专题6.3 对数函数（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题6.3 对数函数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 对数函数的判定】 1 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 2 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 4 【题型4 对数式的大小比较】 4 【题型5 解对数不等式】 5 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 6 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 7 【题型8 对数型复合函数的应用】 8 【题型9 对数函数模型的应用】 9 【题型10 指数函数与对数函数的综合应用】 10 知识点1 对数函数的概念 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数 (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+∞). 例如：是对数函数，而，都不是对数函数. 【题型1 对数函数的判定】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 知识点2 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 对数函数 (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 5．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 【例3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为R，求实数的取值范围； (2)若的值域为R，求实数的取值范围． 【变式3-3】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为R，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【题型4 对数式的大小比较】 【例4】（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组值的大小． (1)，； (2)，，； (3)，，． 【变式4-3】（2025高一上·全国·专题练习）比较下列各组中两个值的大小． (1)； (2)（，且）； (3)； (4)． 【题型5 解对数不等式】 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 【变式5-3】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； (2)解关于的不等式. 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 【例6】（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·福建泉州·期末）函数且的图象如图所示，则必有（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式6-3】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)求函数的单调区间． 【变式7-3】（24-25高一上·新疆和田·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若，求的单调区间； 【题型8 对数型复合函数的应用】 【例8】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 【变式8-1】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明； (3)当时，求使的的取值范围． 【变式8-3】（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【题型9 对数函数模型的应用】 【例9】（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式9-1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·湖南·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差. (1)当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值； (2)当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？ 【变式9-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 【题型10 指数函数与对数函数的综合应用】 【例10】（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数为偶函数． (1)求m的值； (2)若，判断在上的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围 【变式10-1】（25-26高一上·云南·期中）已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 【变式10-2】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式10-3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 对数函数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 对数函数的判定】 1 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 2 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 5 【题型4 对数式的大小比较】 8 【题型5 解对数不等式】 10 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 12 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 14 【题型8 对数型复合函数的应用】 16 【题型9 对数函数模型的应用】 20 【题型10 指数函数与对数函数的综合应用】 22 知识点1 对数函数的概念 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数 (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+∞). 例如：是对数函数，而，都不是对数函数. 【题型1 对数函数的判定】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对数函数的定义可得. 【解答过程】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用对数函数概念可判断. 【解答过程】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【解答过程】由解得或，又，且，所以， 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据对数函数的定义，即可判断. 【解答过程】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A. 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【解答过程】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设对数函数解析式求参即可. 【解答过程】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【解题思路】首先代入点求函数的解析式，再求函数值. 【解答过程】由条件可知，，得， 所以. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解题思路】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式． 