第1章勾股定理达标卷2026-2027学年数学八年级上册北师大版

**基本信息** 北师大版八年级勾股定理达标卷，以赵爽弦图、古算诗、自动驾驶信号覆盖等情境为载体，全面考查勾股定理的应用与推理，体现数学眼光、思维与语言的融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|逆定理、最短路径、赵爽弦图|结合正方形地砖、蚂蚁爬行等生活情境，基础巩固与空间观念培养| |填空题|6题|中线性质、摆线长度、生长正方形规律|融入水杉折断、小球摆动等实际问题，考查模型意识与运算能力| |解答题|6题|折叠问题、信号覆盖、面积验证|以自动驾驶信号覆盖（综合勾股定理与距离计算）、赵爽弦图面积验证为核心，体现推理能力与应用意识|

第1章勾股定理达标卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（新教材） 一、单选题 1．下列几组数能作为直角三角形三条边的长度的是（   ） A．9，12，15 B．12，18，22 C．12，15，36 D．15，36，41 2．如图，在中，为边上的高，，则图中的直角三角形共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．在中，，三边长分别为，，．若，则斜边的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 5．如图，长方体的高为4，底面长为3，宽为1，一只蚂蚁从长方体的表面点爬到点．则蚂蚁爬行的最短路程是（    ）． A．5 B． C． D． 6．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 7．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 8．有一首古算诗：“波平如镜一湖面，半尺高处生红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处二尺远，花贴湖面似睡莲．”其大意为：湖面平静如镜，红莲高出水面半尺，姿态优美地立在湖中央，突然被风吹斜后花尖恰好触及水面，且离原来的位置水平二尺远．其平面示意图如图所示，于点，尺，尺，则的长为（    ） A．3尺 B．4尺 C．尺 D．尺 9．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 10．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值为（    ） A．108 B．144 C．72 D．90 二、填空题 11．在中，，，上的中线，则________． 12．如图，在做小球摆动实验时，淇淇发现当小球（看作一个点）静止时，位于点处，当小球摆动到点时，小球与静止位置时的高度差，与静止位置时的水平距离，则摆线的长度是_____． 13．我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ________． 14．水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活化石”．如图，一棵水杉在离地5米（点）处折断，水杉的顶端（点）落在离水杉底端（点）12米处，则这棵水杉折断之前的高度为___________米． 15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为________． 16．有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图（1）所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图（2）所示．若“生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积之和是_____． 三、解答题 17．如图，中，，是上一点，且，，，求的面积． 18．如图，长方形中，把沿着折叠使得点落在点，，，则 求 (1)的长； (2)的长． 19．如图，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）．请用无刻度的直尺完成下列作图： (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)连接，作的垂直平分线，垂足为． 20．如图，，，，，交于F． (1)求证：，； (2)连接、，若，，求的值． 21．如图，将一个长为a，宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为和，点D在边上，与交于点F，连接和． (1)写出与的位置关系及理由； (2)利用图Ⅲ，验证． 22．如图，直线AB为公路，点C是信号基站，基站到公路两端A、B的距离满足，，．一辆自动驾驶汽车沿直线从点A向点B匀速行驶，速度为，信号覆盖规则如下： 信号覆盖规则以基站C为中心，信号强度随距离变化， 当汽车到C的距离时可稳定接收信号； 当为信号过渡区（偶尔卡顿）； 当时无法接收信号． (1)求点C到直线的距离； (2)汽车在从点A向点B行驶的过程中，有多少分钟可以稳定接收信号？ (3)汽车从点A向点B匀速行驶的过程中，直接写出无法接收信号的时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B B A D C A A 1．A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故是直角三角形，符合题意； B、，故不是直角三角形，不符合题意； C、，故不是直角三角形，不符合题意； D、，故不是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 2．D 【分析】根据，得到，继而得到，解答即可． 本题考查了三角形的高，勾股定理的逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键． 【详解】解：根据，得到，继而得到，故是直角三角形； 又为边上的高， 故都是直角三角形； 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，偶数次方的非负性，熟练掌握勾股定理以及完全平方公式是解题的关键． 先通过直角三角形面积公式得到两直角边的关系，再结合勾股定理和完全平方公式的变形推导斜边的最小值． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 由勾股定理，得， ∵，即，即， 将代入得， ∵， ∴，即斜边c的最小值为2． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，则正方形和正方形的面积之和为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴正方形和正方形的面积之和为：， 故选：． 5．B 【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，勾股定理，无理数的大小比较．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下， ∴， ∴； 按照正面和上面展开，如下， ∴， ∴； 按照上面和左面展开，如图3， ∴， ∴； ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键．设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长度为尺，则， 在中，，即， 解得：， ∴的长度为尺． 故选：C． 9．A 【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式及其变形．根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 故选：A． 10．A 【分析】用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，，则， 故，，，解答即可． 本题考查了勾股定理，完全平方公式，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，， 则， 故，，， 故， 故选：A． 11．17 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及线段垂直平分线的性质是关键．先根据勾股定理的逆定理，证明，再根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：是上的中线， ， ， 是直角三角形，， ， ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：17． 12．15 【分析】本题考查了勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是设出摆线长度，利用勾股定理建立方程求解． 设摆线的长度为，则；由得；在中，根据勾股定理代入数值列方程，解方程即可得的长度． 【详解】解：设，则，， 在中，， 即， 展开得， 化简得， 解得， 故答案为：． 13．1 【分析】本题考查了赵爽弦图，根据赵爽弦图的几何结构，小正方形的边长等于直角三角形两直角边之差的绝对值，即，结合小正方形边长为1即可求解． 【详解】解：在赵爽弦图中，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，小正方形的边长等于两直角边之差的绝对值． ∵小正方形边长为1， ∴， ∴． 故答案为1． 14．18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际生活中的运用能力，是解题的关键． 由题意得，在直角三角形中，已知两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，进而可得这棵水杉折断之前的高度． 【详解】解：∵， ∴折断的部分长为（m）， ∴折断前高度为（m）． 故答案为：18． 15．或或 【分析】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分别当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标． 【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点为E，作． 设，由题意可得，，， 与关于直线对称， ，， 在中，， ． 在中，， ， 即， 解得， 点D的坐标是． ②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则， 这时，， ； ③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，， 在中，，则， 中，设， 利用勾股定理得到， 解得， D点坐标为， 故D的坐标为或或． 故答案为：或或． 16． 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，勾股定理，根据勾股定理得出规律经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，即可得解．正确得出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，边长为的大正方形经过次“生长”后，形成图形如图， “生长”次，“生长”出的两个正方形，三个正方形围成，三个正方形面积和为：； “生长”次，又“生长”出四个正方形，所有的正方形围成的直角三角形有、、，则这四个正方形面积和等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，即，， ∴所有正方形的面积之和为： ； “生长”次，“生长”出的四个正方形面积和等于第二次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为：； …… 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是， ∴“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为：． 故答案为：． 17． 【分析】根据勾股定理的逆定理得到，设，则，然后由勾股定理得，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴， ∴的面积． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，继而根据勾股定理得到，继而得到答案． （2）设，则，在中，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把沿着折叠使得点落在点， ， 在中，， 四边形是长方形， ，， ； （2）解：设，则， 在中，，即， 解得， ． 19．(1)解：如图，即为所求； (2)如图，即为所求； 【分析】（1）作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）取上的格点F，再取格点E，连接即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴垂直平分． 20．(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设交于点，则， ∴， ∴； (2)26 【分析】（1）证明，即可得证； （2）根据勾股定理将转化为即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 由（1）可知：， ∴，， ∴ ． 21．(1) ．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：由题意得，，， ， ∵， ∴， 整理，得． 【分析】（1）由题意得，推出，利用等角的余角相等即可求解； （2）利用，结合面积公式列式计算即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 22．(1)点到直线的距离为 (2)有24分钟可以稳定接收信号 (3)24分钟（或小时） 【分析】（1）过点C作于点D，由，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求点C到直线的距离； （2）设点E，F在直线上，且，利用勾股定理，可求出的长，进而可得出，的长，再利用时间路程速度，即可求出结论 （3）设点G，H在直线上，且，利用勾股定理，可求出的长，进而可得出，的长，然后求出不能接收信号的路程，再利用时间路程速度，即可求出结论． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图1所示． ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即点C到直线的距离为； （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理：， ∴， ∴， 答：有24分钟可以稳定接收到信号； （3）解：设点G，H在直线上，且，如图所示． 在中，，， ∴， 同理：， ∴， 不能接收到信号的路程为：， ， 答：无法接收信号的时间为24分钟． 【点睛】（1）利用面积法，求出点C到的距离；（2）利用勾股定理，求出在直线上可以稳定接收信号的长度；（3）利用勾股定理，求出在直线上不能接收到信号的长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $