第4章 指数与对数（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

第4章 指数与对数 教学目标 1.通过根式的化简或求值问题，认真领会运算性质，培养数学抽象和数学运算的核心素养。 2.熟记指数幂的运算性质，掌握指数幂的运算，提升数学运算的核心素养。 3.对数的性质与对数恒等式是对数化简求值的重要依据，要认真理解、掌握，提升数学运算的核心素养。 4.通过对数的运算性质进行对数运算，提升数学运算的核心素养。 教学重难点 1.重点 指数幂的运算性质与对数的运算性质； 2.难点 指数与对数的综合应用. 知识点01 根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【即学即练】 1．下列等式中成立的个数是（  ） ①（且）；②（为大于的奇数）；③（为大于零的偶数）. A．个 B．个 C．个 D．个 2．若，，则的值为（  ） A．1 B．5 C． D． 知识点02 指数幂 1、整数指数幂 （1）正整数指数幂的定义：，其中， （2）正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 2、分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3、有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 4、无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【即学即练】 1．已知,，则的值为______. 2．计算下列各式： (1). (2). 知识点03 对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 3、指数式与对数式的相互转化 当且， 【即学即练】 1．已知，则的值为（  ） A． B． C．3 D． 2．在中，实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 知识点04 对数运算 1、对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 2、对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 3、对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【即学即练】 1．=____________ 2．已知，则等于（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 题型01 根式的化简或求值 【典例1】化简（  ） A． B． C．2 D． 根式的化简与求值要使用根式的运算性质： (1)当n为任意正整数时，()n＝a； (2)当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 【变式1】若，则的值为（  ） A． B． C．1 D．7 【变式2】化简的结果是（  ） A．1－2x B．0 C．2x－1 D．(1－2x)2 【变式3】若，，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式4】把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（  ） A． B． C． D． 题型02 指数幂的运算 【典例1】化简. 对有理数指数幂的运算性质的三点说明： (1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为： ①同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ②幂的幂，底数不变，指数相乘； ③积的幂等于幂的积． (2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘． (3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数． 利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧 (1)有括号先算括号里的． (2)无括号先做指数运算． (3)负指数幂化为正指数幂的倒数． (4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数的运算性质． 【变式1】式子的计算结果为（  ） A． B． C． D． 【变式2】若，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）下列运算（化简）中正确的有（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知，则=____________ 题型03 对数恒等式的应用 【典例1】计算：为（  ） A．3 B．-3 C．2 D．-1 对数恒等式的两点说明 (1)对数恒等式的证明依据：对数的定义． (2)对于对数恒等式＝N要注意格式： ①它们是同底的；②指数中含有对数式；③其值为对数的真数． 【变式1】计算（  ） A．7 B．9 C．10 D．20 【变式2】化简的值为（  ） A． B． C． D．-1 【变式3】=__________ 题型04 对数运算 【典例1】计算下列各式的值： (1)4lg 2＋3lg 5－lg； (2)； (3)4log32－log3＋log34－log327； (4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)； (5)lg. 对数的运算性质是对数运算的依据，利用对数的运算性质时，要注意公式成立的前提条件．对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度 对数的运算性质在解题中的两种应用 【变式1】计算下列各式的值： (1)log535＋2log－log5－log514； (2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64. 【变式2】若，，则（  ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【变式3】设，则_____________ 【变式4】已知且，则 ． 【变式5】（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示． 题型05 对数的应用 【典例1】一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（  ）（） A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1 【变式1】随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（  ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【变式2】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为（k＝1，2）.已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为________ 【变式3】19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式3】（多选）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（  ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 1．已知，则（  ） A．25 B．5 C． D． 2．的值为（  ） A． B． C．+1 D．-2 3．若，则（  ） A． B． C．1 D． 4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得，，由此可知的近似值为（  ） A．－1.519 B．－1.726 C．－1.609 D．－1.316 5．已知，则（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知，则的值为（  ） A．4 B．2 C．1 D． 7．（多选）实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（  ） A． B． C． D． 9．（多选）已知，则下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 10．计算： ． 11．已知，则 .（用含的式子表示） 12．若正实数，满足，，则 . 13．计算： (1) (2) (3)，，试用，表示 14．对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. . 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 指数与对数 教学目标 1.通过根式的化简或求值问题，认真领会运算性质，培养数学抽象和数学运算的核心素养。 2.熟记指数幂的运算性质，掌握指数幂的运算，提升数学运算的核心素养。 3.对数的性质与对数恒等式是对数化简求值的重要依据，要认真理解、掌握，提升数学运算的核心素养。 4.通过对数的运算性质进行对数运算，提升数学运算的核心素养。 教学重难点 1.重点 指数幂的运算性质与对数的运算性质； 2.难点 指数与对数的综合应用. 知识点01 根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【即学即练】 1．下列等式中成立的个数是（  ） ①（且）；②（为大于的奇数）；③（为大于零的偶数）. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【解析】对于①，当且时，，①对； 对于②，当为大于的奇数时，，②对； 对于③，当为大于零的偶数时，，③对. 故选：D. 2．若，，则的值为（  ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， 则， 所以的值为1. 故选：A 知识点02 指数幂 1、整数指数幂 （1）正整数指数幂的定义：，其中， （2）正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 2、分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3、有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 4、无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【即学即练】 1．已知,，则的值为______. 【答案】47 【解析】由，得，即， 所以，则. 故答案为：. 2．计算下列各式： (1). (2). 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】(1)原式. (2)原式. 知识点03 对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 3、指数式与对数式的相互转化 当且， 【即学即练】 1．已知，则的值为（  ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】∵，，∴， 解得， 故选：D. 2．在中，实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对数的定义知， 解得 或 . 故选C． 知识点04 对数运算 1、对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 2、对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 3、对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【即学即练】 1．=____________ 【答案】0 【解析】原式 2．已知，则等于（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【解析】由得：，， 所以， 故选：A 题型01 根式的化简或求值 【典例1】化简（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用配方法将被开方数配凑成完全平方形式即可求解. 【解析】， 故选：D． 根式的化简与求值要使用根式的运算性质： (1)当n为任意正整数时，()n＝a； (2)当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 【变式1】若，则的值为（  ） A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】利用根式的性质可求的值. 【解析】, 故选：C. 【变式2】化简的结果是（  ） A．1－2x B．0 C．2x－1 D．(1－2x)2 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用根式的性质化简代数式即可. 【解析】∵，则， ∴. 故选：C. 【变式3】若，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的性质化简代数式即可. 【解析】因为，， 所以. 故选：D 【变式4】把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可. 【解析】 ，即 ， ， . 故选：A . 题型02 指数幂的运算 【典例1】化简. 【答案】 【解析】 对有理数指数幂的运算性质的三点说明： (1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为： ①同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ②幂的幂，底数不变，指数相乘； ③积的幂等于幂的积． (2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘． (3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数． 利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧 (1)有括号先算括号里的． (2)无括号先做指数运算． (3)负指数幂化为正指数幂的倒数． (4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数的运算性质． 【变式1】式子的计算结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数运算法则直接计算可得结果. 【解析】. 故选：D. 【变式2】若，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式条件两边平方可得，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值. 【解析】由题设，，即， 又，且， 所以. 故选：A. 【变式3】（多选）下列运算（化简）中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数幂的运算法则逐一验证即可 【解析】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：ABD 【变式4】已知，则=____________ 【答案】 或. 【解析】，即 . ，故 或， 或. 故答案为： 或 题型03 对数恒等式的应用 【典例1】计算：为（  ） A．3 B．-3 C．2 D．-1 【答案】A 【解析】． 故选：A 对数恒等式的两点说明 (1)对数恒等式的证明依据：对数的定义． (2)对于对数恒等式＝N要注意格式： ①它们是同底的；②指数中含有对数式；③其值为对数的真数． 【变式1】计算（  ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【解析】. 故选：D 【变式2】化简的值为（  ） A． B． C． D．-1 【答案】A 【解析】 故选：A. 【变式3】=__________ 【答案】 【解析】 . 故答案为： 题型04 对数运算 【典例1】计算下列各式的值： (1)4lg 2＋3lg 5－lg； (2)； (3)4log32－log3＋log34－log327； (4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)； (5)lg. 【答案】(1)4; (2); (3)－1; （4）；（5） 【解析】(1)原式＝lg(24×53×5)＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4. (2)原式＝＝＝. (3)原式＝4log32－(6log32－2)＋2log32－3log33＝4log32－6log32＋2＋2log32－3＝－1. (4)原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)] ＝log2[(1＋)2－()2]＝log22＝. (5)原式＝lg ＝lg ＝lg 10＝. 对数的运算性质是对数运算的依据，利用对数的运算性质时，要注意公式成立的前提条件．对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度 对数的运算性质在解题中的两种应用 【变式1】计算下列各式的值： (1)log535＋2log－log5－log514； (2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64. 【答案】(1)2; (2)1; 【解析】(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2＝log5＋log2＝log553－1＝3－1＝2. (2)原式＝[(log66－log63)2＋log62 ·log6(2×32)]÷log64 ＝÷log622 ＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷(2log62)＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1. 【变式2】若，，则（  ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【解析】由， 所以 故选：A 【变式3】设，则_____________ 【答案】 【解析】. 故答案为： 【变式4】已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【解析】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 【变式5】（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），， ，， ； （2），， ． 题型05 对数的应用 【典例1】一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（  ）（） A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1 【答案】B 【解析】根据题意，，即，解得， ，即， 所以， 所以； 故选：B 【变式1】随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（  ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】C 【解析】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，则，即，从而，即传输距离增加了约3倍， 故选：C． 【变式2】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为（k＝1，2）.已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为________ 【答案】 【解析】因为，所以 故答案为： 【变式3】19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【解析】易知， 由可得； 所以，解得. 故选：B 【变式3】（多选）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（  ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【解析】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 1．已知，则（  ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】因为，，即，所以． 故选：C. 2．的值为（  ） A． B． C．+1 D．-2 【答案】B 【解析】原式， 故选:B 3．若，则（  ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】，， . 故选：C 4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得，，由此可知的近似值为（  ） A．－1.519 B．－1.726 C．－1.609 D．－1.316 【答案】C 【解析】因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为， 所以， 所以ln0.2＝－ln5≈－1.609. 故选：C 5．已知，则（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】依题意，， 则． 故选：B 6．已知，则的值为（  ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，可得 ， 即， 所以，即， 所以. 故选：D. 7．（多选）实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算判断A；根据对数的运算性质判断BCD. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 8．（多选）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数与对数的互化，设，得，，，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解． 【解析】已知正实数，则设，所以，，， 对于A，因为 ， 又，所以，所以，即，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ， 又因为，故等号不成立，所以，即，故D正确， 故选：ACD． 9．（多选）已知，则下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为， 所以， 对A选项，，所以，故A正确； 对B选项，， 所以，故B选项不正确； 对C选项，因为，， 所以， 而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确； 对D选项， ,故D正确. 故选：AD 10．计算： ． 【答案】 【解析】 . 故答案为： 11．已知，则 .（用含的式子表示） 【答案】 【解析】因为，所以，又， 所以 . 故答案为： 12．若正实数，满足，，则 . 【答案】100 【解析】由于，整理得，①， 又，②， 所以①+②得：； 即 对于取常用对数可得，， 故. 故答案为：100. 13．计算： (1) (2) (3)，，试用，表示 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可. （2）根据对数的运算性质计算即可. （3）根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则计算即得. 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）由，得， 则 14．对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【解析】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $