第25-26章阶段综合评价试题 2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 本试卷聚焦九年级上册一元二次方程与二次函数，通过12道单选、5道填空、9道解答题，融合跳水运动、喷泉水流等真实情境与“镜像值”“好根方程”等创新定义，考查运算能力、几何直观与模型意识，适配月考阶段评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|方程解法、函数图像性质|全运会跳水数据（第5题）考查函数对称性，电路功率图像（第8题）体现跨学科应用| |填空题|5题|根的判别式、增长率、规律探究|体育训练增长率（第16题）考查方程应用，三角点阵（第11题）培养抽象能力| |解答题|9题|新定义、函数综合、实际应用|“好根方程”（第26题）创新定义考查推理能力，利润问题（第21题）强化模型意识，矩形运动（第22题）融合几何与代数|

第25-26章 一元二次方程和二次函数 阶段综合评价试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．若关于的一元二次方程有一个实数根为1，则（　　） A． B． C．或 D． 2．把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 3．定义一种运算“☆”为：☆，则☆的解是（   ） A． B． C． D． 4．如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．在第十五届全运会女子米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系如下表所示，下列结论正确的是（    ） … … A．运动员的重心相对水面的最大高度是 B．运动轨迹路线的对称轴是直线 C．当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D．当时，运动员入水 6．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 7．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图甲所示电路中，为定值电阻，为滑动变阻器．图乙是该滑动变阻器消耗的电功率与电流关系的图象．则下列判断中正确的是（   ） A．当电流增大时，消耗的电功率也增大 B．当时，的阻值最小 C．当时，的阻值为 D．当电流为时，滑动变阻器的电功率为0 9．若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 10．抛物线，当时，的最大值与最小值的差为5，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．的值为 D．当时， 11．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 12．对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 13．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________． 14．已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 15．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 16．重庆市某中学九年级5班的同学在第一学月体育测试时有25名同学获得满分，经过两个学月的专项体能训练，在第三学月体育测试时满分同学增加到了36人，则该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为________． 17．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第___个图案中黑色三角形的个数为300． 三、解答题 18．解方程 ： (1)； (2) (3) (4)； (5)． (6) 19．如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： (1)这个二次函数的解析式是________； (2)方程的两个根为________； (3)不等式的解集为_______； (4)若当时，则y的取值范围为________． 20．在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 21．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 22．如图所示，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以2厘米秒的速度移动，点沿边从点开始向点以1厘米秒的速度移动，如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： (1)当运动秒时，用含的式子表示__________，__________，__________，__________． (2)当为何值时，的面积为8？ (3)求四边形的面积，并写出一个与计算结果有关的结论． 23．如图，已知抛物线，其顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交于、两点． (1)______；（填、或） (2)______；（填、或） (3)______； (4)抛物线与轴的另一个交点坐标是______； (5)抛物线的解析式为______； (6)直线的解析式为______； (7)______； (8)方程的根为______； (9)写出时的取值范围为______． 24．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 25．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 26．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C D A D B D 题号 11 12 答案 B A 1．B 本题考查了一元二次方程的定义、解的定义和解一元二次方程，熟练掌握方程的根就是能使方程左右两边相等的未知数的值，二次项系数不等于0，是解题的关键． 先把代入方程得到，根据，即可求出k的值． 解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为1， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．D 本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可． 解：由题意得， ， ∴． 故选D． 3．D 根据运算定义，将方程转化为代数式，得到一元二次方程，然后因式分解求解． ∵ ☆ ∴ ☆ ∴ ☆ ∴ ∴ 或 ∴ 或 故方程的解为， 故选：D． 4．B 由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不一定大于0， ∴当时，不一定大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有3个． 5．C 利用表格数据结合二次函数的对称性求出对称轴，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 解：由表格可知，当和时，的值相等，均为， 抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称， 对称轴为直线，故B错误； 运动轨迹是开口向下的抛物线，顶点在对称轴处， 运动员重心相对于水面的最大高度大于，故A错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 即运动员的重心相对于水面的高度持续升高，故C正确； 根据抛物线对称性，和时，值相等， 即时，，重心高度仍为，运动员未入水，故D错误． 6．D 观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 7．A 本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，令，求出对应的x的值，则可求出的长度，然后根据轴对称的性质求解即可． 解：当时，， 解得，， ∴， ∵喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线， ∴， ∴， 即的长为， 故选：A． 8．D 本题考查了二次函数的应用，结合图象逐一判断即可解答，熟练运用二次函数的图象和性质解题是关键． 解：A、根据图像，当电流增大时，消耗的电功率先增大再减小，故该选项不符合题意； B、根据，结合图象，可得当时，的阻值不是最小，故该选项不符合题意； C、当时，的阻值为，故该选项不符合题意； D、当时，的阻值为，根据电路的总电压不变可得， 解得， 则总电压为伏， 当电流为时，电路中的总阻值为， 则， 故滑动变阻器的电功率为，故选项正确， 故选：D． 9．B 本题考查了二次函数的定义以其图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质和点坐标特征是解题的关键．根据题意得二次函数一次项系数为0，可得或，再根据二次函数的定义即可求解． 解：∵二次函数的图象经过点、， ∴函数图象关于y轴对称， ∴函数的解析式形式应该是型， ∴， 解得：或， ∵二次函数的二次项系数不能为0， ∴． 故选：B． 10．D 根据抛物线顶点式的性质，先判断开口方向和对称轴，再根据给定x的范围确定y的最大值和最小值的位置，结合二者差为求出的值，再逐一判断选项即可． 解：抛物线解析式为，且， 抛物线开口向上，故A选项错误； 抛物线对称轴为直线， 开口向上时，仅当时，随的增大而增大，故B选项错误； ，开口向上， 时，取得最小值， 分别计算端点的函数值： 当时，； 当时，； ， ， ∴， 由题意，最大值与最小值的差为， ，解得，故C选项错误； 当时，代入解析式得，故D选项正确． 11．B 本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为210、100、78、45时的值，判断即可得解．熟练掌握一元二次方方程的应用是关键． 解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和， A、若和为210，则，解得或（舍去），即前20行的点数之和为，故A不符合题意； B、若和为100，则，解得，不是整数，即不存在前行的点数之和为100，故B符合题意； C、若和为78，则，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故C不符合题意； D、若和为45，则，解得或（舍去），即前9行的点数之和为45，故D不符合题意； 故选：B． 12．A 先推导一元二次方程两根之差的绝对值公式，再结合题目条件列出关于的方程，同时根据方程有两个实数根确定判别式的取值范围，求解后得到符合条件的的值． 解：对于一元二次方程，由求根公式，得 ， ∵方程有两个实数根，． ． 由，得 解得， ，符合条件． 13． 且 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数． 根据题意可得二次项系数不为0，且，即可得的取值范围． 解：∵ 关于 的一元二次方程 有两个实数根， ∴ 且 ， 解得且． ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 14．①②③④ 根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为3，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可． 解：由图象可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为3 ∴y的最大值为3，故①正确； ∵对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②③④． 15．或 先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 16． 本题考查了一元二次方程的应用，设该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论． 解：设该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为x，根据题意得， ， 解得， 所以，该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为， 故答案为：． 17．24 据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1），根据题意列方程即可求解． 解：由图形的变化规律知，第ⓝ团中黑三角的个数为1+2+3+4+…+n＝n（n+1）， 由题意得，n（n+1）＝300， 解得， ∵n＞0， ∴n＝24． 故答案为：24 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用等知识，归纳出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1）是解题的关键． 18．(1) (2) (3) (4) (5) (6) （1）解： （2）解： 或， （3）解：， ， ， ， ， ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 可得或 19．(1) (2)， (3) (4) 本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，根据交点确定不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设二次函数的解析式，再代入，得，解得，即可作答． （2）根据对称轴为直线以及与x轴的一个交点坐标为，进行列式计算，得方程的两个根为，，即可作答． （3）结合（2）的结论以及二次函数的图象性质，得出不等式的解集为，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，得最大值为， 把代入，得；把代入，得，可得出当时，y的取值范围为，即可作答． （1）解：依题意，函数的顶点C的坐标为， ∴设二次函数的解析式， ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴ 即二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为 ∴方程的两个根为，； （3）解：∵ ∴二次函数的开口方向向上， 由（2）得方程的两个根为，； ∴不等式的解集为； （4）解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，且开口方向向上， ∴最大值为， 把代入，得； 把代入，得； 当时，则y的取值范围为． 20．(1)①，，；②，；③左，，下， (2) 本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，图象的平移以及图象围成的三角形的面积等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）①根据函数解析式求图象和坐标轴的交点坐标即可，根据二次函数和一元二次方程的关系求出方程的根即可； ②根据顶点坐标公式求解即可； ③根据顶点的坐标，确定平移即可； （2）假设与轴交于点，求出直线的解析式，然后求出点坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可． （1）解：①∵，， ∴与轴交点坐标为，即； 当时，， 解得， ∴与轴交点坐标为； ∵与轴的交点坐标为和， ∴方程的两根为，； 故答案为：，，； ②抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 故答案为：，； ③∵， ∴若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象； 故答案为：左，，下，； （2）解：如图所示，假设与轴交于点，根据题意可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 21．(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． （1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． （1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 22．(1)厘米，厘米，厘米，厘米 (2)或 (3)平方厘米， 结论：在、运动过程中，四边形的面积始终保持不变，为平方厘米，且等于矩形面积的一半 （1）根据“路程速度时间”及线段之间的和差关系即可直接得出答案； （2）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可求出的值； （3）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得（平方厘米），（平方厘米），由于（平方厘米），根据可得（平方厘米），于是可得结论． （1）解：根据“路程速度时间”，点的速度是1厘米秒， （厘米）， 厘米， （厘米）， 点的速度是2厘米秒， （厘米）， 厘米， （厘米）， 故答案为：厘米，厘米，厘米，厘米； （2）解：四边形是矩形， ， ， ，，， ， 整理，得：， ， 或， 解得：，， 答：当或时，的面积为8； （3）解：四边形是矩形， ， （平方厘米）， （平方厘米）， 又（平方厘米）， （平方厘米）． 23．(1) (2) (3)0 (4) (5) (6) (7) (8) (9) 本题考查一元二次函数的图象与性质，一元一次函数的图象与性质： （1）由抛物线图象开口方向确定a的正负，与轴交点确定c的正负，由对称轴确定b的正负，从而可以得到答案； （2）根据一元二次函数与x轴交点情况即可判断； （3）根据一元二次函数对称轴即可求解； （4）根据一元二次函数图象的对称性即可求解； （5）设一元二次函数的解析式为顶点式，代入求出a即可； （6）将A、B坐标代入一元一次函数的解析式联立方程组求解即可； （7）将代入抛物线解析式即可求解； （8）方程的根为一元二次函数值为3时自变量的值，数形结合即可求解； （9）表示二次函数图象在一次函数的图象上方，数形结合即可求解． （1）解：由抛物线图象可得：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， 抛物线对称轴为直线，则， ∴， 故答案为：； （2）解：∵抛物线图象与x轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程有两个不同的根， ∴， 故答案为：； （3）解：抛物线对称轴，则， 故答案为：0； （4）解：关于对称点为1， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故答案为：； （5）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：； （6）解：将和代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：； （7）解：由抛物线图象可得，当时，， 故答案为：； （8）解：即，由图可知抛物线函数值为3时，自变量x为， ∴该方程的两根为， 故答案为：； （9）解：表示二次函数图象在一次函数图象的上方， 由图可知此时， 故答案为：． 24．(1) (2) (3)或 （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将、可以看作方程的两个根，即得出，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． （1）解：∵一元二次方程的两个根为， ． （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， ． （3）解：∵实数满足， ∴可以看作方程的两个根， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或． 25．(1)和 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． (3)正整数的值为 （1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． （1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 26．(1)①③ (2)的值为或 (3) 本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． （1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $