第1章 勾股定理（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级下勾股定理拔尖卷，23题含选择、填空、解答，覆盖基础计算、文化情境与动态探究，适配单元复习提升，可量化学生掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形边长计算（第1题）、勾股数规律探究（第3题）|结合赵爽弦图（第5题）体现文化传承，巡逻舰驱离情境（第4题）培养数学眼光| |填空题|6/18|半圆面积计算（第12题）、旗杆测量（第13题）|河上修桥最短距离（第16题）强化模型意识，门变形检测（第11题）落实应用意识| |解答题|7/72|折叠问题（第17题）、新定义“方倍三角形”（第20题）、蚂蚁爬行最短路径（第23题）|动态旋转（第21题）发展推理能力，格点作图（第19题）提升空间观念，贴合中考命题趋势|

第1章 勾股定理·拔尖卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（   ） A．5或 B．1 C．7 D．25 2．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（   ） A．360 B．200 C．280 D．242 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）某巡逻舰在太平洋海域的点执行任务时，发现南偏东方向，距离海里的点，有一艘敌舰正以海里/小时的速度沿南偏西方向行驶．巡逻舰立即沿直线方向进行驱离，半小时后在点成功拦截敌舰并完成驱离任务．则巡逻舰的航行速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 10．如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（    ）． A．120° B．135° C．150° D．160° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 12．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为______米． 14．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点．若，，则正方形的边长为___________． 15．如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是______． 16．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，八（1）班同学课间做折纸游戏，选用一张矩形纸片进行折纸．已知该纸片长为，宽为．折叠时，顶点落在边上的点处（折痕为）． (1)____________________： (2)求的长． 18．（8分）（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 19．（10分）（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在的方格纸中，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）： ①在图1中，作出的边上的高； ②在图2中，点为的中点，在上作点，使； (2)在的方格纸中与全等且有一条公共边的格点三角形（不含）共有_____个． 20．（10分）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 21．（12分）（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形和等腰直角三角形．连接、． (1)点P为线段的中点，连接 ① 如图所示，当点、分别在边、上时，请直接写出与之间的关系； ② 将绕点旋转到图的位置，请写出与之间的数量关系并证明； (2)将△绕点旋转到图的位置，作于点，设、的长分别为、，则的值是 （用含，的式子表示）． 22．（12分）（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________． 23．（14分）（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为，，的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【方案设计】 为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走路程最短？ （1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线． ①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）； ②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，并画出相应的最短路线，即线段； （2）比较验证 ③比较，，三种爬行路线的长短后可得，线段，，中最短路线是________； 【问题回归】 定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用进行相关计算．请你试着用从上面定义中学到的新知识解决你遇到的问题． （3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所走的路程用d表示，则最小值为_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 勾股定理·拔尖卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（   ） A．5或 B．1 C．7 D．25 【答案】A 【分析】分两种情况利用勾股定理计算第三边长即可． 【详解】解：当长为的边是斜边，长为的边是直角边时， 由勾股定理可得：第三边长为； 当长为和的边都是直角边，第三边为斜边时， 由勾股定理得：第三边长为； 综上所述，第三边长为或． 2．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据中点的定义求出的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴． ∴在中， ． 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（   ） A．360 B．200 C．280 D．242 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入，求出b、c的值，进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得：， 则， ∴． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）某巡逻舰在太平洋海域的点执行任务时，发现南偏东方向，距离海里的点，有一艘敌舰正以海里/小时的速度沿南偏西方向行驶．巡逻舰立即沿直线方向进行驱离，半小时后在点成功拦截敌舰并完成驱离任务．则巡逻舰的航行速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】D 【分析】根据方向角的度数及平行线的性质得出，根据敌舰的速度得出海里，利用勾股定理求出海里，进而可求出巡逻舰的航行速度． 【详解】解：如图所示，由题意得，，，，海里， ∴， ∴， ∵敌舰以海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，半小时后在点成功拦截敌舰并完成驱离任务， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴巡逻舰的航行速度为（海里/小时）． 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 6．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出，由勾股定理可得，设，由折叠得，，由勾股定理求出，在中，由勾股定理建立方程求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则 由折叠得，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 8．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，当点在线段上时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出即可得到结果． 【详解】解：过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 10．如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（    ）． A．120° B．135° C．150° D．160° 【答案】C 【分析】利用旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形，从而求得∠APB的度数． 【详解】连接PM，如图， 由旋转性质可知，△APC≌△AMB， ∴AP=AM，MB=PC=10， ∵∠MAP=60°， ∴△APM是等边三角形， ∴PM=AP=6， ∵PB=8， ∴MB2=PB2+MP2， ∴△PMB是直角三角形， ∴∠MPB=90°， ∵∠MPA=60°， ∴∠APB=150°． 【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形是解答本题的第一个关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形． 【详解】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，， ∴ 又测得， ∴ ∵，即， ∴不再是直角，木门已变形． 12．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】24 【分析】在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，阴影部分面积半圆半圆直角三角形面积半圆，求出即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 则 ． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键． 连接并延长交于，在中和中，分别使用勾股定理得，，再即可求得，代入可得即可求解． 【详解】解：连接并延长交于， ，， 则， 在中，， 即， 在中，， 即， 由得：， 解得， 代入得：， ， ， （米）． 故答案为：． 14．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点．若，，则正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】根据证明，得，，可判断是等腰直角三角形，求出，在中，求得，过点作，交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，得，，在中由勾股定理可求． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 在中，． 15．如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为、；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合． 把绕点逆时针旋转，得，这样就集中成一个与 相等的角，在一条直线上的、、集中为，只需判定的形状即可． 【详解】解：如图：把绕点逆时针旋转，得， 则， ， 又， ∴， ， 又， ， ∴以、、为边长的三角形的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 16．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 【答案】19 【分析】本题主要考查了运用路径最值问题以及运用勾股定理求线段的长度．将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q．即．随后，结合已知条件，在中，运用勾股定理求出的长，最后求得的最小值． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q． ∵将沿着竖直方向平移4米，即平移到， ∴， ∴， 即 ∵河宽4米， ∴（米）， ∴． ∵A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米， ∴（米）， ∴（米）， ∵A，B两点之间的水平距离为12米， ∴（米）， ∵交延长线于点Q， ∴． 在中， （米）， ∴（米）， 即的最小值是19米． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，八（1）班同学课间做折纸游戏，选用一张矩形纸片进行折纸．已知该纸片长为，宽为．折叠时，顶点落在边上的点处（折痕为）． (1)____________________： (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）根据矩形的性质，折叠的性质，可得，根据勾股定理求出，根据，即可； （2）设，根据折叠的性质，可得，根据勾股定理，即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 18．（8分）（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 19．（10分）（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在的方格纸中，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）： ①在图1中，作出的边上的高； ②在图2中，点为的中点，在上作点，使； (2)在的方格纸中与全等且有一条公共边的格点三角形（不含）共有_____个． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）作，取格点，连接并延长交于即可； 取格点M，连接交于点即可； （2）分类讨论，三边分别为公共边时，通过数格子，找到与另外两边相等线段组成的三角形，连线即可． 【详解】（1）作，取格点，连接并延长交与， 证明：由作图可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即为的边上的高； 取格点M，连接交于点即可； 证明：连接，取格点M下方格点为N， 可知， 由勾股定理可知，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 即， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）与全等且有一条公共边的格点三角形 分别是以为公共边的三角形 当公共边为时 当公共边为时 当公共边为时，不符合题意，舍去 故答案为：． 20．（10分）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 21．（12分）（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形和等腰直角三角形．连接、． (1)点P为线段的中点，连接 ① 如图所示，当点、分别在边、上时，请直接写出与之间的关系； ② 将绕点旋转到图的位置，请写出与之间的数量关系并证明； (2)将△绕点旋转到图的位置，作于点，设、的长分别为、，则的值是 （用含，的式子表示）． 【答案】(1)① ； ② 证明：如图，过点作交的延长线于点，连接， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵点P为线段的中点， ∴ ∴，即 (2) 【分析】（1）①证明，得出，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而可得；延长交于点，设，则，得出，即可证明； ②过点作交的延长线于点，连接，证明得出，进而证明是的中位线，可得，根据平行线的性质，进而可得结论； （2）连接，过点作于点，证明得出，，进而证明，得出，，设，,，进而根据勾股定理表示出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴， ∵点P为线段的中点， ∴ ∴； ∵ ∴ 如图，延长交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②略 （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴ 又∵等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴， 设，,，则 在中， ，即 在中，，即 ∴ ∴ 22．（12分）（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________． 【答案】【初步探索】，； 【拓展延伸】见解析； 【知识应用】或． 【分析】【初步探索】根据等腰直角三角形的性质可得，，，从而可证，根据全等三角形的性质可证， ，根据三角形内角和定理可得，从而可证； 【拓展延伸】由【初步探索】可知，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形内角和定理可得，从而可得中结论仍然成立； 【知识应用】连接由【拓展延伸】可知，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，利用勾股定理的逆定理可知，然后再根据点和的位置分两种情况讨论即可． 【详解】【初步探索】解：如下图所示，延长交于点， 和都是等腰直角三角形，， ，，， 在和中， ， ，， 在中， ， ， ， ， 故答案为：，； 【拓展延伸】解：中的结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长交于点，交于点 ， 由【初步探索】可知， ，， 在中， ， ， ， ； 【知识应用】解:如下图所示，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当点在内，点在外时，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ， 又， ， ， 又， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 23．（14分）（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为，，的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【方案设计】 为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走路程最短？ （1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线． ①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）； ②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，并画出相应的最短路线，即线段； （2）比较验证 ③比较，，三种爬行路线的长短后可得，线段，，中最短路线是________； 【问题回归】 定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用进行相关计算．请你试着用从上面定义中学到的新知识解决你遇到的问题． （3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所走的路程用d表示，则最小值为_____． 【答案】（1）①上，后；②见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理； （1）①观察图形即可得到答案； ②补充由前面与右面展开得到的平面图形，即可求解； （2）比较大小，即可求解； （3）根据（1）的方法，画出三种不同的爬行路线，结合定义，分别计算，比较大小，即可求解． 【详解】解：（1）图④是由上面与后面展开得到的平面图形， 故答案为：上，后． ②如图所示，由前面与右面展开得到的平面图形 （2），，， ∵， ∴线段，，中最短路线是， 故答案为：． （3）如图，由左面与后面展开得到的平面图形 根据定义可得； 如图，由上面与后面展开得到的平面图形 根据定义可得； 如图，由上面与右面展开得到的平面图形 根据定义可得； ∵， ∴最小值为． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $