专题4.2 对数（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦对数核心知识点，系统梳理对数的概念（定义、性质、与指数互化）、运算性质（积、商、幂的对数）、换底公式及推论，构建从概念理解到运算应用的学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 资料以9大题型（含例题与变式）设计，注重举一反三，结合星等、地震能量等实际问题，培养数学眼光与应用意识。通过运算推理和证明题提升数学思维，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题4.2 对数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 对数的概念判断与求值】 2 【题型2 指数式与对数式的互化】 3 【题型3 对数的运算】 6 【题型4 对数的运算性质的应用】 7 【题型5 运用换底公式化简计算】 8 【题型6 指、对数方程的求解】 10 【题型7 带附加条件的指、对数问题】 12 【题型8 运用换底公式证明恒等式】 15 【题型9 对数的实际应用】 17 考点1 对数的概念 知识点1 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828 简记作ln N 【题型1 对数的概念判断与求值】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求. 【解答过程】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【解答过程】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案. 【解答过程】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对数式的意义列不等式组求解可得. 【解答过程】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B. 【题型2 指数式与对数式的互化】 【例2】（25-26高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【解答过程】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【解答过程】由题可得，所以. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据指数与对数互化的公式即可得到答案. 【解答过程】（1）由，得； （2）由，得； （3）由，得； （4）由，得. 【变式2-3】（25-26高一·全国·课后作业）将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】由指数式和对数式的关系：且，依次分析即可. 【解答过程】（1），可得. （2），可得. （3），可得. （4），可得. 考点2 对数的运算性质 知识点2 对数的运算性质 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型3 对数的运算】 【例3】（25-26高一上·广西钦州·期末）（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】依据对数运算法则即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据对数运算求得正确答案. 【解答过程】 . 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）若，则（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】对数的真数大于0求出定义域，利用对数的运算法则将对数符号去掉，解二次方程即可求出方程的解. 【解答过程】由题得，解得， ， 解得或（舍），故. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏扬州·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的8倍，大约经过（   ）天（参考数据：，，） A．32 B．33 C．103 D．104 【答案】D 【解题思路】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【解答过程】设经过天“进步“的值是“退步”的值的倍. 则 ，即， 故，故， 故大约经过104天. 故选：D. 【题型4 对数的运算性质的应用】 【例4】（25-26高一上·陕西渭南·期末）若，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】根据对数的运算性质进行求解即可. 【解答过程】. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【解答过程】选项A：，故A错误； 选项B：无法直接分解为，故B错误； 选项C，D：，故C错误，D正确； 故选：D. 【变式4-2】（25-26高一上·山东济宁·期末）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】利用对数的运算性质可直接求得答案. 【解答过程】 ， 故选：D. 【变式4-3】（25-26高一上·四川广安·期末）若实数满足，则的值为（   ） A．6078 B．2025 C．2026 D．6079 【答案】D 【解题思路】由指数与对数的互化和对数的运算性质计算可得. 【解答过程】因为且， 则，所以，即， 所以. 故选：D. 【题型5 运用换底公式化简计算】 【例5】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数的运算法则和换底公式即可求解. 【解答过程】由，得，所以，又，所以 . 故选：D． 【变式5-1】（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数与对数互化、对数的换底公式及运算法则变形可得． 【解答过程】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 【变式5-2】（2026·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断可得答案. 【解答过程】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知，且，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可. 【解答过程】由，得，即， 所以，所以. 故选：A. 【题型6 指、对数方程的求解】 【例6】（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解题思路】利用根与系数的关系结合对数的运算法则计算即可. 【解答过程】由题意可知，即是方程的两个根， 则，可得， 所以 . 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ） A．1 B．－2 C． D．－4 【答案】C 【解题思路】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【解答过程】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·四川南充·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）方程的两根分别为，求的值. 【答案】（1）3； （2） 【解题思路】（1）化对数式为指数式，进而求出； （2）方法一：变形为，是方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，从而计算出答案； 方法二：解方程得到，，代入计算即可. 【解答过程】（1） 由知，，， 所以； （2）方法一：， ，是方程的两根， 由根与系数的关系知，，， ； 方法二：， 解得，， 所以. 【变式6-3】（25-26高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【解答过程】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 【题型7 带附加条件的指、对数问题】 【例7】（25-26高一上·吉林延边·期末）对下列两个式子进行求值. (1)已知，求的值. (2)若，，用，表示. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由指数、对数的运算性质即可求解； （2）由指数、对数的转换和换底公式即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以，则， 又，且，所以， 所以. （2）因为，所以，则， 所以. 【变式7-1】（25-26高一上·河南洛阳·期末）（1）若，求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1）2； （2） 【解题思路】（1）将指数式转化为对数式，代入目标式，利用对数的运算性质计算即可； （2）求出，代入目标式，利用对数的运算性质计算即可. 【解答过程】（1）因为，所以，， 所以. （2）若，则，， 所以. 【变式7-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）求下列各式的值： (1). (2)设，求的值. (3)已知，求的值. 【答案】(1)11 (2)1 (3) 【解题思路】（1）利用对数的运算法则根据即可求解 （2）根据指对互化，再结合对数的运算法则即可求解； （3）根据幂指数的运算法则得到，，代入即可求解. 【解答过程】（1） . （2）由，可得，， 则，， 所以. （3）∵， ∴，∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴. 【变式7-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由根式与分数指数幂的转换，结合指数幂的运算即可求解； （2）由条件通过平方得到，再次平方得到，进而可求解； （3）由指数与对数的转化，和对数的运算性质即可求解. 【解答过程】（1） ； （2）由， 平方可得：， 即，再平方可得：， 即， 所以 （3）由，可得， 由，可得， 所以. 【题型8 运用换底公式证明恒等式】 【例8】（25-26高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【解答过程】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 【变式8-1】（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）求满足下列条件的各式的值： (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）运用对数的运算法则即可求解； （2）运用对数的换底公式即可证明. 【解答过程】（1） ， ， ， ； （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 【变式8-2】（25-26高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立. 【解答过程】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 【变式8-3】（25-26高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）8； （3）证明见解析 【解题思路】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【解答过程】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 考点3 对数的实际应用 知识点3 对数的实际应用 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【题型9 对数的实际应用】 【例9】（25-26高一上·河北邢台·期末）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 【答案】D 【解题思路】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为，根据定义得到即可． 【解答过程】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为， 则 ， ． 故选：D． 【变式9-1】（25-26高一上·四川德阳·期末）人类目前暂时无法准确预报地震，但地震学家通过研究，已经对地震有一定的了解，如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．由此可以知道，里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是里氏5.8级地震发生时所释放出的能量的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【解题思路】利用已知关系式结合已知条件建立对数关系，再利用对数运算法则计算求解． 【解答过程】设里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是，里氏5.8级地震发生时所释放出的能量是， ， ， ，解得，故D正确． 故选：D． 【变式9-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【解题思路】利用公式及一杯的热水降至大约用时1分钟求得，再将数据代入得方程，利用对数的运算律计算即可得到答案. 【解答过程】由题意知，因为一杯的热水降至大约用时1分钟， ∴，即； 设水温从降至，需要的时间为t分钟， ∴，即， ∴， ∴ ∴水温从降至，大约还需要10分钟． 故选：B． 【变式9-3】（25-26高一上·北京东城·期末）在日常生活中，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉的下限阈值，是实际声压．按普通人的听觉，常见场景的声压级如下： 常见场景 声压级／dB 极安静环境 安静环境 日常轻声环境 已知正常对话的声压约为，声压级约为（参考数据：，），则（    ） A．当声压变为原来的两倍时，声压级一定变为原来的两倍 B．在极安静环境里，声压不超过 C．在日常轻声环境里，最大声压与最小声压的比值不超过 D．若某图书馆的声压约为，则该图书馆属于安静环境 【答案】D 【解题思路】先根据题中条件求出听觉下限阈值，再逐一分析选项即可. 【解答过程】由题中条件可得，解得， 对于选项，设原声压为，声压级； 声压变为，声压级， 此时，故错误； 对于选项，在极安静环境中，声压级，当取最大值计算最大声压， 此时可得，解得， 因为，故错误； 对于选项，在日常轻声环境里，声压级， 当最小声压级时，，得； 当最大声压级时，，得， 所以，故错误； 对于选项，已知，代入得， 即在安静环境范围内，故正确. 故选：D. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 对数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 对数的概念判断与求值】 2 【题型2 指数式与对数式的互化】 2 【题型3 对数的运算】 4 【题型4 对数的运算性质的应用】 5 【题型5 运用换底公式化简计算】 5 【题型6 指、对数方程的求解】 5 【题型7 带附加条件的指、对数问题】 6 【题型8 运用换底公式证明恒等式】 7 【题型9 对数的实际应用】 9 考点1 对数的概念 知识点1 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828 简记作ln N 【题型1 对数的概念判断与求值】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 指数式与对数式的互化】 【例2】（25-26高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-1】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-3】（25-26高一·全国·课后作业）将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点2 对数的运算性质 知识点2 对数的运算性质 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型3 对数的运算】 【例3】（25-26高一上·广西钦州·期末）（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式3-2】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）若，则（   ） A．4 B． C．2 D．1 【变式3-3】（25-26高一上·江苏扬州·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的8倍，大约经过（   ）天（参考数据：，，） A．32 B．33 C．103 D．104 【题型4 对数的运算性质的应用】 【例4】（25-26高一上·陕西渭南·期末）若，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·山东济宁·期末）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4-3】（25-26高一上·四川广安·期末）若实数满足，则的值为（   ） A．6078 B．2025 C．2026 D．6079 【题型5 运用换底公式化简计算】 【例5】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知，且，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 指、对数方程的求解】 【例6】（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式6-1】（25-26高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ） A．1 B．－2 C． D．－4 【变式6-2】（25-26高一上·四川南充·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）方程的两根分别为，求的值. 【变式6-3】（25-26高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【题型7 带附加条件的指、对数问题】 【例7】（25-26高一上·吉林延边·期末）对下列两个式子进行求值. (1)已知，求的值. (2)若，，用，表示. 【变式7-1】（25-26高一上·河南洛阳·期末）（1）若，求的值. （2）若，求的值. 【变式7-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）求下列各式的值： (1). (2)设，求的值. (3)已知，求的值. 【变式7-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 【题型8 运用换底公式证明恒等式】 【例8】（25-26高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【变式8-1】（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）求满足下列条件的各式的值： (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【变式8-2】（25-26高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【变式8-3】（25-26高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 考点3 对数的实际应用 知识点3 对数的实际应用 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【题型9 对数的实际应用】 【例9】（25-26高一上·河北邢台·期末）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 【变式9-1】（25-26高一上·四川德阳·期末）人类目前暂时无法准确预报地震，但地震学家通过研究，已经对地震有一定的了解，如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．由此可以知道，里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是里氏5.8级地震发生时所释放出的能量的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式9-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【变式9-3】（25-26高一上·北京东城·期末）在日常生活中，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉的下限阈值，是实际声压．按普通人的听觉，常见场景的声压级如下： 常见场景 声压级／dB 极安静环境 安静环境 日常轻声环境 已知正常对话的声压约为，声压级约为（参考数据：，），则（    ） A．当声压变为原来的两倍时，声压级一定变为原来的两倍 B．在极安静环境里，声压不超过 C．在日常轻声环境里，最大声压与最小声压的比值不超过 D．若某图书馆的声压约为，则该图书馆属于安静环境 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $