1.2.4 绝对值 培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

绝对值

知识梳理

1、绝对值的概念（几何意义）

一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作。

2、绝对值的代数意义

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

即，

3、绝对值的非负性

任何一个数的绝对值都是非负的， 绝对值的最小值为0，。

经典题型

题型1：绝对值的意义

【例1】已知，求的值

分析：根据绝对值的定义进行求解

答案：

当时，；当时，

题型2：绝对值的非负性

【例2】若

分析：根据绝对值的非负性，多个非负数相加和为0，则每个非负数均为0

答案：

题型3：绝对值的分类讨论

【例3】已知，求的值

分析：根据绝对值的定义确定的值，并代入求解

答案：

当时，；

当时，；

当时，；

当时，

【例4】已知，（1）求的值；（2）若，求的值

分析：（1）根据绝对值的定义进行求解；（2）由，可分为和两种情况代入到求解

答案：（1）

（2）

当时，

当时，

【例5】已知三个有理数若 ，求的值

分析：根据绝对值的非负性，以及有理数除法进行分类讨论

答案：由题可知，，，

，中必有两正一负，，即

题型4：绝对值的化简

【例6】（根据数轴上点的位置化简）已知在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为,对以下式子进行化简

分析：根据数轴上点的大小关系，利用有理数的加减确定正负，然后依据绝对值的性质进行化简

答案：由数轴可知，

【例7】（已知范围的化简）已知，化简

分析：根据绝对值的定义进行化简

答案：

【例8】（未知范围的化简）化简：

分析：根据绝对值的定义进行分类讨论，后化简

答案：当时，；

当时，；

当时，

综上，

题型5：解含有绝对值的一元一次方程

【例9】解方程（1）（单独字母的方程，绝对值的定义）；（2）（单绝对值的方程）；（3）（双绝对值的方程）

分析：根据绝对值的定义进行分类讨论，并进行方程的求解

答案：（1）根据绝对值的定义

（2）根据绝对值的定义或