （3）利用题意求得，由函数是偶函数，可得，可求α的最小值. 【详解】（1）由图象可得，所以，所以， 所以，由图象过点，所以， 所以，所以，即， 又，所以，所以； 由，所以， 所以的单调递减区间为. （2）因为，所以，所以， 所以，所以的最小值为， 此时，解得， 所以时，的最小值为； （3）将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得的图象， 再将所得图象向左平移个单位后得， 所以，因为函数是偶函数，， 所以，又，所以，所以α的最小值. 17．（15分） 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合两角和差公式化简整理得，进而得到角A； （2）由余弦定理得，结合的周长，可求得,可求得三角形的面积． （3）由正弦定理可得，结合锐角三角形的条件计算可求其范围. 【详解】（1）由正弦定理，得， 即，即， 又，所以，所以， 因为,故． （2）在中，由余弦定理可得， 所以，又因为周长为6，所以， 所以，所以的面积. （3）因为为锐角三角形，则，则可得， 所以,所以， ，所以， 所以， 由正弦定理可得， ， 所以． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点E在棱上，且． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点F在棱上，且平面，证明：F为中点． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 又因为是正方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，则， 因为，且， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． (2) (3)如图，连接交于点O，连接， 由勾股定理知，，． 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以． 因为，所以， 所以F为的中点． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到平面，再结合面面垂直的判定定理求解即可. （2）结合已知找到线面角，再结合三角函数的定义求解即可. （3）利用线面平行的性质得到，进而得到，最后结合相似三角形的性质证明即可. 【详解】（1）略 （2）由等面积公式得，． 由（1）知平面，所以即为与平面所成角， 且， 在中，． （3）略 19．（17分） 已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数. (2) (3)， ， 又因为函数在区间上单调递减， 所以当时， ，，所以， 所以恒成立. 【分析】（1）由定义域的定义列不等式即可求得定义域，由奇偶函数的定义判断函数的奇偶性； （2）由函数解析式判断函数的单调性，结合（1）中的奇偶性和定义域，列出不等式即可求得的取值范围； （3）由对数的运算化简，然后通过构造，结合函数的单调性，即可证明结论. 【详解】（1）由，得，所以， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. （2）由（1）可知，，则， 因为，函数在上单调递减， 所以， 解得，即. （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高二数学秋季开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版必修一和必修二20%+必修三和必修四80% 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．在中，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．非零向量满足，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 4．在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 6．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 7．已知函数（且）在上具有单调性，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．函数的部分图像如图所示，若，且，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若实数，，且，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为8 C．的最小值为6 D．的最大值为 10．在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若该正方体的顶点都在球的球面上，则球的体积为 B．若∥平面，则点的轨迹长度是 C．若，则点的轨迹长度为 D．过点，，的平面截正方体所得的截面图形的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数（）的最小正周期为，则__________. 13．已知点是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则__________． 14．在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，求在上的投影向量； (3)若，且，求与的夹角的大小. 16．（15分） 已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)当时，求的最小值及此时x的值； (3)将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位后，得到的函数是偶函数，求α的最小值． 17．（15分） 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点E在棱上，且． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点F在棱上，且平面，证明：F为中点． 19．（17分） 已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二数学秋季开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版必修一和必修二20%+必修三和必修四80% 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．在中，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．非零向量满足，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 4．在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 6．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 7．已知函数（且）在上具有单调性，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．函数的部分图像如图所示，若，且，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若实数，，且，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为8 C．的最小值为6 D．的最大值为 10．在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若该正方体的顶点都在球的球面上，则球的体积为 B．若∥平面，则点的轨迹长度是 C．若，则点的轨迹长度为 D．过点，，的平面截正方体所得的截面图形的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数（）的最小正周期为，则__________. 13．已知点是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则__________． 14．在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，求在上的投影向量； (3)若，且，求与的夹角的大小. 16．（15分） 已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)当时，求的最小值及此时x的值； (3)将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位后，得到的函数是偶函数，求α的最小值． 17．（15分） 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点E在棱上，且． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点F在棱上，且平面，证明：F为中点． 19．（17分） 已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年高二数学秋季开学学情自测卷 O 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : : ·: 注意事项： 。 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教B版必修一和必修二20%+必修三和必修四80% 第一部分（选择题共58分) : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 % 要求的。 : 1.若复数z满足二(2-1)=3+4i,则三的虚部为() A号 g合 c D.- 5 2.在△ABC中，点D在线段BC上，且3BD=2DC,则AD=() O A.+号cB.号+4c 3.非零向量ā，6满足d==a+,则6与ā-6的夹角是() : A.30 B.60 C.120° D.150° 照 4.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA.sinC=sinB,设△ABC的面积为S,若 √3 ac cos B=2S,则△ABC的形状为() : 恝 A.直角三角形B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 : O 5.已知命题"xeR,x2+(a-1)x+4≤0"是假命题，则实数a的取值范围是() A.-3<a<5 B.a<-3或a>5 : C.-3≤a≤5 D.a≤-3或a≥5 : 6.在正方体ABCD-AB,C1D中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B,C所成角的余弦值为() A. B.v2 c. 2 D.0 2 : : 试题第1页（共6页） : 6学科网·上好课 1 7.已知函数f(x)= a-2 -2a+lx<1(a>0且a≠1)在R上具有单调性，则实数a的取值范围为（） a,x≥1 D.(1,+0) 4 8.函数f(d)=4s血(a+p儿4>0，w>0,外的部分图像如图所示，若，e (且)=. 则f(x+x)=() πO ⊙ 6 -2.. A.3 B.-V5 C.2 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若实数x>0,y>0,且x+2y=4,则() A.y的最大值为4 B.x2+4y2的最小值为8 C. x2+9 的最小值为6 D.√x+Vy的最大值为√6 y 10,在角s1C中，m4+)-号ind-)-写4B=3,则(） A. c0s(A+B)=5 B.c0s2A=-3+8V6 25 C.tand=2tanB D.BC.BA=6 11.如图，正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，E,F分别是棱AD,DD的中点，点P是正方形ABCD内 一动点（含边界），则下列结论正确的是() D A16 B A.若该正方体的顶点都在球O的球面上，则球O的体积为4√3π 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 B.若FP∥平面ABCD,则点P的轨迹长度是√万 C.若BE⊥CP,则点P的轨迹长度为√5 D.过点B,P,8的平面截正方体所得的截面图形的面积为 2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f)=tm(or+到 (o>0)的最小正周期为2元，则f 13.己知点O是△ABC内部一点，并且满足OA+OB+2OC=0,△BOC的面积为S,△AOB的面积为S2, 则 14.在三棱锥A-BCD中，△ABD和△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A-BD-C的平面角为90°， 则三棱锥的外接球的表面积为」 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(-1,1),c=(xy). (1)若G=2W2,且c/1a,求向量c的坐标： (2)若b=(2,-2),求6在a上的投影向量： (3)若=1，且a1(a+25),求a与的夹角6的大小. 试题第3页（共6页） 16.(15分) 已知函数f(x)=Asin(x+p)A>0,o>0,p 的部分图象如图所示 7π 12 3 -2 长 (1)求f(x)的解析式及单调递减区间： 张 (2)当x∈ ππ 12'3 时，求f(x)的最小值及此时x的值： (3)将∫(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移（α>0）个单位 后，得到的函数g(x)是偶函数，求a的最小值. 游 炸 17.(15分) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知acos B+bcosA=2 ccos4. (1)求角A: 性 (2)若a=2,△ABC周长为6，求△ABC的面积； (3)若△4BC为锐角三角形，求a十C的范围. b 试题第4页（共6页） 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD, O 棱PD上，且AE⊥PD. B (1)求证：平面ACE⊥平面PCD; : (2)求直线AC与平面PCD所成角的正弦值： (3)已知点F在棱CD上，且PB∥平面AEF,证明：F为CD中点. 凝 试题第5页（共6页） o6学科网·上好课 19.(17分) PA=√2AB,点E在 己知函数f(x)=n-x 1+x (1)求函数f(x)的定义域，并判断其奇偶性： (2)若∫(t-1)+f(2)>0,求实数t的取值范围： (3)已知函数g(x)=hx-x+1在区间(1，+0)上单调递减.证明： f[)+[目+[++2>0eN)成立 试题第6页（共6页） 2026年高二数学秋季开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D C A C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BCD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 13．/ 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】．(1)或. (2) (3) 【详解】（1）解：由向量，， 因为，且，可得，解得或， 向量的坐标为或. （2）解：由向量，，可得且， 所以在上的投影向量. （3）解：由，且，可得， 因为，可得， 解得， 所以， 因为， 所以，即与的夹角为. 16．（15分） 【答案】(1)，的单调递减区间为 (2)时，的最小值为 (3)α的最小值 【详解】（1）由图象可得，所以，所以， 所以，由图象过点，所以， 所以，所以，即， 又，所以，所以； 由，所以， 所以的单调递减区间为. （2）因为，所以，所以， 所以，所以的最小值为， 此时，解得， 所以时，的最小值为； （3）将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得的图象， 再将所得图象向左平移个单位后得， 所以，因为函数是偶函数，， 所以，又，所以，所以α的最小值. 17．（15分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理，得， 即，即， 又，所以，所以， 因为,故． （2）在中，由余弦定理可得， 所以，又因为周长为6，所以， 所以，所以的面积. （3）因为为锐角三角形，则，则可得， 所以,所以， ，所以， 所以， 由正弦定理可得， ， 所以． 18．（17分） 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 又因为是正方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，则， 因为，且， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． (2) (3)如图，连接交于点O，连接， 由勾股定理知，，． 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以． 因为，所以， 所以F为的中点． 【详解】（1）略 （2）由等面积公式得，． 由（1）知平面，所以即为与平面所成角， 且， 在中，． （3）略 19．（17分） 【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数. (2) (3)， ， 又因为函数在区间上单调递减， 所以当时， ，，所以， 所以恒成立. 【详解】（1）由，得，所以， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. （2）由（1）可知，，则， 因为，函数在上单调递减， 所以， 解得，即. （3）略 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $