1.2.4 绝对值 培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学绝对值核心知识点，从几何意义（数轴上点与原点距离）、代数意义（正负0的绝对值性质）到非负性（非负数及最小值0）系统梳理，通过意义理解、非负性应用、分类讨论、化简、解方程、最值问题等题型搭建学习支架，逐步深化认知。 该资料特色在于融合几何直观与代数推理，如数轴化简题培养几何直观（数学眼光），分类讨论及最值问题的分段分析提升推理能力（数学思维），同步检测中的实际问题强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，巩固知识。

人教版（2024）七年级上册 绝对值 知识梳理 1、绝对值的概念（几何意义） 一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作。 2、绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 即， 3、绝对值的非负性 任何一个数的绝对值都是非负的， 绝对值的最小值为0，。 经典题型 题型1：绝对值的意义 【例1】已知，求的值 分析：根据绝对值的定义进行求解 答案： 当时，；当时， 题型2：绝对值的非负性 【例2】若 分析：根据绝对值的非负性，多个非负数相加和为0，则每个非负数均为0 答案： 题型3：绝对值的分类讨论 【例3】已知，求的值 分析：根据绝对值的定义确定的值，并代入求解 答案： 当时，； 当时，； 当时，； 当时， 【例4】已知，（1）求的值；（2）若，求的值 分析：（1）根据绝对值的定义进行求解；（2）由，可分为和两种情况代入到求解 答案：（1） （2） 当时， 当时， 【例5】已知三个有理数若 ，求的值 分析：根据绝对值的非负性，以及有理数除法进行分类讨论 答案：由题可知，，， ，中必有两正一负，，即 题型4：绝对值的化简 【例6】（根据数轴上点的位置化简）已知在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为,对以下式子进行化简 分析：根据数轴上点的大小关系，利用有理数的加减确定正负，然后依据绝对值的性质进行化简 答案：由数轴可知， 【例7】（已知范围的化简）已知，化简 分析：根据绝对值的定义进行化简 答案： 【例8】（未知范围的化简）化简： 分析：根据绝对值的定义进行分类讨论，后化简 答案：当时，； 当时，； 当时， 综上， 题型5：解含有绝对值的一元一次方程 【例9】解方程（1）（单独字母的方程，绝对值的定义）；（2）（单绝对值的方程）；（3）（双绝对值的方程） 分析：根据绝对值的定义进行分类讨论，并进行方程的求解 答案：（1）根据绝对值的定义 （2）根据绝对值的定义或 解得，或 （3）原方程可化为 或 解得，或 题型6：绝对值的最值问题 解题关键：表示数的点与原点的距离；表示数的点与1的距离；表示数的点与-1的距离 【例10】求绝对值之和的最小值 （1）；（2） 分析：根据绝对值的几何进行分类讨论并求最小值 答案：（1）当时， 表示数轴上有理数所对应的点到1、3、-4所对应的点的距离之和 当时，； 当时，； 当时，，； 当时，； 当时，，； 当时， 当时，， 综上，当时， （2） 当时， 表示数轴上有理数所对应的点到-3、-5、4、6所对应的点的距离之和 同理（1），当时，有最小值为18 解题技巧：先找零点进行分段，有奇数个点时，取中间值；有偶数个点时，取中间段 【例11】求绝对值之差的最大值和最小值 分析：根据绝对值的几何进行分类讨论并求最大值 答案：当时， 表示数轴上有理数所对应的点到1、5所对应的点的距离之差 当时，； 当时，； 当时，； 综上，当时，有最大值为-4； 当时，有最小值为4 解题技巧：先找零点进行分段，最大值为两点之间的距离（大数零点-小数零点），最小值为两点之间距离的相反数（小数零点-大数零点） 同步检测 1．已知|x|＝3，|y|＝2． （1）x＝　 　 ，y＝　 　 ； （2）若x﹣y＜0，求x+2y的值． 2． 若有理数x、y满足|x|＝4，|y|＝3，且|x+y|＝x+y，求x﹣y的值． 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到分类讨论的数学思想，阅读下面的材料，并解决问题． 【提出问题】两个有理数a、b满足ab＞0，求的值． 【解答问题】由题意得a、b两个有理数都为正数或都为负数． ①当a、b两个有理数都为正数，即a＞0，b＞0时，． ②当a、b两个有理数都为负数，即a＜0，b＜0时，． 所以的值为2或﹣2． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）两个有理数a、b满足ab＜0，求的值； （2）已知|a|＝2，|b|＝5，且a＜b，求a+b的值． 4．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，　 　 ；当a＝﹣3时，　 　 ； （2）若实数a不等于零，求的值； （3）若实数a、b均不等于零，试求的值． 5．（1）若|a|＝5，|b|＝3，且|a+b|＝a+b，则a﹣b＝　 　 ． （2）4﹣|x﹣5|的最大值是　 　 ． （3）|m+5|+|n﹣6|的最小值是　 　 ． （4）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 6．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|． 7．（1）已知|x+1|+|x﹣2|，求最小值，并说出此时x的取值． （2）已知|2x﹣1|+|x﹣2|，求最小值，并说出此时x的取值． 8．5|x+2|+2|x﹣3|+|x﹣4|的最小值是　 　 ． 9．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数﹣1，2，x，因为|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PA+PB＝AB＝3，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．所以当点P在线段AB上时，|x+1|+|x﹣2|有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝1时，x的值为　 　 ； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子|x﹣4|+|x+2|的最小值为　 　 ； （3）利用绝对值的几何意义，当|x﹣4|+|x+2|＝8时，x的值为　 　 ； （4）利用绝对值的几何意义，写出|x+3|+|x﹣2|+|x﹣5|的最小值为　 　 ． 10．阅读下列材料： 我们知道，|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离：|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：|a﹣b|表示在数轴上数a与数b对应点之间的距离． 如：数轴上数2与数5对应点之间的距离为|2﹣5|＝3； 数轴上数2与数﹣7对应点之间的距离为|2﹣（﹣7）|＝9； 又如：已知|x﹣1|＝2，求x的值．意为：数轴上数x与数1对应点之间的距离为2，观察数轴可知x的值为﹣1或3．请运用上述的几何方法解决下列问题： （1）若|x|＝3，则x＝　 　 ； （2）若|x﹣3|＝2，则x＝　 　 ； （3）若|x+2|＝4，则x＝　 　 ； （4）若|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足条件的所有整数x为　 　 ． 11．阅读下列内容： 记|a|为数轴上表示数a的点与原点的距离，记|a﹣b|为数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离，回答下列问题： （1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离等于　 　 （填空）． （2）数轴上表示x与﹣5的两点之间的距离可以表示为　 　 （填空）． （3）同理|x+4|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣4和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+4|+|x﹣1|＝5，这样的整数是　 　 （填空）． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣2|+|x﹣6|的最小值是　 　 （填空）． （5）当a＝　 　 时，|a+6|+|a﹣3|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　 （填空）． 12．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识储备】同学们都知道，|5﹣2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离（如图）． 请你利用数形结合的思想探究下列问题： 【探究规律】 （1）求代数式|x﹣1|+|x﹣2|的最小值； （2）代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为　 　 ； （3）代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2025|的最小值为　 　 ． 13．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为|2﹣3|＝1，2与﹣3的距离可表示为|2﹣（﹣3）|． （1）数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　 　 ；数轴上表示﹣3和﹣9的两点之间的距离是 　 　 ； （2）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离是 　 　 ；如果|AB|＝4，则x为 　 　 ； （3）数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c|﹣|c+b|+|a﹣b|． 14．我们知道由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2，例如解方程：|2x﹣1|＝3，我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，所以x＝2或x＝﹣1． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：|x﹣2|＝|3x+2|． 15．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例 解绝对值方程：|3x|＝1． 解：讨论：①当x＞0时，原方程可化为3x＝1，解得x； ②当x＜0时，原方程可化为﹣3x＝1，解得x． 所以原方程的解为x或x． （1）根据以上材料，解绝对值方程2|x+1|＝3； （2）解方程：|x﹣2|+|x﹣1|＝2． 16．已知|x﹣3|+|y+5|＝0，求|x+y|的值． 17．若|x﹣2|+2|y+5|+3|z+9|＝0． （1）求x、y、z的值． （2）求2x﹣y+z的值． 18．如果a，b表示的是有理数，并且|a+2|+|b﹣3|＝0，求4a+3b的值． 答案解析 1．解：（1）∵|x|＝3，|y|＝2，∴x＝±3，y＝±2， 故答案为：±3，±2； （2）∵x＝±3，y＝±2，而x﹣y＜0，∴x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2， ∴x+2y＝﹣3+4＝1或x+2y＝﹣3﹣4＝﹣7， 答：x+2y的值为1或﹣7． 2．解：∵|x|＝4，∴x＝±4， ∵|y|＝3，∴y＝±3， ∵|x+y|＝x+y，∴x+y≥0，∴x＝4，y＝3或x＝4，y＝﹣3， ∴x﹣y＝4﹣3＝1或x﹣y＝4﹣（﹣3）＝4+3＝7， 即x﹣y的值为1或7． 3．解：（1）由ab＜0可知，a、b两个有理数为异号， 若a＜0，b＞0，则， 若a＞0，b＜0，则， ∴； （2）∵|b|＝5，|a|＝2，∴b＝±5，a＝±2， 又∵a＜b，∴a＝2，b＝5或a＝﹣2，b＝5， 当a＝﹣2，b＝5时，a+b＝﹣2+5＝3； 当a＝2，b＝5时，a+b＝2+5＝7； 综上可知，a+b的值为7或3． 4．解：（1）当a＝5时，；当a＝﹣3时，1； 故答案为：1，﹣1； （2）当a＞0时，；当a＜0时，1； 即当实数a不等于零时，的值是1或﹣1； （3）当a＞0，b＞0时，1+1＝2； 当a＞0，b＜0时，1+（﹣1）＝0； 当a＜0，b＞0时，1+1＝0； 当a＜0，b＜0时，1+（﹣1）＝﹣2； 综上，的值为2或0或﹣2． 5．解：（1）由题意可得： a＝±5，b＝±3， ∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，∴a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3， ∴a﹣b＝5﹣3＝2或a﹣b＝5﹣（﹣3）＝8， 故答案为：2或8 （2）由题意可得：﹣|x﹣5|≤0，∴4﹣|x﹣5|≤4， 即当x＝5时，4﹣|x﹣5|取得最大值4， 故答案为：4； （3）∵|m+5|≥0，|n﹣6|≥0，∴当m＝﹣5，n＝6时，|m+5|+|n﹣6|取得最小值是0， 故答案为：0； （4）由题意可知，a＜0＜b〈c，|a|〉|b|，∴b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， ∴原式＝﹣（b﹣c）﹣（a+b）﹣（c﹣a）＝﹣b+c﹣a﹣b﹣c+a＝﹣2b 6．解：根据题意可知，c＜a＜0＜b，|c|＞|a|＞|b|， ∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0， ∴原式＝﹣（a﹣b）﹣（b﹣c）﹣（c﹣a）＝﹣a+b﹣b+c﹣c+a＝0． 7．解：（1）∵表示的几何意义是数轴上表示的点到表示﹣1的点和表示2的点的距离之和， ∴当﹣1≤x≤2时，取最小值，最小值为． （2）当2x﹣1＝0时，，当x﹣2＝0时，x＝2， 当时，﹣（2x﹣1）﹣（x﹣2）＝﹣3x+3， 当时，（2x﹣1）﹣（x﹣2）＝x+1， 当x≥2时,（2x﹣1）+（x﹣2）＝3x﹣3， 综上：最小值为，此时． 8．解：|x+2|表示数轴上表示x的点到﹣2之间的距离，|x﹣3|表示数轴上表示x的点到3之间的距离，|x﹣4|表示数轴上表示x的点到4之间的距离， 如图， 当x≤﹣2时，5|x+2|+2|x﹣3|+|x﹣4|＝﹣5（x+2）﹣2（x﹣3）﹣（x﹣4）＝﹣8x≥16； 当﹣2＜x≤3时，5|x+2|+2|x﹣3|+|x﹣4|＝5（x+2）﹣2（x﹣3）﹣（x﹣4）＝2x+20； ∴16＜2x+20≤26； 当3＜x≤4时，5|x+2|+2|x﹣3|+|x﹣4|＝5（x+2）+2（x﹣3）﹣（x﹣4）＝6x+8； ∴26＜6x+8≤32； 当x＞4时，5|x+2|+2|x﹣3|+|x﹣4|＝5（x+2）+2（x﹣3）+（x﹣4）＝8x＞32； ∴5|x+2|+2|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为16． 9．解：（1）当|x﹣2|＝1时，x﹣2＝±1，解得：x＝3或1， （2）因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．|x﹣4|+|x+2|表示x到4和﹣2的距离和， 当﹣2≤x≤4时，|x﹣4|+|x+2|有最小值，最小值＝4﹣（﹣2）＝6， （3）由（2）可知，|x﹣4|+|x+2|的最小值为6， 则当|x﹣4|+|x+2|＝8时，x在﹣2左侧或4的右侧，即x＜﹣2或x＞4， 当x＜﹣2时，|x﹣4|+|x+2|＝﹣x+4﹣x﹣2＝﹣2x+2＝8，解得：x＝﹣3； 当x≥4时，|x﹣4|+|x+2|＝x﹣4+x+2＝2x﹣2＝8，解得：x＝5， 故答案为：﹣3或5； （4）|x+3|+|x﹣2|+|x﹣5|表示x到﹣3、2、5的距离和， 则当x＝2时，距离和最小为5+0+3＝8， 即|x+3|+|x﹣2|+|x﹣5|的最小值为8， 故答案为：8． 10．解：（1）∵|x|＝3，∴x＝3或x＝﹣3， （2）∵|x﹣3|＝2，∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， 解得x＝5或x＝1， （3）∵|x+2|＝4，∴x+2＝4或x+2＝﹣4， 解得x＝2或x＝﹣6， （4）∵|x+3|+|x﹣2|＝5，∴﹣3≤x≤2， ∵x是整数，∴x的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， 11．解：（1）表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|＝7， （2）表示x与﹣5的两点之间的距离是|x﹣（﹣5）|＝|x+5|， （3）∵|x+4|+|x﹣1|＝5， 当x＜﹣4时，|x+4|+|x﹣1|＝﹣x﹣4﹣x+1＝﹣2x﹣3＞5； 当﹣4≤x≤1时，|x+4|+|x﹣1|＝x+4﹣x+1＝5； 当x＞1时，|x+4|+|x﹣1|＝x+4+x﹣1＝2x+3＞5； ∴﹣4≤x≤1，∵x是整数，∴x的值是﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1， （4）|x﹣2|+|x﹣6|表示数轴上有理数x所对应的点到2和6所对应的点的距离之和， 当x＜2时，|x﹣2|+|x﹣6|＝﹣x+2﹣x+6＝﹣2x+8＞4； 当2≤x≤6时，|x﹣2|+|x﹣6|＝x﹣2﹣x+6＝4； 当x＞6时，|x﹣2|+|x﹣6|＝x﹣2+x﹣6＝2x﹣8＞4； 当2≤x≤6时，|x﹣2|+|x﹣6|的最小值是4； （5）|a+6|+|a﹣3|+|a﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣6、3、4所对应的点的距离之和， 当a＜﹣6时，|a+6|+|a﹣3|+|a﹣4|＝﹣a﹣6﹣a+3﹣a+4＝﹣3a+1＞19； 当﹣6≤a＜3时，|a+6|+|a﹣3|+|a﹣4|＝a+6﹣a+3﹣a+4＝﹣a+13， ∴10＜|a+6|+|a﹣3|+|a﹣4|≤19； 当a＝3时，|a+6|+|a﹣3|+|a﹣4|＝a+6+a﹣3﹣a+4＝a+7＝10； 当3＜a≤4时，|a+6|+|a﹣3|+|a﹣4|＝a+6+a﹣3﹣a+4＝a+7， ∴10＜|a+6|+|a﹣3|+|a﹣4|≤11； 当a＞4时，|a+6|+|a﹣3|+|a﹣4|＝a+6+a﹣3+a﹣4＝3a﹣1＞11； ∴当a＝3时，|a+6|+|a﹣3|+|a﹣4|的值最小是10， 12．解：（1）|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是2﹣1＝1； （2）当x＝2时，数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是1+0+1＝2， （3）x＝（2025+1）÷2＝1013时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2025|有最小值， （1013﹣1+1013﹣2+...+2+1+0）×2 ＝（1+2+3+...+1012）×2＝（1+1012）×1012＝1013×1012＝1025156． 13．解：（1）数轴上表示3和8的两点之间的距离是|3﹣8|＝5， 数轴上表示﹣3和﹣9的两点之间的距离是|（﹣3）﹣（﹣9）|＝6． （2）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣2）|＝|x+2|， |AB|＝4，即|x+2|＝4，则x+2＝4或x+2＝﹣4， ∴x＝2或﹣6． （3）由数轴可知，a+c＜0，c+b＜0，a﹣b＞0， 则原式＝﹣（a+c）+（c+b）+（a﹣b）＝﹣a﹣c+c+b+a﹣b＝0． 14．解：|x﹣2|＝|3x+2|， x﹣2＝3x+2或x﹣2+3x+2＝0， 解得：x＝﹣2或x＝0． 15．解：（1）①当x＞﹣1时，原方程可化为2（x+1）＝3，解得x， ②当x≤﹣1时，原方程可化为﹣2（x+1）＝3，解得x， ∴原方程的解为x或x； （2）①当x＞2时，原方程可化为x﹣2+x﹣1＝2，解得x， ②当1≤x≤2时，原方程可化为2﹣x+x﹣1＝2，无解； ③当x＜1时，原方程可化为2﹣x+1﹣x＝2，解得x； ∴原方程的解为x或x． 16．解：∵|x﹣3|+|y+5|＝0，∴x﹣3＝0，y+5＝0， ∴x＝3，y＝﹣5，∴|x+y|＝2， 17．解：（1）由题意得：|x﹣2|＝0，2|y+5|＝0，3|z+9|＝0， 所以x﹣2＝0，y+5＝0，z+9＝0，即x＝2，y＝﹣5，z＝﹣9； （2）由（1）得：2x﹣y+z＝2×2﹣（﹣5）+（﹣9）＝4+5﹣9＝0． 18．解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，而|a+2|≥0，|b﹣3|≥0， ∴a+2＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣2，b＝3， ∴4a+3b＝﹣8+9＝1 23 学科网（北京）股份有限公司 $