14.2.1《全等三角形的判定——边角边判定》（第1课时）学案分层作业 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学人教版八年级上册14.2第1课时“边角边判定（SAS）”同步练，以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”三层设计构建梯度化知识巩固路径，强化推理意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|SAS判定理解、基础证明、线段/角相等、SSA辨析、实际应用|单一知识点直接应用，如选择辨析“夹角”条件，基础证明题训练规范推理表达| |进阶思维题|综合证明、隐含条件挖掘（中点/垂直）、图形变换|多知识点融合，如结合等腰直角三角形证线段关系，培养逻辑推理能力| |中考链接题|中考常见题型（判定方法选择、性质应用）|真题适配，如2024年北京中考判定方法题，对接测评需求，发展应用意识|

人教版八年级上册 第14章 全等三角形 14.2全等三角形的判定 第1课时边角边判定（SAS） 本节知识点总结 1. 三角形全等判定的探究： ① 只给一个条件（一条边或一个角），不能判定两个三角形全等； ② 只给两个条件（两边、两角、一边一角），也不能判定两个三角形全等； ③ 需要三个条件才能判定两个三角形全等。 2. 边角边判定定理（SAS）： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成"边角边"或"SAS"）。 几何语言： 在△ABC和△DEF中， AB = DE， ∠A = ∠D， AC = DF， ∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。 3. SAS的应用： ① 证明两个三角形全等； ② 证明线段相等（全等三角形对应边相等）； ③ 证明角相等（全等三角形对应角相等）。 4. 易错点——SSA不能判定全等： 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。 注意：必须是"夹角"，而不是"其中一边的对角"。 5. 公共边、公共角的识别与应用： ① 公共边：两个三角形共有的边，天然相等； ② 公共角：两个三角形共有的角，天然相等； ③ 对顶角相等，也是常用的等角条件。 6. 实际应用： 利用SAS可以测量不能直接测量的距离（如池塘两端的距离）。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 SAS判定定理的理解与识别 1．（2024秋·北京海淀·单元测）下列条件中，能判定△ABC ≌ △DEF的是（　　） A．AB = DE，BC = EF，∠A = ∠D B．AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E C．AB = DE，AC = DF，∠A = ∠D D．BC = EF，AC = DF，∠C = ∠F 【答案】C 【分析】根据SAS判定定理，必须是两边及其夹角对应相等。 【详解】解：SAS判定定理要求两边和它们的夹角分别相等。 A选项：∠A不是AB和BC的夹角，是SSA，不能判定全等； B选项：∠B不是AB和AC的夹角，是SSA，不能判定全等； C选项：AB和AC的夹角是∠A，DE和DF的夹角是∠D，满足SAS，可以判定全等； D选项：∠C是BC和AC的夹角，但对应关系不对（应该是∠C对应∠F），如果对应关系正确则是SAS，但选项中对应关系不明确。 故选：C。 2．（2024-2025八年级上·上海闵行·期中）如图，已知AB = AD，若用SAS判定△ABC ≌ △ADC，还需要添加的条件是（　　） A．BC = DC B．∠BAC = ∠DAC C．∠B = ∠D D．∠ACB = ∠ACD 【答案】B 【分析】已有AB=AD和公共边AC=AC，需要添加夹角相等。 【详解】解：在△ABC和△ADC中， 已知 AB = AD， AC = AC（公共边）， 要用SAS判定全等，还需要夹角相等， 即 ∠BAC = ∠DAC。 故选：B。 3．（2024秋·广东广州·月考）下列说法正确的是（　　） A．两边和一角对应相等的两个三角形全等 B．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．有两边相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】根据SAS判定定理判断。 【详解】解：A选项：没有说明是"夹角"，如果是其中一边的对角（SSA），不能判定全等，错误； B选项：这是SSA，不能判定两个三角形全等，错误； C选项：这是SAS判定定理，正确； D选项：只有两边相等，缺少角的条件，不能判定全等，错误。 故选：C。 4．（2024-2025八年级上·江苏苏州·单元测）在△ABC和△DEF中，已知AB = DE，∠A = ∠D，若补充下列条件中的一个，其中不能判定△ABC ≌ △DEF的是（　　） A．AC = DF B．BC = EF C．∠B = ∠E D．以上都不对 【答案】B 【分析】已有一边一角，补充另一边时必须是夹边才能用SAS。 【详解】解：已知 AB = DE，∠A = ∠D， A选项：补充 AC = DF，则两边及夹角对应相等（SAS），可以判定全等； B选项：补充 BC = EF，则是两边及其中一边的对角（SSA），不能判定全等； C选项：补充 ∠B = ∠E，则两角及夹边对应相等（ASA），可以判定全等。 题目问的是"不能判定"的，故选：B。 题型02 利用SAS证明三角形全等（基础题） 5．（2024秋·浙江杭州·期中）已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB = DE，AB ∥ DE，BE = CF。 求证：△ABC ≌ △DEF。 【答案】证明见详解 【分析】由AB∥DE得∠B=∠DEF，由BE=CF得BC=EF，再用SAS证明。 【详解】证明：∵ AB ∥ DE， ∴ ∠B = ∠DEF（两直线平行，同位角相等）。 ∵ BE = CF， ∴ BE + EC = CF + EC， 即 BC = EF。 在△ABC和△DEF中， AB = DE（已知）， ∠B = ∠DEF（已证）， BC = EF（已证）， ∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。 6．（2024-2025八年级上·山东济南·月考）如图，AC与BD相交于点O，OA = OC，OB = OD。 求证：△AOB ≌ △COD。 【答案】证明见详解 【分析】对顶角相等，两边及夹角相等，用SAS证明。 【详解】证明：在△AOB和△COD中， OA = OC（已知）， ∠AOB = ∠COD（对顶角相等）， OB = OD（已知）， ∴ △AOB ≌ △COD（SAS）。 7．（2024秋·湖北武汉·期末）已知：如图，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE。 求证：△ABD ≌ △ACE。 【答案】证明见详解 【分析】由∠BAC=∠DAE，两边加公共角∠DAC得∠BAD=∠CAE，再用SAS。 【详解】证明：∵ ∠BAC = ∠DAE， ∴ ∠BAC + ∠DAC = ∠DAE + ∠DAC， 即 ∠BAD = ∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB = AC（已知）， ∠BAD = ∠CAE（已知）， AD = AE（已知）， ∴ △ABD ≌ △ACE（SAS）。 8．（2024-2025八年级上·湖南长沙·期中）如图，点C是AB的中点，CD ∥ BE，且CD = BE。 求证：△ACD ≌ △CBE。 【答案】证明见详解 【分析】由中点得AC=CB，由平行得∠ACD=∠B，再用SAS。 【详解】证明：∵ 点C是AB的中点， ∴ AC = CB（中点定义）。 ∵ CD ∥ BE， ∴ ∠ACD = ∠B（两直线平行，同位角相等）。 在△ACD和△CBE中， AC = CB（已证）， ∠ACD = ∠B（已证）， CD = BE（已知）， ∴ △ACD ≌ △CBE（SAS）。 题型03 利用SAS证明线段相等 9．（2024秋·河南郑州·月考）如图，AB = AD，∠BAC = ∠DAC。 求证：BC = DC。 【答案】证明见详解 【分析】先用SAS证明△ABC≌△ADC，再由全等得对应边相等。 【详解】证明：在△ABC和△ADC中， AB = AD（已知）， ∠BAC = ∠DAC（已知）， AC = AC（公共边）， ∴ △ABC ≌ △ADC（SAS）。 ∴ BC = DC（全等三角形的对应边相等）。 10．（2024-2025八年级上·河北石家庄·期末）已知：如图，点E、F在BC上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠C。 求证：AF = DE。 【答案】证明见详解 【分析】由BE=CF得BF=CE，用SAS证△ABF≌△DCE，再得AF=DE。 【详解】证明：∵ BE = CF， ∴ BE + EF = CF + EF， 即 BF = CE。 在△ABF和△DCE中， AB = DC（已知）， ∠B = ∠C（已知）， BF = CE（已证）， ∴ △ABF ≌ △DCE（SAS）。 ∴ AF = DE（全等三角形的对应边相等）。 11．（2024秋·陕西西安·单元测）如图，AC和BD相交于点O，OA = OC，OB = OD。 求证：AB = CD。 【答案】证明见详解 【分析】用SAS证△AOB≌△COD，再得AB=CD。 【详解】证明：在△AOB和△COD中， OA = OC（已知）， ∠AOB = ∠COD（对顶角相等）， OB = OD（已知）， ∴ △AOB ≌ △COD（SAS）。 ∴ AB = CD（全等三角形的对应边相等）。 12．（2024-2025八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知AB = AD，AC = AE，∠BAD = ∠CAE。 求证：BC = DE。 【答案】证明见详解 【分析】由∠BAD=∠CAE得∠BAC=∠DAE，用SAS证△ABC≌△ADE，再得BC=DE。 【详解】证明：∵ ∠BAD = ∠CAE， ∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠CAE + ∠DAC， 即 ∠BAC = ∠DAE。 在△ABC和△ADE中， AB = AD（已知）， ∠BAC = ∠DAE（已证）， AC = AE（已知）， ∴ △ABC ≌ △ADE（SAS）。 ∴ BC = DE（全等三角形的对应边相等）。 题型04 利用SAS证明角相等 13．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，AB = AC，AD = AE。 求证：∠B = ∠C。 【答案】证明见详解 【分析】公共角∠A，用SAS证△ABE≌△ACD，再得∠B=∠C。 【详解】证明：在△ABE和△ACD中， AB = AC（已知）， ∠A = ∠A（公共角）， AE = AD（已知）， ∴ △ABE ≌ △ACD（SAS）。 ∴ ∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）。 14．（2024-2025八年级上·天津南开·期末）已知：如图，点C是AE的中点，BC = DC，∠ACD = ∠ECB。 求证：∠A = ∠E。 【答案】证明见详解 【分析】SAS证△ABC≌△EDC，得∠A=∠E。 【详解】证明：∵ 点C是AE的中点， ∴ AC = EC（中点定义）。 ∵∠ACD = ∠ECB ∴∠ACD-∠BCD = ∠ECB-∠BCD， ∴∠ACB = ∠ECD 在△ABC和△EDC中， AC = EC（已证）， ∠ACB = ∠ECD（已证）， BC = DC（已知）， ∴ △ABC ≌ △EDC（SAS）。 ∴ ∠A = ∠E（全等三角形的对应角相等）。 15．（2024秋·四川成都·期中）如图，AB = CD，AB ∥ CD，AE = CF。 求证：∠B = ∠D。 【答案】证明见详解 【分析】由平行得∠A=∠C，用SAS证△ABE≌△CDF，再得∠B=∠D。 【详解】证明：∵ AB ∥ CD， ∴ ∠A = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 在△ABE和△CDF中， AB = CD（已知）， ∠A = ∠C（已证）， AE = CF（已知）， ∴ △ABE ≌ △CDF（SAS）。 ∴ ∠B = ∠D（全等三角形的对应角相等）。 题型05 SSA不能判定全等的辨析（易错点） 16．（2024秋·福建福州·月考）下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） A．两边及其夹角对应相等 B．两角及其夹边对应相等 C．三边对应相等 D．两边及其中一边的对角对应相等 【答案】D 【分析】SSA不能判定两个三角形全等。 【详解】解：A选项：两边及其夹角对应相等（SAS），可以判定全等； B选项：两角及其夹边对应相等（ASA），可以判定全等； C选项：三边对应相等（SSS），可以判定全等； D选项：两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定两个三角形全等。 故选：D。 17．（2024-2025八年级上·江西南昌·期中）下列说法错误的是（　　） A．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 D．全等三角形的对应边相等，对应角相等 【答案】B 【分析】没有说明是夹角的"两边一角"不一定全等。 【详解】解：A选项：这是SAS判定定理，正确； B选项：没有说明是"夹角"，如果是其中一边的对角（SSA），不能判定全等，错误； C选项：SSA不能判定全等，即两个三角形不一定全等，正确； D选项：这是全等三角形的性质，正确。 故选：B。 18．（2024秋·山东青岛·期末）在△ABC和△DEF中，已知AB = DE，BC = EF，若要判定△ABC ≌ △DEF，还需要添加的条件不能是（　　） A．AC = DF B．∠B = ∠E C．∠A = ∠D D．以上都不对 【答案】C 【分析】已有两边，补充角时必须是夹角才能用SAS。 【详解】解：已知 AB = DE，BC = EF， A选项：补充 AC = DF，则三边对应相等（SSS），可以判定全等； B选项：补充 ∠B = ∠E，则两边及夹角对应相等（SAS），可以判定全等； C选项：补充 ∠A = ∠D，则是两边及其中一边的对角（SSA），不能判定全等。 题目问的是"不能是"，故选：C。 题型06 SAS的实际应用 19．（2024-2025八年级上·江苏南京·单元测）如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点O，连接AO并延长到C，使OC = OA，连接BO并延长到D，使OD = OB，连接CD。那么量出CD的长，就是A、B的距离。这是利用了三角形全等的判定方法，该方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】两边及夹角（对顶角）相等，用SAS判定全等。 【详解】解：在△AOB和△COD中， OA = OC（已知）， ∠AOB = ∠COD（对顶角相等）， OB = OD（已知）， ∴ △AOB ≌ △COD（SAS）。 ∴ AB = CD（全等三角形的对应边相等）。 所以利用的是SAS判定方法。 故选：B。 20．（2024秋·浙江宁波·期中）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB ≌ △OA′B′的理由是（　　） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】中点得两边相等，对顶角相等，用SAS。 【详解】解：∵ O是AA′和BB′的中点， ∴ OA = OA′，OB = OB′（中点定义）。 在△OAB和△OA′B′中， OA = OA′（已证）， ∠AOB = ∠A′OB′（对顶角相等）， OB = OB′（已证）， ∴ △OAB ≌ △OA′B′（SAS）。 ∴ AB = A′B′（全等三角形的对应边相等）。 故选：A。 题型07 公共边、公共角的识别与应用 21．（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知∠1 = ∠2，若用SAS判定△ABD ≌ △ACD，还需要添加的条件是____AB = AC____。 【答案】AB = AC 【分析】已有∠1=∠2和公共边AD=AD，需要添加夹边AB=AC。 【详解】解：在△ABD和△ACD中， 已知 ∠1 = ∠2， AD = AD（公共边）， 要用SAS判定全等，还需要添加 AB = AC。 此时两边（AB=AC，AD=AD）及夹角（∠1=∠2）对应相等，满足SAS。 故答案为：AB = AC。 22．（2024秋·湖南长沙·月考）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB = AC，AD = AE。 求证：BE = CD。 【答案】证明见详解 【分析】公共角∠A，用SAS证△ABE≌△ACD，再得BE=CD。 【详解】证明：在△ABE和△ACD中， AB = AC（已知）， ∠A = ∠A（公共角）， AE = AD（已知）， ∴ △ABE ≌ △ACD（SAS）。 ∴ BE = CD（全等三角形的对应边相等）。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·上海闵行·期末）如图，已知∠1 = ∠2，若用SAS判定△ABC ≌ △ABD，还需要添加的条件是（　　） A．BC = BD B．AC = AD C．∠C = ∠D D．以上都可以 【答案】B 【分析】已有∠1=∠2和公共边AB=AB，需要添加夹边AC=AD。 【详解】解：在△ABC和△ABD中， 已知 ∠1 = ∠2， AB = AB（公共边）， 要用SAS判定全等，需要两边及夹角对应相等。 ∠1和∠2是夹角，所以夹边是AC和AD， 需要添加 AC = AD。 A选项BC=BD是SSA，不能判定全等； C选项∠C=∠D是AAS，不是SAS。 故选：B。 2．（2024-2025八年级上·广州天河·期中）如图，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，则下列结论错误的是（　　） A．△ABD ≌ △ACE B．BD = CE C．∠BAD = ∠CAE D．BD = AD 【答案】D 【分析】由∠BAC=∠DAE得∠BAD=∠CAE，用SAS证△ABD≌△ACE，得BD=CE。 【详解】解：∵ ∠BAC = ∠DAE， ∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC， 即 ∠BAD = ∠CAE，故C正确。 在△ABD和△ACE中， AB = AC（已知）， ∠BAD = ∠CAE（已证）， AD = AE（已知）， ∴ △ABD ≌ △ACE（SAS），故A正确。 ∴ BD = CE（全等三角形对应边相等），故B正确。 D选项：BD和AD不一定相等，错误。 故选：D。 3．（2024秋·苏州吴中·月考）如图，在△ABC中，AD ⊥ BC，D为BC的中点，则下列结论不正确的是（　　） A．△ABD ≌ △ACD B．∠B = ∠C C．AD是角平分线 D．△ABC是等边三角形 【答案】D 【分析】由AD⊥BC和D是中点，用SAS证△ABD≌△ACD，得∠B=∠C，AD平分∠BAC。 【详解】解：∵ AD ⊥ BC， ∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°。 ∵ D为BC的中点，∴ BD = CD。 在△ABD和△ACD中， BD = CD（已证）， ∠ADB = ∠ADC（已证）， AD = AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），故A正确。 ∴ ∠B = ∠C（全等三角形对应角相等），故B正确。 ∴ ∠BAD = ∠CAD（全等三角形对应角相等）， 即AD是角平分线，故C正确。 D选项：只能得出AB=AC，是等腰三角形，不一定是等边三角形，错误。 故选：D。 4．（2024-2025八年级上·杭州西湖·期末）如图，已知AB = CD，∠ABD = ∠CDB，则图中全等三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】先证△ABD≌△CDB（SAS），再推导其他全等。 【详解】解：① △ABD ≌ △CDB（SAS）： AB = CD，∠ABD = ∠CDB，BD = DB（公共边）。 ② 由△ABD≌△CDB得AD=CB，∠ADB=∠CBD， 可证 △ABC ≌ △CDA（SSS或SAS）。 ③ 设AC与BD交于点O， 可证 △AOB ≌ △COD（AAS或ASA）。 共3对全等三角形。 故选：C。 5．（2024秋·济南历下·期中）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE ⊥ AB于E，且AB = 6cm，则△DEB的周长为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】B 【分析】由角平分线性质得CD=DE，证△ACD≌△AED得AC=AE，△DEB周长=AB。 【详解】解：∵ AD平分∠CAB，∠C = 90°，DE ⊥ AB， ∴ CD = DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠CAD=∠EAD。 ∴∠ADC=∠ADE 在△ACD和△AED中， AD = AD（公共边）， ∠ADC=∠ADE CD = DE（已证）， ∴ △ACD ≌ △AED（SAS）。 ∴ AC = AE（全等三角形对应边相等）。 ∵ AC = BC，∴ AE = BC。 △DEB的周长 = DE + DB + BE = CD + DB + BE = BC + BE = AE + BE = AB = 6cm。 故选：B。 6．（2024-2025八年级上·武汉江汉·月考）如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F。给出以下四个结论：① AE = CF；② △EPF是等腰直角三角形；③ S四边形AEPF = ½ S△ABC；④ EF = AP。当∠EPF在△ABC内绕点P旋转时，上述结论始终正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接AP，证△AEP≌△CFP（ASA），得AE=CF，PE=PF。 【详解】解：连接AP。 ∵ AB = AC，∠BAC = 90°，P是BC中点， ∴ AP = BP = CP，AP ⊥ BC，∠B = ∠C = ∠BAP = ∠CAP = 45°。 ∵ ∠EPF = 90°，∴ ∠APE + ∠APF = 90°。 又∵ ∠CPF + ∠APF = 90°， ∴ ∠APE = ∠CPF。 在△AEP和△CFP中， ∠EAP = ∠C = 45°， AP = CP， ∠APE = ∠CPF， ∴ △AEP ≌ △CFP（ASA）。 ∴ AE = CF，PE = PF，故①②正确。 ∵ △AEP ≌ △CFP，∴ S△AEP = S△CFP， ∴ S四边形AEPF = S△AEP + S△APF = S△CFP + S△APF = S△APC = ½ S△ABC，故③正确。 ④ EF = AP不一定成立，只有当E、F是中点时成立。 正确的有①②③，共3个。 故选：C。 （二）填空题 7．（2024秋·长沙雨花·期末）如图，已知AB = AC，AD = AE，若用SAS判定△ABD ≌ △ACE，还需要添加的条件是__∠BAD = ∠CAE（或∠BAC = ∠DAE）______。 【答案】∠BAD = ∠CAE（或∠BAC = ∠DAE） 【分析】已有两边相等，需要添加夹角相等。 【详解】解：已知 AB = AC，AD = AE， 要用SAS判定△ABD ≌ △ACE， 需要添加夹角相等，即 ∠BAD = ∠CAE。 （或添加 ∠BAC = ∠DAE，两边同时加上∠DAC也可得∠BAD = ∠CAE） 故答案为：∠BAD = ∠CAE（或∠BAC = ∠DAE）。 8．（2024-2025八年级上·郑州金水·期中）如图，AC、BD相交于点O，且OA = OC，OB = OD，则图中有___4_____对全等三角形。 【答案】4 【分析】由SAS证△AOB≌△COD、△AOD≌△COB，再由SSS证△ABD≌△CDB、△ABC≌△CDA。 【详解】解：① △AOB ≌ △COD（SAS）：OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD； ② △AOD ≌ △COB（SAS）：OA=OC，∠AOD=∠COB，OD=OB； ③ △ABD ≌ △CDB（SSS）：由①②得AB=CD，AD=CB，BD=DB； ④ △ABC ≌ △CDA（SSS）：AB=CD，BC=DA，AC=CA。 共4对全等三角形。 故答案为：4。 9．（2024-2025八年级上·西安雁塔·期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE ⊥ AB，垂足为E，若AB = 15cm，则△DBE的周长为____15____cm。 【答案】15 【分析】由角平分线性质得CD=DE，证△ACD≌△AED得AC=AE，△DBE周长=AB。 【详解】解：∵ AD平分∠BAC，∠C = 90°，DE ⊥ AB， ∴ CD = DE（角平分线性质），∠CAD=∠EAD。 ∴∠CDA=∠EDA 在△ACD和△AED中， AD = AD，∠CDA=∠EDA，CD = DE， ∴ △ACD ≌ △AED（SAS）。 ∴ AC = AE。 ∵ AC = BC，∴ AE = BC。 △DBE的周长 = DE + DB + BE = CD + DB + BE = BC + BE = AE + BE = AB = 15cm。 故答案为：15。 10．（2024秋·沈阳和平·期中）如图，已知△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F。当PE ⊥ AB时，若BE = 2，则CF = ____2____。 【答案】2 【分析】连接AP，证△AEP≌△CFP，得AE=CF，再由PE⊥AB得E是AB中点。 【详解】解：连接AP。 ∵ AB = AC，∠BAC = 90°，P是BC中点， ∴ AP = BP = CP，∠B = ∠C = 45°，AP ⊥ BC。 ∵ PE ⊥ AB，∠B = 45°，∴ △BEP是等腰直角三角形， ∴ BE = PE = 2，BP = 2。 ∵ ∠EPF = 90°，PE ⊥ AB，∴ PF ∥ AB， 又∵ P是BC中点，∴ F是AC中点。 同理可证 △AEP ≌ △CFP（ASA）， ∴ AE = CF。 ∵ PE ⊥ AB，∠BAP = 45°，∴ AE = PE = 2， ∴ CF = AE = 2。 故答案为：2。 （三）解答题 11．（2024-2025八年级上·重庆渝中·期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB = DE，AB ∥ DE，BF = CE。 求证：（1）△ABC ≌ △DEF；（2）AC ∥ DF。 【答案】证明见详解 【分析】（1）由平行得∠B=∠E，由BF=CE得BC=EF，用SAS证全等；（2）由全等得∠ACB=∠DFE，再证平行。 【详解】证明：（1）∵ AB ∥ DE， ∴ ∠B = ∠E（两直线平行，内错角相等）。 ∵ BF = CE， ∴ BF + FC = CE + FC， 即 BC = EF。 在△ABC和△DEF中， AB = DE（已知）， ∠B = ∠E（已证）， BC = EF（已证）， ∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。 （2）∵ △ABC ≌ △DEF， ∴ ∠ACB = ∠DFE（全等三角形的对应角相等）。 ∴ AC ∥ DF（内错角相等，两直线平行）。 12．（2024秋·成都锦江·期中）如图，AB = CD，AE = DF，CE = BF。 求证：（1）△ABE ≌ △DCF；（2）AE ∥ DF。 【答案】证明见详解 【分析】（1）由CE=BF得BE=CF，用SSS证全等；（2）由全等得∠AEB=∠DFC，再证平行。 【详解】证明：（1）∵ CE = BF， ∴ CE + EF = BF + EF， 即 CF = BE。 在△ABE和△DCF中， AB = DC（已知）， AE = DF（已知）， BE = CF（已证）， ∴ △ABE ≌ △DCF（SSS）。 （2）∵ △ABE ≌ △DCF， ∴ ∠AEB = ∠DFC（全等三角形的对应角相等）。 ∴ AE ∥ DF（内错角相等，两直线平行）。 13．（2024-2025八年级上·天津和平·期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。 求证：AF = EF。 【答案】证明见详解 【分析】延长AD到G，使DG=AD，连接BG，用SAS证△BDG≌△CDA，得BG=AC=BE，再导角。 【详解】证明：延长AD到G，使DG = AD，连接BG。 ∵ AD是BC边上的中线，∴ BD = CD。 在△BDG和△CDA中， BD = CD（已证）， ∠BDG = ∠CDA（对顶角相等）， DG = DA（构造）， ∴ △BDG ≌ △CDA（SAS）。 ∴ BG = AC（全等三角形对应边相等）， ∠G = ∠CAD（全等三角形对应角相等）。 ∵ BE = AC（已知），∴ BG = BE（等量代换）。 ∴ ∠G = ∠BEG（等边对等角）。 ∵ ∠BEG = ∠AEF（对顶角相等）， ∴ ∠CAD = ∠AEF（等量代换）。 ∴ AF = EF（等角对等边）。 14．（2024秋·南京鼓楼·月考）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90°，AB = AC，AD = AE。 （1）求证：BD = CE； （2）试判断BD和CE的位置关系，并说明理由。 【答案】（1）证明见详解；（2）BD ⊥ CE，理由见详解 【分析】（1）用SAS证△ABD≌△ACE，得BD=CE；（2）由全等得∠ABD=∠ACE，导角得垂直。 【详解】（1）证明：∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°， ∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD， 即 ∠BAD = ∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB = AC（已知）， ∠BAD = ∠CAE（已证）， AD = AE（已知）， ∴ △ABD ≌ △ACE（SAS）。 ∴ BD = CE（全等三角形的对应边相等）。 （2）解：BD ⊥ CE，理由如下： 设BD交CE于点F，交AC于点G。 ∵ △ABD ≌ △ACE， ∴ ∠ABD = ∠ACE（全等三角形的对应角相等）。 ∵ ∠BAC = 90°，∴ ∠ABD + ∠AGB = 90°。 又∵ ∠AGB = ∠CGF（对顶角相等）， ∴ ∠ACE + ∠CGF = 90°， ∴ ∠CFG = 90°， ∴ BD ⊥ CE。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）如图，已知AB = DC，∠ABC = ∠DCB，能直接判定△ABC ≌ △DCB的方法是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】A 【分析】两边及夹角相等，用SAS。 【详解】解：在△ABC和△DCB中， AB = DC（已知）， ∠ABC = ∠DCB（已知）， BC = CB（公共边）， ∴ △ABC ≌ △DCB（SAS）。 故选：A。 2．（2024·上海·中考）如图，已知∠1 = ∠2，若用SAS判定△ABC ≌ △ABD，还需要添加的条件是（　　） A．BC = BD B．AC = AD C．∠C = ∠D D．∠ABC = ∠ABD 【答案】B 【分析】已有一边一角，需要添加夹边。 【详解】解：已知 ∠1 = ∠2，AB = AB（公共边）， 要用SAS判定全等，需要添加夹边 AC = AD。 故选：B。 3．（2024·江苏苏州·中考）如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是（　　） A．∠B = ∠C B．AD ⊥ BC C．AD平分∠BAC D．AB = 2BD 【答案】D 【分析】等腰三角形三线合一。 【详解】解：∵ AB = AC，D是BC的中点， ∴ △ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的中线。 根据等腰三角形三线合一： ∠B = ∠C（等边对等角），A正确； AD ⊥ BC（等腰三角形底边上的高），B正确； AD平分∠BAC（等腰三角形顶角平分线），C正确； D选项：AB = 2BD不一定成立，只有当∠B = 60°时才成立。 故选：D。 4．（2024·浙江杭州·中考）如图，已知∠ABC = ∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC ≌ △DCB的是（　　） A．∠A = ∠D B．∠ACB = ∠DBC C．AC = DB D．AB = DC 【答案】C 【分析】已有一边一角（BC公共边，∠ABC=∠DCB），分析各选项。 【详解】解：已知 BC = CB（公共边），∠ABC = ∠DCB， A选项：添加 ∠A = ∠D，可用AAS判定全等； B选项：添加 ∠ACB = ∠DBC，可用ASA判定全等； C选项：添加 AC = DB，是两边及其中一边的对角（SSA），不能判定全等； D选项：添加 AB = DC，可用SAS判定全等。 故选：C。 5．（2024·四川成都·中考）如图，△ABC ≌ △DEF，点B、F、C、E在同一直线上，AC与DF交于点M。若∠ACB = 30°，则∠DMC的度数为___60°_____。 【答案】60° 【分析】由全等三角形性质可求。 【详解】解：∵ △ABC ≌ △DEF， ∴ ∠DFE = ∠ACB = 30°（全等三角形对应角相等）。 在△MFC中， ∠DFE = ∠ACB = 30° ∴∠MFC = ∠MCF = 30°， ∴ ∠FMC = 180° - 30° - 30° = 120°， ∴ ∠DMC = 180° - 120° = 60°。 故答案为：60°。 6．（2024·湖北武汉·中考）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB ∥ DE，AB = DE，BE = CF，AC = 6，则DF = ___6_____。 【答案】6 【分析】用SAS证△ABC≌△DEF，得DF=AC=6。 【详解】解：∵ AB ∥ DE， ∴ ∠B = ∠DEF。 ∵ BE = CF，∴ BE + EC = CF + EC，即 BC = EF。 在△ABC和△DEF中， AB = DE，∠B = ∠DEF，BC = EF， ∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。 ∴ DF = AC = 6。 故答案为：6。 7．（2024·重庆·中考）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），F、E分别是AD及其延长线上的点，且CF ∥ BE。请你添加一个条件，使△BDE ≌ △CDF（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明。 （1）你添加的条件是：___BD = CD（答案不唯一）_____； （2）证明： 【答案】（1）BD = CD（答案不唯一）；（2）证明见详解 【分析】由CF∥BE得∠E=∠CFD，添加BD=CD可用AAS证全等。 【详解】解：（1）添加的条件是：BD = CD（答案不唯一，也可添加BE=CF或DE=DF等）。 （2）证明：∵ CF ∥ BE， ∴ ∠E = ∠CFD（两直线平行，内错角相等）。 在△BDE和△CDF中， ∠E = ∠CFD（已证）， ∠BDE = ∠CDF（对顶角相等）， BD = CD（添加的条件）， ∴ △BDE ≌ △CDF（AAS）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册 第14章 全等三角形 14.2全等三角形的判定 第1课时边角边判定（SAS） 本节知识点总结 1. 三角形全等判定的探究： ① 只给一个条件（一条边或一个角），不能判定两个三角形全等； ② 只给两个条件（两边、两角、一边一角），也不能判定两个三角形全等； ③ 需要三个条件才能判定两个三角形全等。 2. 边角边判定定理（SAS）： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成"边角边"或"SAS"）。 几何语言： 在△ABC和△DEF中， AB = DE， ∠A = ∠D， AC = DF， ∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。 3. SAS的应用： ① 证明两个三角形全等； ② 证明线段相等（全等三角形对应边相等）； ③ 证明角相等（全等三角形对应角相等）。 4. 易错点——SSA不能判定全等： 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。 注意：必须是"夹角"，而不是"其中一边的对角"。 5. 公共边、公共角的识别与应用： ① 公共边：两个三角形共有的边，天然相等； ② 公共角：两个三角形共有的角，天然相等； ③ 对顶角相等，也是常用的等角条件。 6. 实际应用： 利用SAS可以测量不能直接测量的距离（如池塘两端的距离）。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 SAS判定定理的理解与识别 1．（2024秋·北京海淀·单元测）下列条件中，能判定△ABC ≌ △DEF的是（　　） A．AB = DE，BC = EF，∠A = ∠D B．AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E C．AB = DE，AC = DF，∠A = ∠D D．BC = EF，AC = DF，∠C = ∠F 2．（2024-2025八年级上·上海闵行·期中）如图，已知AB = AD，若用SAS判定△ABC ≌ △ADC，还需要添加的条件是（　　） A．BC = DC B．∠BAC = ∠DAC C．∠B = ∠D D．∠ACB = ∠ACD 3．（2024秋·广东广州·月考）下列说法正确的是（　　） A．两边和一角对应相等的两个三角形全等 B．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．有两边相等的两个三角形全等 4．（2024-2025八年级上·江苏苏州·单元测）在△ABC和△DEF中，已知AB = DE，∠A = ∠D，若补充下列条件中的一个，其中不能判定△ABC ≌ △DEF的是（　　） A．AC = DF B．BC = EF C．∠B = ∠E D．以上都不对 题型02 利用SAS证明三角形全等（基础题） 5．（2024秋·浙江杭州·期中）已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB = DE，AB ∥ DE，BE = CF。 求证：△ABC ≌ △DEF。 6．（2024-2025八年级上·山东济南·月考）如图，AC与BD相交于点O，OA = OC，OB = OD。 求证：△AOB ≌ △COD。 7．（2024秋·湖北武汉·期末）已知：如图，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE。 求证：△ABD ≌ △ACE。 8．（2024-2025八年级上·湖南长沙·期中）如图，点C是AB的中点，CD ∥ BE，且CD = BE。 求证：△ACD ≌ △CBE。 题型03 利用SAS证明线段相等 9．（2024秋·河南郑州·月考）如图，AB = AD，∠BAC = ∠DAC。 求证：BC = DC。 10．（2024-2025八年级上·河北石家庄·期末）已知：如图，点E、F在BC上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠C。 求证：AF = DE。 11．（2024秋·陕西西安·单元测）如图，AC和BD相交于点O，OA = OC，OB = OD。 求证：AB = CD。 12．（2024-2025八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知AB = AD，AC = AE，∠BAD = ∠CAE。 求证：BC = DE。 题型04 利用SAS证明角相等 13．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，AB = AC，AD = AE。 求证：∠B = ∠C。 14．（2024-2025八年级上·天津南开·期末）已知：如图，点C是AE的中点，BC = DC，∠ACD = ∠ECB。 求证：∠A = ∠E。 15．（2024秋·四川成都·期中）如图，AB = CD，AB ∥ CD，AE = CF。 求证：∠B = ∠D。 题型05 SSA不能判定全等的辨析（易错点） 16．（2024秋·福建福州·月考）下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） A．两边及其夹角对应相等 B．两角及其夹边对应相等 C．三边对应相等 D．两边及其中一边的对角对应相等 17．（2024-2025八年级上·江西南昌·期中）下列说法错误的是（　　） A．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 D．全等三角形的对应边相等，对应角相等 18．（2024秋·山东青岛·期末）在△ABC和△DEF中，已知AB = DE，BC = EF，若要判定△ABC ≌ △DEF，还需要添加的条件不能是（　　） A．AC = DF B．∠B = ∠E C．∠A = ∠D D．以上都不对 题型06 SAS的实际应用 19．（2024-2025八年级上·江苏南京·单元测）如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点O，连接AO并延长到C，使OC = OA，连接BO并延长到D，使OD = OB，连接CD。那么量出CD的长，就是A、B的距离。这是利用了三角形全等的判定方法，该方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 20．（2024秋·浙江宁波·期中）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB ≌ △OA′B′的理由是（　　） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 题型07 公共边、公共角的识别与应用 21．（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知∠1 = ∠2，若用SAS判定△ABD ≌ △ACD，还需要添加的条件是________。 22．（2024秋·湖南长沙·月考）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB = AC，AD = AE。 求证：BE = CD。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·上海闵行·期末）如图，已知∠1 = ∠2，若用SAS判定△ABC ≌ △ABD，还需要添加的条件是（　　） A．BC = BD B．AC = AD C．∠C = ∠D D．以上都可以 2．（2024-2025八年级上·广州天河·期中）如图，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，则下列结论错误的是（　　） A．△ABD ≌ △ACE B．BD = CE C．∠BAD = ∠CAE D．BD = AD 3．（2024秋·苏州吴中·月考）如图，在△ABC中，AD ⊥ BC，D为BC的中点，则下列结论不正确的是（　　） A．△ABD ≌ △ACD B．∠B = ∠C C．AD是角平分线 D．△ABC是等边三角形 4．（2024-2025八年级上·杭州西湖·期末）如图，已知AB = CD，∠ABD = ∠CDB，则图中全等三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．（2024秋·济南历下·期中）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE ⊥ AB于E，且AB = 6cm，则△DEB的周长为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 6．（2024-2025八年级上·武汉江汉·月考）如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F。给出以下四个结论：① AE = CF；② △EPF是等腰直角三角形；③ S四边形AEPF = ½ S△ABC；④ EF = AP。当∠EPF在△ABC内绕点P旋转时，上述结论始终正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题 7．（2024秋·长沙雨花·期末）如图，已知AB = AC，AD = AE，若用SAS判定△ABD ≌ △ACE，还需要添加的条件是________。 8．（2024-2025八年级上·郑州金水·期中）如图，AC、BD相交于点O，且OA = OC，OB = OD，则图中有________对全等三角形。 9．（2024-2025八年级上·西安雁塔·期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE ⊥ AB，垂足为E，若AB = 15cm，则△DBE的周长为________cm。 10．（2024秋·沈阳和平·期中）如图，已知△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F。当PE ⊥ AB时，若BE = 2，则CF = ________。 （三）解答题 11．（2024-2025八年级上·重庆渝中·期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB = DE，AB ∥ DE，BF = CE。 求证：（1）△ABC ≌ △DEF；（2）AC ∥ DF。 12．（2024秋·成都锦江·期中）如图，AB = CD，AE = DF，CE = BF。 求证：（1）△ABE ≌ △DCF；（2）AE ∥ DF。 13．（2024-2025八年级上·天津和平·期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。 求证：AF = EF。 14．（2024秋·南京鼓楼·月考）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90°，AB = AC，AD = AE。 （1）求证：BD = CE； （2）试判断BD和CE的位置关系，并说明理由。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）如图，已知AB = DC，∠ABC = ∠DCB，能直接判定△ABC ≌ △DCB的方法是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 2．（2024·上海·中考）如图，已知∠1 = ∠2，若用SAS判定△ABC ≌ △ABD，还需要添加的条件是（　　） A．BC = BD B．AC = AD C．∠C = ∠D D．∠ABC = ∠ABD 3．（2024·江苏苏州·中考）如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是（　　） A．∠B = ∠C B．AD ⊥ BC C．AD平分∠BAC D．AB = 2BD 4．（2024·浙江杭州·中考）如图，已知∠ABC = ∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC ≌ △DCB的是（　　） A．∠A = ∠D B．∠ACB = ∠DBC C．AC = DB D．AB = DC 5．（2024·四川成都·中考）如图，△ABC ≌ △DEF，点B、F、C、E在同一直线上，AC与DF交于点M。若∠ACB = 30°，则∠DMC的度数为________。 6．（2024·湖北武汉·中考）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB ∥ DE，AB = DE，BE = CF，AC = 6，则DF = _______。 7．（2024·重庆·中考）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），F、E分别是AD及其延长线上的点，且CF ∥ BE。请你添加一个条件，使△BDE ≌ △CDF（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明。 （1）你添加的条件是：________； （2）证明： 学科网（北京）股份有限公司 $