【解答过程】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 知识点2 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 对数函数 (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 5．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 【例3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数式有意义的条件即可求出四个选项中函数的定义域，即可得解. 【解答过程】对于A选项：令，解得或， 则定义域为，故A错误； 对于B选项：令，解得，定义域为，故B正确； 对于C选项：因为，所以，定义域为，故C错误； 对于D选项：令，解得，定义域为，故D错误． 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 【变式3-2】（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为R，求实数的取值范围； (2)若的值域为R，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意得到在R上恒成立，再分类讨论求解即可； （2）根据题意得到的值域必须包含，再分类讨论求解即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为R， 则在R上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，有，解得． 所以实数的取值范围为． （2）函数的值域为R， 则的值域必须包含， 当时，，不符合题意； 当时，有，解得. 所以实数的取值范围为． 【变式3-3】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为R，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）代入，由，利用对数型复合函数单调性求值域； （2）将条件转化为在上恒成立，利用计算即可； （3）根据对数型复合函数的单调性进行判断计算. 【解答过程】（1）当时，， 令，则， 对数函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. （2）若的定义域为，则在上恒成立， 所以. 所以实数的取值范围是. （3）二次函数开口向上，对称轴为， 对数函数在上单调递增， 若在上单调递增， 则. 所以实数的取值范围是. 【题型4 对数式的大小比较】 【例4】（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性分别得到的范围从而判断得到结果. 【解答过程】，，， 故，，，所以. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用对数函数的性质比较大小. 【解答过程】依题意，， 则，而，则， 所以的大小关系是. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组值的大小． (1)，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用对数函数的性质分别与0比较大小即可得解； （2）根据指数函数、对数函数的性质分别通过“1”、“0”为桥梁比较大小； （3）相比较倒数的大小，即可得解. 【解答过程】（1）因为，， 所以． （2）因为，，， 所以． （3）因为， 所以． 【变式4-3】（2025高一上·全国·专题练习）比较下列各组中两个值的大小． (1)； (2)（，且）； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)答案见解析. (3) (4) 【解题思路】根据对数函数的单调性比较大小. 【解答过程】（1）因为函数是增函数，且，所以． （2）当时，函数是增函数， 又，所以； 当时，函数是减函数， 又，所以． 综上所述，当时，； 当时，． （3）因为，所以， 即． （4）因为函数是增函数，且， 所以． 同理，，所以． 【题型5 解对数不等式】 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用对数函数的单调性可得答案. 【解答过程】由已知得， 解得. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集. 【解答过程】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为， 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用待定系数法解方程计算即可； （2）利用对数函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）∵函数的图象过原点， 又 即，解得， 所以的值为2，的值为﹣2． （2）由（1）可知，， 所以不等式为，即， 即不等式的解集为 【变式5-3】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【解题思路】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可； （2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集. 【解答过程】（1）因为在上为单调函数， 且函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即或， 解得或. （2）因为函数是上的减函数， 所以，即， 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 综上可得：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 【例6】（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值为正即可判断. 【解答过程】因，由可得，显然关于原点对称， 且，所以是奇函数，故C，D错误； 又因为．故可排除B项，A项符合要求． 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一上·福建泉州·期末）函数且的图象如图所示，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数的知识以及图象来确定正确答案. 【解答过程】由图象可知，在定义域上单调递增，而是增函数， 根据复合函数单调性同增异减可知，， ，所以，， 由图可知当时，， 所以A选项正确. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解题思路】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【解答过程】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【答案】C 【解题思路】根据对数函数的图象性质即可求解. 【解答过程】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1． 过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c． 故选：C． 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【解答过程】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 【变式7-1】（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】要使在上单调递增，需要在上也单调递增且在上恒成立.我们将分情况讨论的取值范围. 【解答过程】当时，此时，这是一个一次函数，其斜率，函数在上单调递减，不满足在上单调递增的条件，所以. 当时，对于二次函数，其对称轴为. 要使在上单调递增，则对称轴，即. 同时，要使在上恒成立，即当时，， 解不等式，得到，即.综合起来，. 当时，二次函数的图象开口向下，在上不可能单调递增，所以这种情况不符合要求. 综上，实数的取值范围是. 故选；C. 【变式7-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)奇函数，证明如见解析 (2)单调递增区间为和，单调递减区间不存在 【解题思路】（1）求出函数的定义域，利用奇偶性定义推理判断即可. （2）结合反比例函数与对数函数求出单调区间. 【解答过程】（1）函数中，，解得或， 则的定义域为， 函数为奇函数，证明如下：， 由奇函数的定义可知，为奇函数． （2）令，函数在和上单调递增， 又在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间不存在. 【变式7-3】（24-25高一上·新疆和田·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若，求的单调区间； 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【解题思路】（1）依题意恒成立，则，从而求出的取值范围； （2）首先求出的值，即可求出函数的定义域，在根据复合函数的单调性求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）因为的定义域为，所以恒成立， 所以，解得， 即的取值范围为. （2）因为，即，解得， 所以， 令，即，解得或， 所以函数的定义域为， 令，，函数在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【题型8 对数型复合函数的应用】 【例8】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由单调性的定义说明即可； （2）首先说明是奇函数，再结合函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】（1）在上单调递增． 证明如下：令，解得，所以的定义域为．设， 得． 因为，所以， 得，所以在上单调递增． （2），定义域为，，所以是奇函数． 所以原不等式可化为，即， 又在上单调递增，所以，解得， 所以x的取值范围为． 【变式8-1】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【解题思路】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【解答过程】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明； (3)当时，求使的的取值范围． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据对数函数的定义域列出不等式组求解； （2）根据对数的运算及奇函数的定义证明； （3）由对数函数的单调性解不等式即可求解. 【解答过程】（1）， 解得， 定义域为． （2）为奇函数． 证明：由（1）知函数的定义域为， ， 故为奇函数． （3）由，可得， 即， 当时，由单调递增可得， 又，解得， 的取值范围是． 【变式8-3】（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【解答过程】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 【题型9 对数函数模型的应用】 【例9】（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【解题思路】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【解答过程】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 【变式9-1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意得到方程，得到. 【解答过程】由题意得，即， . 故选：B. 【变式9-2】（24-25高一上·湖南·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差. (1)当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值； (2)当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？ 【答案】(1) (2)9倍 【解题思路】（1）根据已知条件直接代入方程，结合对数的运算即可求解； （2）根据已知条件以及对数的运算性质即可求解. 【解答过程】（1）由题意可得：，解得，所以. （2）设乙鲑鱼耗氧量偏差为，乙鲑鱼的耗氧量为， 则甲鲑鱼耗氧量偏差为，甲鲑鱼的耗氧量为， 因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则， 化简得， 则，即，可得， 所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍. 【变式9-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 【答案】(1) (2)司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 【解题思路】（1）由题意建立方程组，解之即可求解； （2）由（1），将代入即可下结论. 【解答过程】（1）由题意知，解得， 所以. （2）因为，将代入， 得， 所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 【题型10 指数函数与对数函数的综合应用】 【例10】（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数为偶函数． (1)求m的值； (2)若，判断在上的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3)． 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性求m的值； （2）利用定义法，结合指数函数的单调性即可证明单调性； （3）利用参变分离得到，且在区间上恒成立，换元，构造函数，利用单调性求出函数的最小值，即可求解a的取值范围． 【解答过程】（1） 定义域为R， ， 由于函数为偶函数，所以， 即，即， 即恒成立， （2）已知函数， 由于函数在上单调递增， 由第问可得，因此， 不妨设，，且， 则 ， 因为，所以， 又因为，， 因此，所以，故， 所以函数在上单调递增. （3）由题得，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因为，所以， 所以在区间上恒成立， 令， 则， 令， 因为在单调递增且， 所以函数在上单调递减，故，， 对任意的恒成立，且，， 实数a的取值范围是． 【变式10-1】（25-26高一上·云南·期中）已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)是奇函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据指数函数的定义可求出，写出函数表达式. （2）根据奇函数的定义证明即可. （3）利用单调性解不等式并注意真数大于0即可. 【解答过程】（1）依题意，，解得或， 而，故， 所以. （2）由（1）知，定义域为R，， 所以函数是奇函数. （3）不等式化为， 因此，解得， 所以不等式的解集为. 【变式10-2】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）根据奇函数定义计算可得； （2）利用换元法以及二次函数单调性将问题转化成值域的包含关系，解不等式可得结果. 【解答过程】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. （2）由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 【变式10-3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数定义以及函数解析式可得结果； （2）由函数单调性定义证明即可得出结论； （3）根据对数的运算性质，分离参数得，再求出都最小值即可. 【解答过程】（1）设的定义域为， 由题意得对于任意，都有恒成立， 即恒成立， ∴，∴， 当时，无意义； 当时，是定义域为的奇函数， ∴； （2）在上单调递减， 证明：设， 则 ， ∵， ∴，∴， ∴，∴， ∴在上单调递减； （3）由， 得， 即， 所以， 所以， 令， 则，所以， 令，则， 则， 因为函数在都是增函数， 所以在是增函数， 所以，所以， 所以， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $