1.2.3 相反数 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦相反数核心知识点，以“定义—性质—应用”为学习支架，系统梳理“只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0）”的定义，延伸至性质（成对出现、和为0、数轴上关于原点对称），再到求法（改变符号，式子整体加括号）及加括号去括号法则，形成递进式知识体系。 资料突出“重点—易错—方法”三维提示，如强调“式子相反数需整体加括号”避免错误，分题型典例（判断、求相反数、数轴结合等）与分层训练（A到D档），培养学生运算能力与几何直观。课中助力教师分阶授课，课后帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

初中数学（RJ）七年级上册 1.2.3 相反数 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解相反数的意义，会求一个数的相反数，体会数形结合思想。 二、知识梳理 知识点 1 　相反数的定义 相反数的定义：像3和﹣3，﹣8和8这样只有符号不同同的两个数互为相反数。把其中一个数叫做另一个数的相反数。规定0的相反数是0。 注意：相反数一定是成对出现，一个数不能说相反数。 ★ 重点　相反数指的是"只有符号不同"的两个数——数字部分必须完全相同，仅正负号相反。0 的相反数是 0。 ⚠ 易错　＋3 与 －5 符号不同，但数字部分不同，它们不是相反数。务必抓住"只有符号不同"这个"只"字。 知识点 2 　相反数的性质 相反数的性质： ①任何数都有且只有一个相反数。正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；规定0的相反数是0。 若则，若则，若则 ②数轴上互为相反数所对应的两个点分别在原点的两侧，且到原点的距离相等。 拓展：互为相反数的两个数和为0，即若数和数互为相反数，则。数和数互为相反数还可表示为。数和数互为相反数且均不等于0时还可表示为。反之，若或或，则数和数互为相反数 ★ 重点　的相反数是；互为相反数的两数之和为 0，即 ；在数轴上，互为相反数的两点关于原点对称，到原点距离相等。 ⚠ 易错　多重符号化简时只数负号个数：负号有奇数个结果为负，偶数个结果为正。例如 －[－(－3)] 有 3 个负号，结果是 －3。 ◆ 方法　看到"a、b 互为相反数"，立刻转化为 a＋b＝0 来用，这是解题的关键突破口。 知识点 3 　求相反数 求一个数的相反数： 求一个具体数或一个字母或数字与字母的积的相反数时，只需要改变它前面的符号，其他不变即可得到它的相反数。 求一个式子的相反数： 把式子用括号括起来，在前面加 “﹣” ，然后去括号化简即可得到相反数。 ★ 重点　求一个数（或式子）的相反数，就是在它前面添一个负号，再化简。 ⚠ 易错　求式子的相反数时必须整体加括号！a＋b 的相反数是 －(a＋b)，即 －a－b，而不是 －a＋b。这是最高频的失分点。 知识点 4 　加括号和去括号 加括号： 若在“－”后面加括号，则写在括号里面的每一项都需要变符号；若在“＋”后面加括号，则只需要把每一项照写。 去括号： 在去掉括号时，若括号前面是“－”，则去掉“－”和括号，把括号内的每一项改变符号，若括号前面是“＋”，则去掉“＋”和括号，把括号内的每一项照写。也可以利用乘法分配率，将括号前的符号与括号内的每一项进行符号化简。 ★ 重点　去括号法则：括号前是"＋"，去掉括号后括号内各项符号都不变；括号前是"－"，去掉括号后括号内各项符号都要改变。 ⚠ 易错　括号前是负号时，很多同学只把第一项变号，后面的项忘了变。例如 －(a－b＋c) 应等于 －a＋b－c，三项全部变号，一项都不能漏。 三、即学即练 1.　下列是﹣3的相反数是（　　） A．3　　B．−　　C．　　D．﹣3 【答案】A解：﹣3的相反数是3． 2.　下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．2与　　B．2与−　　C．﹣2与−　　D．2与﹣2 【答案】D解：A、2与不是相反数，故此选项错误；B、2与−不是相反数，故此选项错误；C、﹣2与−不是相反数，故此选项错误；D、2与﹣2是相反数，故此选项正确； 3.　一个数的相反数比它的本身大，则这个数是（　　） A．正数　　B．负数　　C．0　　D．负数和0 【答案】B解：∵一个数的相反数比它的本身大，∴这个数是负数． 4.　如图，表示互为相反数的两个点是（　　） A．点A和点D　　B．点B和点C　　C．点A和点C　　D．点B和点D 【答案】C解：2和﹣2互为相反数， 5.　若a与1互为相反数，则a+1＝（　　） A．﹣1　　B．0　　C．2　　D．1 【答案】B解：∵a与1互为相反数，∴a＝﹣1，∴a+1＝﹣1+1＝0． 6.　﹣2024的相反数是 ． 【答案】解：﹣2024的相反数是2024， 7.　a﹣2b﹣3c的相反数是（　　） A．a+2b+3c　　B．﹣a+2b+3c　　C．﹣a﹣2b﹣3c　　D．﹣a﹣2b+3c 【答案】B解：∵a﹣2b﹣3c的相反数是﹣（a﹣2b﹣3c），∴a﹣2b﹣3c的相反数是﹣a+2b+3c． 8.　下列化简，正确的是（　　） A．﹣[﹣（﹣10）]＝﹣10 B．﹣（﹣3）＝﹣3 C．﹣（+5）＝5 D．﹣[﹣（+8）]＝﹣8 【答案】A解；A、﹣[﹣（﹣10）]＝﹣[10]＝﹣10，故A正确；B、﹣（﹣3）＝3，故B错误；C、﹣（+5）＝﹣5，故C正确；D、﹣[﹣（+8）]＝﹣[﹣8]＝8，故D错误 9.　下列变形，错误的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝﹣a+b B．﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b C．a﹣b＝﹣（﹣a+b） D．﹣a﹣b＝﹣（a﹣b） 【答案】D解：∵﹣（a﹣b）＝﹣a+b，∴选项A不符合题意； ∵﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b，∴选项B不符合题意； ∵a﹣b＝﹣（﹣a+b），∴选项C不符合题意； ∵﹣a﹣b＝﹣（a+b），∴选项D符合题意． 四、典例精析（分题型突破） 题型 1 　判断两个数是否为相反数 考察　相反数的定义——只有符号不同、和为 0，0 的相反数是 0。 例1　下列各对数中，互为相反数的（　　） A．﹣（﹣2）和2 B．﹣（﹣5）和+（﹣5） C．和﹣2 D．+（﹣3）和﹣（+3） ⚠ 易错　求式子的相反数必须整体加括号再化简：a＋b 的相反数是 －(a＋b)＝－a－b，不是 －a＋b。 【答案】B解：∵﹣（﹣5）＝5，+（﹣5）＝﹣5，5和﹣5互为相反数， 变式1　下列两个数中，互为相反数的是（　　） A．+3和﹣（﹣3） B．3和 C．﹣2和− D．+（﹣4）和﹣（﹣4） ⚠ 易错　求式子的相反数必须整体加括号再化简：a＋b 的相反数是 －(a＋b)＝－a－b，不是 －a＋b。 【答案】D解：A、﹣（﹣3）＝3，故不是相反数，不合题意；B、3和不是相反数，不合题意；C、﹣2和−不是相反数，不合题意；D、+（﹣4）＝﹣4，﹣（﹣4）＝4，是相反数，符合题意； 变式2　下列各对数中，不是互为相反数的一对是（　　） A．﹣（+5）和+（﹣5） B．﹣（﹣2）与﹣2 C．0和0 D．﹣1和1.5 【答案】A解：A、∵﹣（+5）＝﹣5，+（﹣5）＝﹣5，∴﹣（+5）和+（﹣5）这两个数不是互为相反数，符合题意；B、∵﹣（﹣2）＝2，∴﹣（﹣2）与﹣2这两个数是互为相反数，不符合题意；C、∵0的相反数是0，∴0和0这两个数是互为相反数，不符合题意；D、∵﹣1=−1.5，∴﹣1和1.5这两个数是互为相反数，不符合题意． 变式3　下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+7）与+（﹣7） B．−与+（﹣0.5） C．−与 D．+（﹣0.01）与﹣（﹣0.01） 【答案】D解：A．﹣（+7）＝﹣7，+（﹣7）＝﹣7，因此选项A不符合题意；B．+（﹣0.5）=−，因此选项B不符合题意；C．−与是互为负倒数，因此选项C不符合题意；D．+（﹣0.01）＝﹣0.01，而﹣（﹣0.01）＝0.01，因此选项D符合题意． 题型 2 　求数或式子的相反数　 考察　求式子的相反数要整体加括号再变号，不能只对首项变号。 例2　−的相反数是（　　） A．5　　B．﹣5　　C．　　D．− 【答案】C解：−的相反数是 变式1　−的相反数是（　　） A．−　　B．　　C．2013　　D．﹣2013 【答案】B解：−的相反数是． 变式2　﹣m的相反数是 ，﹣m+1的相反数是 ． 【答案】解：﹣m的相反数是 m，﹣m+1的相反数是 m﹣1， 变式3　若a、b、c都是有理数，那么2a﹣3b+c的相反数是（　　） A．3b﹣2a﹣c　　B．﹣3b﹣2a+c　　C．3b﹣2a+c　　D．3b+2a﹣c 【答案】A解：根据相反数的定义，得2a﹣3b+c的相反数是﹣（2a﹣3b+c）＝3b﹣2a﹣c． 变式4　a﹣（﹣b+c）的相反数是（　　） A．a+b+c　　B．a+b﹣c　　C．﹣a﹣b+c　　D．﹣a+b+c 【答案】C解：a﹣（﹣b+c）＝a+b﹣c，它的相反数是：﹣（a+b﹣c）＝﹣a﹣b+c． 题型 3 　相反数的性质　 考察　a 与 −a 的关系及多重符号化简——“负号个数为偶则正、为奇则负”。 例3　若a、b互为相反数，则a+b﹣（﹣2）的值为（　　） A．﹣2　　B．0　　C．2　　D．±2 【答案】C解：a、b互为相反数，∴a+b＝0．∴原式＝0﹣（﹣2）＝0+2＝2． 变式1　若2a与1﹣a互为相反数，则a的值等于（　　） A．0　　B．﹣1　　C．　　D． 【答案】B解：根据题意得：2a+1﹣a＝0，解得：a＝﹣1． 变式2　下列各组代数式中，互为相反数的有（　　） ①a﹣b与﹣a﹣b；②a+b与﹣a﹣b；③a+1与1﹣a；④﹣a+b与a﹣b． A．①②④　　B．②④　　C．①③　　D．③④ 【答案】B解：②a+b与﹣a﹣b互为相反数；④﹣a+b与a﹣b互为相反数． 变式3　若2m+1与﹣2互为相反数，则m的值为 　　 ． 【答案】解：∵2m+1与﹣2互为相反数，∴2m+1﹣2＝0，∴m=． 变式4　已知p与q互为相反数，且p≠0，那么下列关系式正确的是（　　） A．p•q＝1　　B．=1　　C．p+q＝0　　D．p﹣q＝0 【答案】C解：根据互为相反数的性质，得p+q＝0． 题型 4 　相反数与数轴　 考察　几何意义——互为相反数的两点关于原点对称，到原点距离相等。 例4　如图，互为相反数的点是（　　） A．点A与点C　　B．点B与点D　　C．点B与点C　　D．点A与点D ⚠ 易错　看到"互为相反数"，立即转化为"两数之和为 0"来使用，这通常是解题的突破口。 【答案】A解：∵从数轴上可知：A点表示的数是3，B点表示的数是1，C点表示的数是﹣3，D点表示的数是﹣2，∴互为相反数的点是A和C． 变式1　如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是 ． 【答案】解：4÷2＝2，则这两个数是+2和﹣2． 变式2　数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，A在B的左侧，并且这两点的距离是6.4，则这两点所表示的数分别是 和 ． ⚠ 易错　看到"互为相反数"，立即转化为"两数之和为 0"来使用，这通常是解题的突破口。 【答案】解：6.4÷2＝3.2，∵A在B的左侧，∴A表示的数为﹣3.2，B表示的数为3.2； 变式3　数轴上A点表示﹣3，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是 ． 【答案】解：∵点B到点A的距离是2，∴点B表示的数为﹣1或﹣5， ∵B、C两点表示的数互为相反数，∴点C表示的数应该是1或5． 变式4　已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 【答案】解：（1）如图，； （2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为10，所以b表示的数是﹣10； （3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，所以a表示的点到原点的距离为5， 题型 5 　加括号与去括号　 考察　符号法则——括号前是负号时，去括号后括号内各项都要变号。 例5　化简下列各式：+（﹣7）＝ ，﹣（+1.4）＝ ，+（+2.5）＝ ． 【答案】解：+（﹣7）＝﹣7，﹣（+1.4）＝﹣1.4，+（+2.5）＝2.5． 变式1　若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣3，则x的相反数是 ． 【答案】解：∵﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣3，∴x＝﹣3，即x的相反数为3． 变式2　﹣（a﹣b+c）变形后的结果是（　　） A．﹣a+b+c　　B．﹣a+b﹣c　　C．﹣a﹣b+c　　D．﹣a﹣b﹣c 【答案】B解：﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c 变式3　下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A．x﹣（y﹣z）＝x﹣y﹣z B．﹣（x﹣y+z）＝﹣x﹣y﹣z C．x+2y﹣2z＝x﹣2（y﹣z） D．﹣a+c+d+b＝﹣（a﹣b）+（c+d） 【答案】D解：A、x﹣（y﹣z）＝x﹣y+z，故此选项错误；B、﹣（x﹣y+z）＝﹣x+y﹣z，故此选项错误；C、x﹣2y﹣2z＝x﹣2（y+z），故此选项错误；D、﹣a+c+d+b＝﹣（a﹣b）+（c+d），故此选项正确． 变式4　下列变形中错误的是（　　） A．m2﹣（2m﹣n﹣p）＝m2﹣2m+n+p B．m﹣n+p﹣q＝m﹣（n+p﹣q） C．3m﹣5n﹣1+2p＝﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）] D．m+1﹣（﹣n+p）＝﹣（﹣1﹣n﹣m+p） 【答案】B解：A、m2﹣（2m﹣n﹣p）＝m2﹣2m+n+p，故正确；B、m﹣n+p﹣q＝m﹣（n﹣p+q），故错误；C、3m﹣5n﹣1+2p＝﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）]，故正确；D、m+1﹣（﹣n+p）＝m+1+n﹣p，﹣（﹣1﹣n﹣m+p）＝1+n+m﹣p，左右两边相等，故正确． 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　﹣2030的相反数是（　　） A．　　B．−　　C．2030　　D．﹣2030 【答案】C解：﹣2030的相反数是2030． 2.　已知﹣3的相反数是a，则a的值为（　　） A．3　　B．−　　C．　　D．﹣3 【答案】A解：﹣3的相反数是3，∴a＝3． 3.　下列两个数中，互为相反数的是（　　） A．+5和﹣（﹣5） B．+（﹣8）和﹣（﹣8） C．﹣7和− D．4和 【答案】B解：A、﹣（﹣5）＝5，两个数不是互为相反数，不符合题意；B、+（﹣8）＝﹣8，﹣（﹣8）＝8，两个数是互为相反数，符合题意；C、﹣7和−，不是互为相反数，不符合题意；D、4和，不是互为相反数，不符合题意． 4.　下列说法中正确的是（　　） A．正数和负数互为相反数 B．任何一个数的相反数都与它本身不相同 C．任何一个数都有它的相反数 D．数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 【答案】C解：A、例如1与﹣2，它们一个是正数和一个是负数，但是他们不是互为相反数，故本选项错误；B、0的相反数是0，故本选项错误；C、根据相反数的概念，任何一个数都有相反数，故本选项正确；D、数轴上原点两旁的两个点表示的数﹣5，4，但﹣5，4不是互为相反数，故本选项错误． 5.　有理数a在数轴上对应的点到原点的距离为5，则a的相反数是（　　） A．5　　B．﹣5　　C．5或﹣5　　D．不能确定 【答案】C解：根据题意可知，a＝5或a＝﹣5，∴a的相反数是﹣5或5． 6.　若一个数的相反数等于它本身，则这个数是（　　） A．﹣1　　B．1　　C．2　　D．0 【答案】D解：∵0的相反数是0，∴如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0． 7.　a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，那么b与c的关系是（　　） A．互为相反数　　B．互为倒数　　C．相等　　D．无法确定 【答案】A解：由题意得，a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，则a+2b+3c＝a+b+2c，即b+c＝0，b与c互为相反数． 8.　x+1和y﹣2互为相反数，那么x+y＝ ． 【答案】1．解：根据题意得x+1+y﹣2＝0，所以x+y＝1， 9.　如果一个数的相反数是最小正整数，则这个数是 ． 【答案】解：∵最小的正整数为1，∴1的相反数为﹣1，该数为﹣1． B 档 　巩固提升　 1.　下列各式中，化简正确的是（　　） A．﹣（+7）＝﹣7 B．﹣（﹣7）＝﹣7 C．+（﹣7）＝7 D．﹣[+（﹣7）]＝﹣7 【答案】A解：A、﹣（+7）＝﹣7，正确；B、﹣（﹣7）＝7，故此选项错误；C、+（﹣7）＝﹣7，故此选项错误；D、﹣[+（﹣7）]＝7，故此选项错误； 2.　下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b＝0；②若a+b＝0，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则=−1；④若=−1，则a、b互为相反数．其中正确的结论有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】C解：①∵只有符号不同的两个数叫做互为相反数，∴若a、b互为相反数，则a+b＝0，故本小题正确；②∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴a、b互为相反数，故本小题正确；③∵0的相反数是0，∴若a＝b＝0时，−无意义，故本小题错误；④∵=−1，∴a＝﹣b，∴a、b互为相反数，故本小题正确． 3.　下列去括号或添括号的变形中，正确的是（　　） A．2a﹣（5b﹣c）＝2a﹣5b﹣c B．3a+5（2b﹣1）＝3a+10b﹣1 C．4a+3b﹣2c＝4a+（3b﹣2c） D．m﹣n+a﹣2b＝m﹣（n+a﹣2b） 【答案】C解：A、2a﹣（5b﹣c）＝2a﹣5b+c，故本选项不符合题意；B、3a+5（2b﹣1）＝3a+10b﹣5，故本选项不符合题意；C、4a+3b﹣2c＝4a+（3b﹣2c），故本选项符合题意；D、m﹣n+a﹣2b＝m﹣（n﹣a+2b），故本选项不符合题意； 4.　（1）分别写出﹣7和的相反数；（2）a的相反数是2.4，写出a的值． 【答案】解：（1）﹣7 的相反数是7， 的相反数是−； （2）因为2.4与﹣2.4互为相反数，所以a的值是﹣2.4． 5.　已知两数a+b+（﹣c）与c+（﹣a）+（﹣b），试说明两数互为相反数． 【答案】解：a+b+（﹣c）＝a+b﹣c，c+（﹣a）+（﹣b）＝﹣a﹣b+c＝﹣（a+b﹣c）， ∵a+b﹣c与﹣（a+b﹣c）互为相反数， ∴a+b+（﹣c）与c+（﹣a）+（﹣b）两数互为相反数． C 档 　提高拓展　 1.　化简−[−(+)]= ． 【答案】．解：−[−(+)]=+（+）=． 2.　在数轴上点A，B表示的数互为相反数，且两点间的距离是8，点A在点B的右边，则点A表示的数为 4，B表示的数为 ． 【答案】解：∵点A，B表示的数互为相反数，且两点间的距离是8，∴A、B到原点的距离都是8÷2＝4， ∵点A在点B的右边，∴点A表示的数为4，B表示的数为﹣4． D 档 　压轴挑战　 1.　若定义：μ{a，b}＝（a，﹣b），v[m，n]＝（﹣m，n），例如μ{1，2}＝（1，﹣2），v[3，4]＝（﹣3，4），则μ{ν[2，﹣3]}= ． 【答案】（﹣2，3）．解：∵v[m，n]＝（﹣m，n），∴v[2，﹣3]＝（﹣2，﹣3），∴μ{ν[2，﹣3]}＝μ{﹣2，﹣3}， ∵μ{a，b}＝（a，﹣b），∴μ{ν[2，﹣3]}＝μ{﹣2，﹣3}＝（﹣2，3）． 2.　化简下列各数． （1）﹣[﹣（﹣3）]；（2）−[−(+)]；（3）−{−[−(+2)]}． ⚠ 易错　多重符号化简只需数负号个数：奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 【答案】（1）﹣3；（2）；（3）−2．解：（1）﹣[﹣（﹣3）]＝﹣（+3）＝﹣3； （2）−[−(+)]=−(−)=； （3）原式=−[−(−2)]=−(+2)=−2． 3.　如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： （1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ （2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？ 【答案】解：（1）点C表示的数是﹣1； （2）点C表示的数是0.5，D表示的数是﹣4.5． 4.　化简下列各式的符号，并回答问题： （1）﹣（﹣2）；（2）+（−）；（3）﹣[﹣（﹣4）]（4）﹣[﹣（+3.5）]；（5）（﹣{﹣[﹣（﹣5）]}）（6）﹣{﹣[﹣（+5）]} 问：①当+5前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当﹣5前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ ⚠ 易错　规律探究题：先写出前几项观察周期或增减趋势，归纳出通项后务必回代验证，并注意序号 n 是从 1 还是从 0 开始。 【答案】解：（1）﹣（﹣2）＝2；（2）+（−）=−；（3）﹣[﹣（﹣4）]＝﹣4；（4）﹣[﹣（+3.5）]＝3.5；（5）（﹣{﹣[﹣（﹣5）]}）＝5；（6）﹣{﹣[﹣（+5）]}＝﹣5； ①当+5前面有2012个负号，化简后结果是+5； ②当﹣5前面有2013个负号，化简后结果+5， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 1.2.3 相反数 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解相反数的意义，会求一个数的相反数，体会数形结合思想。 二、知识梳理 知识点 1 　相反数的定义 相反数的定义：像3和﹣3，﹣8和8这样只有符号不同同的两个数互为相反数。把其中一个数叫做另一个数的相反数。规定0的相反数是0。 注意：相反数一定是成对出现，一个数不能说相反数。 ★ 重点　相反数指的是"只有符号不同"的两个数——数字部分必须完全相同，仅正负号相反。0 的相反数是 0。 ⚠ 易错　＋3 与 －5 符号不同，但数字部分不同，它们不是相反数。务必抓住"只有符号不同"这个"只"字。 知识点 2 　相反数的性质 相反数的性质： ①任何数都有且只有一个相反数。正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；规定0的相反数是0。 若则，若则，若则 ②数轴上互为相反数所对应的两个点分别在原点的两侧，且到原点的距离相等。 拓展：互为相反数的两个数和为0，即若数和数互为相反数，则。数和数互为相反数还可表示为。数和数互为相反数且均不等于0时还可表示为。反之，若或或，则数和数互为相反数 ★ 重点　的相反数是；互为相反数的两数之和为 0，即 ；在数轴上，互为相反数的两点关于原点对称，到原点距离相等。 ⚠ 易错　多重符号化简时只数负号个数：负号有奇数个结果为负，偶数个结果为正。例如 －[－(－3)] 有 3 个负号，结果是 －3。 ◆ 方法　看到"a、b 互为相反数"，立刻转化为 a＋b＝0 来用，这是解题的关键突破口。 知识点 3 　求相反数 求一个数的相反数： 求一个具体数或一个字母或数字与字母的积的相反数时，只需要改变它前面的符号，其他不变即可得到它的相反数。 求一个式子的相反数： 把式子用括号括起来，在前面加 “﹣” ，然后去括号化简即可得到相反数。 ★ 重点　求一个数（或式子）的相反数，就是在它前面添一个负号，再化简。 ⚠ 易错　求式子的相反数时必须整体加括号！a＋b 的相反数是 －(a＋b)，即 －a－b，而不是 －a＋b。这是最高频的失分点。 知识点 4 　加括号和去括号 加括号： 若在“－”后面加括号，则写在括号里面的每一项都需要变符号；若在“＋”后面加括号，则只需要把每一项照写。 去括号： 在去掉括号时，若括号前面是“－”，则去掉“－”和括号，把括号内的每一项改变符号，若括号前面是“＋”，则去掉“＋”和括号，把括号内的每一项照写。也可以利用乘法分配率，将括号前的符号与括号内的每一项进行符号化简。 ★ 重点　去括号法则：括号前是"＋"，去掉括号后括号内各项符号都不变；括号前是"－"，去掉括号后括号内各项符号都要改变。 ⚠ 易错　括号前是负号时，很多同学只把第一项变号，后面的项忘了变。例如 －(a－b＋c) 应等于 －a＋b－c，三项全部变号，一项都不能漏。 三、即学即练 1.　下列是﹣3的相反数是（　　） A．3　　B．−　　C．　　D．﹣3 2.　下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．2与　　B．2与−　　C．﹣2与−　　D．2与﹣2 3.　一个数的相反数比它的本身大，则这个数是（　　） A．正数　　B．负数　　C．0　　D．负数和0 4.　如图，表示互为相反数的两个点是（　　） A．点A和点D　　B．点B和点C　　C．点A和点C　　D．点B和点D 5.　若a与1互为相反数，则a+1＝（　　） A．﹣1　　B．0　　C．2　　D．1 6.　﹣2024的相反数是 ． 7.　a﹣2b﹣3c的相反数是（　　） A．a+2b+3c　　B．﹣a+2b+3c　　C．﹣a﹣2b﹣3c　　D．﹣a﹣2b+3c 8.　下列化简，正确的是（　　） A．﹣[﹣（﹣10）]＝﹣10 B．﹣（﹣3）＝﹣3 C．﹣（+5）＝5 D．﹣[﹣（+8）]＝﹣8 9.　下列变形，错误的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝﹣a+b B．﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b C．a﹣b＝﹣（﹣a+b） D．﹣a﹣b＝﹣（a﹣b） 四、典例精析（分题型突破） 题型 1 　判断两个数是否为相反数 考察　相反数的定义——只有符号不同、和为 0，0 的相反数是 0。 例1　下列各对数中，互为相反数的（　　） A．﹣（﹣2）和2 B．﹣（﹣5）和+（﹣5） C．和﹣2 D．+（﹣3）和﹣（+3） ⚠ 易错　求式子的相反数必须整体加括号再化简：a＋b 的相反数是 －(a＋b)＝－a－b，不是 －a＋b。 【答案】B解：∵﹣（﹣5）＝5，+（﹣5）＝﹣5，5和﹣5互为相反数， 变式1　下列两个数中，互为相反数的是（　　） A．+3和﹣（﹣3） B．3和 C．﹣2和− D．+（﹣4）和﹣（﹣4） ⚠ 易错　求式子的相反数必须整体加括号再化简：a＋b 的相反数是 －(a＋b)＝－a－b，不是 －a＋b。 【答案】D解：A、﹣（﹣3）＝3，故不是相反数，不合题意；B、3和不是相反数，不合题意；C、﹣2和−不是相反数，不合题意；D、+（﹣4）＝﹣4，﹣（﹣4）＝4，是相反数，符合题意； 变式2　下列各对数中，不是互为相反数的一对是（　　） A．﹣（+5）和+（﹣5） B．﹣（﹣2）与﹣2 C．0和0 D．﹣1和1.5 【答案】A解：A、∵﹣（+5）＝﹣5，+（﹣5）＝﹣5，∴﹣（+5）和+（﹣5）这两个数不是互为相反数，符合题意；B、∵﹣（﹣2）＝2，∴﹣（﹣2）与﹣2这两个数是互为相反数，不符合题意；C、∵0的相反数是0，∴0和0这两个数是互为相反数，不符合题意；D、∵﹣1=−1.5，∴﹣1和1.5这两个数是互为相反数，不符合题意． 变式3　下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+7）与+（﹣7） B．−与+（﹣0.5） C．−与 D．+（﹣0.01）与﹣（﹣0.01） 【答案】D解：A．﹣（+7）＝﹣7，+（﹣7）＝﹣7，因此选项A不符合题意；B．+（﹣0.5）=−，因此选项B不符合题意；C．−与是互为负倒数，因此选项C不符合题意；D．+（﹣0.01）＝﹣0.01，而﹣（﹣0.01）＝0.01，因此选项D符合题意． 题型 2 　求数或式子的相反数　 考察　求式子的相反数要整体加括号再变号，不能只对首项变号。 例2　−的相反数是（　　） A．5　　B．﹣5　　C．　　D．− 【答案】C解：−的相反数是 变式1　−的相反数是（　　） A．−　　B．　　C．2013　　D．﹣2013 【答案】B解：−的相反数是． 变式2　﹣m的相反数是 ，﹣m+1的相反数是 ． 【答案】解：﹣m的相反数是 m，﹣m+1的相反数是 m﹣1， 变式3　若a、b、c都是有理数，那么2a﹣3b+c的相反数是（　　） A．3b﹣2a﹣c　　B．﹣3b﹣2a+c　　C．3b﹣2a+c　　D．3b+2a﹣c 【答案】A解：根据相反数的定义，得2a﹣3b+c的相反数是﹣（2a﹣3b+c）＝3b﹣2a﹣c． 变式4　a﹣（﹣b+c）的相反数是（　　） A．a+b+c　　B．a+b﹣c　　C．﹣a﹣b+c　　D．﹣a+b+c 【答案】C解：a﹣（﹣b+c）＝a+b﹣c，它的相反数是：﹣（a+b﹣c）＝﹣a﹣b+c． 题型 3 　相反数的性质　 考察　a 与 −a 的关系及多重符号化简——“负号个数为偶则正、为奇则负”。 例3　若a、b互为相反数，则a+b﹣（﹣2）的值为（　　） A．﹣2　　B．0　　C．2　　D．±2 【答案】C解：a、b互为相反数，∴a+b＝0．∴原式＝0﹣（﹣2）＝0+2＝2． 变式1　若2a与1﹣a互为相反数，则a的值等于（　　） A．0　　B．﹣1　　C．　　D． 【答案】B解：根据题意得：2a+1﹣a＝0，解得：a＝﹣1． 变式2　下列各组代数式中，互为相反数的有（　　） ①a﹣b与﹣a﹣b；②a+b与﹣a﹣b；③a+1与1﹣a；④﹣a+b与a﹣b． A．①②④　　B．②④　　C．①③　　D．③④ 【答案】B解：②a+b与﹣a﹣b互为相反数；④﹣a+b与a﹣b互为相反数． 变式3　若2m+1与﹣2互为相反数，则m的值为 　　 ． 【答案】解：∵2m+1与﹣2互为相反数，∴2m+1﹣2＝0，∴m=． 变式4　已知p与q互为相反数，且p≠0，那么下列关系式正确的是（　　） A．p•q＝1　　B．=1　　C．p+q＝0　　D．p﹣q＝0 【答案】C解：根据互为相反数的性质，得p+q＝0． 题型 4 　相反数与数轴　 考察　几何意义——互为相反数的两点关于原点对称，到原点距离相等。 例4　如图，互为相反数的点是（　　） A．点A与点C　　B．点B与点D　　C．点B与点C　　D．点A与点D ⚠ 易错　看到"互为相反数"，立即转化为"两数之和为 0"来使用，这通常是解题的突破口。 【答案】A解：∵从数轴上可知：A点表示的数是3，B点表示的数是1，C点表示的数是﹣3，D点表示的数是﹣2，∴互为相反数的点是A和C． 变式1　如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是 ． 【答案】解：4÷2＝2，则这两个数是+2和﹣2． 变式2　数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，A在B的左侧，并且这两点的距离是6.4，则这两点所表示的数分别是 和 ． ⚠ 易错　看到"互为相反数"，立即转化为"两数之和为 0"来使用，这通常是解题的突破口。 【答案】解：6.4÷2＝3.2，∵A在B的左侧，∴A表示的数为﹣3.2，B表示的数为3.2； 变式3　数轴上A点表示﹣3，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是 ． 【答案】解：∵点B到点A的距离是2，∴点B表示的数为﹣1或﹣5， ∵B、C两点表示的数互为相反数，∴点C表示的数应该是1或5． 变式4　已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 【答案】解：（1）如图，； （2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为10，所以b表示的数是﹣10； （3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，所以a表示的点到原点的距离为5， 题型 5 　加括号与去括号　 考察　符号法则——括号前是负号时，去括号后括号内各项都要变号。 例5　化简下列各式：+（﹣7）＝ ，﹣（+1.4）＝ ，+（+2.5）＝ ． 【答案】解：+（﹣7）＝﹣7，﹣（+1.4）＝﹣1.4，+（+2.5）＝2.5． 变式1　若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣3，则x的相反数是 ． 【答案】解：∵﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣3，∴x＝﹣3，即x的相反数为3． 变式2　﹣（a﹣b+c）变形后的结果是（　　） A．﹣a+b+c　　B．﹣a+b﹣c　　C．﹣a﹣b+c　　D．﹣a﹣b﹣c 【答案】B解：﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c 变式3　下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A．x﹣（y﹣z）＝x﹣y﹣z B．﹣（x﹣y+z）＝﹣x﹣y﹣z C．x+2y﹣2z＝x﹣2（y﹣z） D．﹣a+c+d+b＝﹣（a﹣b）+（c+d） 【答案】D解：A、x﹣（y﹣z）＝x﹣y+z，故此选项错误；B、﹣（x﹣y+z）＝﹣x+y﹣z，故此选项错误；C、x﹣2y﹣2z＝x﹣2（y+z），故此选项错误；D、﹣a+c+d+b＝﹣（a﹣b）+（c+d），故此选项正确． 变式4　下列变形中错误的是（　　） A．m2﹣（2m﹣n﹣p）＝m2﹣2m+n+p B．m﹣n+p﹣q＝m﹣（n+p﹣q） C．3m﹣5n﹣1+2p＝﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）] D．m+1﹣（﹣n+p）＝﹣（﹣1﹣n﹣m+p） 【答案】B解：A、m2﹣（2m﹣n﹣p）＝m2﹣2m+n+p，故正确；B、m﹣n+p﹣q＝m﹣（n﹣p+q），故错误；C、3m﹣5n﹣1+2p＝﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）]，故正确；D、m+1﹣（﹣n+p）＝m+1+n﹣p，﹣（﹣1﹣n﹣m+p）＝1+n+m﹣p，左右两边相等，故正确． 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　﹣2030的相反数是（　　） A．　　B．−　　C．2030　　D．﹣2030 2.　已知﹣3的相反数是a，则a的值为（　　） A．3　　B．−　　C．　　D．﹣3 3.　下列两个数中，互为相反数的是（　　） A．+5和﹣（﹣5） B．+（﹣8）和﹣（﹣8） C．﹣7和− D．4和 4.　下列说法中正确的是（　　） A．正数和负数互为相反数 B．任何一个数的相反数都与它本身不相同 C．任何一个数都有它的相反数 D．数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 5.　有理数a在数轴上对应的点到原点的距离为5，则a的相反数是（　　） A．5　　B．﹣5　　C．5或﹣5　　D．不能确定 6.　若一个数的相反数等于它本身，则这个数是（　　） A．﹣1　　B．1　　C．2　　D．0 7.　a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，那么b与c的关系是（　　） A．互为相反数　　B．互为倒数　　C．相等　　D．无法确定 8.　x+1和y﹣2互为相反数，那么x+y＝ ． 9.　如果一个数的相反数是最小正整数，则这个数是 ． B 档 　巩固提升　 1.　下列各式中，化简正确的是（　　） A．﹣（+7）＝﹣7 B．﹣（﹣7）＝﹣7 C．+（﹣7）＝7 D．﹣[+（﹣7）]＝﹣7 2.　下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b＝0；②若a+b＝0，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则=−1；④若=−1，则a、b互为相反数．其中正确的结论有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 3.　下列去括号或添括号的变形中，正确的是（　　） A．2a﹣（5b﹣c）＝2a﹣5b﹣c B．3a+5（2b﹣1）＝3a+10b﹣1 C．4a+3b﹣2c＝4a+（3b﹣2c） D．m﹣n+a﹣2b＝m﹣（n+a﹣2b） 4.　（1）分别写出﹣7和的相反数；（2）a的相反数是2.4，写出a的值． 5.　已知两数a+b+（﹣c）与c+（﹣a）+（﹣b），试说明两数互为相反数． C 档 　提高拓展　 1.　化简−[−(+)]= ． 2.　在数轴上点A，B表示的数互为相反数，且两点间的距离是8，点A在点B的右边，则点A表示的数为 4，B表示的数为 ． D 档 　压轴挑战　 1.　若定义：μ{a，b}＝（a，﹣b），v[m，n]＝（﹣m，n），例如μ{1，2}＝（1，﹣2），v[3，4]＝（﹣3，4），则μ{ν[2，﹣3]}= ． 2.　化简下列各数． （1）﹣[﹣（﹣3）]；（2）−[−(+)]；（3）−{−[−(+2)]}． 3.　如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： （1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ （2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？ 4.　化简下列各式的符号，并回答问题： （1）﹣（﹣2）；（2）+（−）；（3）﹣[﹣（﹣4）]（4）﹣[﹣（+3.5）]；（5）（﹣{﹣[﹣（﹣5）]}）（6）﹣{﹣[﹣（+5）]} 问：①当+5前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当﹣5前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $