专题01二次函数的意义与图象暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年北师大版九年级数学上册

专题01二次函数的意义与图象暑假预习讲义 · 掌握二次函数定义，区分函数类型 熟记二次函数一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0)，分清二次项、一次项、常数项，明确 a≠0 是判断二次函数的关键条件；对比一次、反比例函数，快速辨别解析式是否为二次函数；会分析含字母参数的式子，判断参数取何值时式子为二次函数、何时退化为一次函数或常数函数。 · 会根据实际问题列二次函数关系式 能分析几何面积、生活情境中的变量等量关系，自主列出二次函数解析式，并结合实际意义写出自变量的取值范围；已知x可代入求函数值，已知y能通过一元二次方程求解对应的自变量。 · 认识二次函数图像基本特征 知道最简单二次函数 y=ax2的图像是抛物线，掌握描点法画抛物线的完整步骤；能准确识别抛物线的顶点、对称轴、开口三大核心要素。 · 理解参数a对抛物线的影响 分清a>0开口向上、a<0开口向下；理解|a|越大，抛物线开口越窄，|a|越小开口越宽；掌握 y=ax2的对称轴为直线x=0（y 轴）、顶点坐标(0,0)。 · 掌握y=ax2的增减性与最值 能根据开口方向判断函数增减变化：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，顶点取最小值；开口向下则相反，顶点取最大值。 · 初步感知抛物线平移规律 对比 y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2 的图像，直观感受上下、左右平移带来的图像变化，初步看懂顶点移动与解析式变换的对应关系。 · 建立基础数形结合思维 能从抛物线图像中读取对称轴、顶点、增减区间、最值等信息；能结合图像解释自变量与函数值的对应变化；自主梳理概念辨析、图像平移、参数取值等疑点，带着问题听课，突破重难点。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的定义 2.判断是否为二次函数的步骤 3.含参数二的次函数求字母取值 4.列实际问题中函数解析式 5.函数对比辨析 6.特殊形式y=ax2 7.参数a.b.c.Δ 的几何意义 8.一般形式y=ax2+bx+c 9.图象画法 10.二次函数的平移规律 1.列二次函数关系式. 2.二次函数的识别 常考题型 精讲精练 3.由二次函数=定义求参数 4.y=ax2图象与性质 5.y=ax2+k图象与性质 6.y=a(x-h)2图象与性质 7.y=a(x-h)2+k图象与性质 8.二次函数图象的平移 9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 10.画y=ax2+bx+c的图象 11.y=ax2+bx+c的图象与性质 12.二次函数图象与各项系数符号 强化题型 解答题5题 知识点01：二次函数定义 1.定义：形如 y=ax2+bx+c(a、b、c\) 是常数，a≠0的函数叫做二次函数。 2.各项名称 ax2：二次项，a 是二次项系数； bx：一次项，b 是一次项系数； c：常数项。 3.关键限制条件：a≠0 若 a=0，式子变为 y=bx+c，是一次函数，不再是二次函数；b、c可以等于 0。 4.三种特殊简化形式 1 b=0,c=0：y=ax2（最简二次函数，本节课图像研究基础） 2 b=0：y=ax2+c 3 c=0：y=ax2+bx 知识点02：判断一个函数是否为二次函数的步骤 1.整理等式，把所有项移到等号左侧，化为 y= 含 x 代数式的形式； 2.检查自变量 x 的最高次数是否为 2； 3.确认二次项系数 a≠0； 同时满足以上两点才是二次函数。 知识点03：含参数的二次函数求字母取值 题型：已知 y=(m-2)xm2-2+3x-1 是二次函数，求 m。 解题两个条件： x 的次数 = 2；。 二次项系数≠0；联立方程求解，舍去使系数为 0 的解。 知识点04：列实际问题中的二次函数解析式 通用步骤 1 审题，分清自变量 x、因变量 y； 2 根据几何公式、数量关系找等量关系； 3 列出等式，整理成 y=ax2+bx+c标准形式； 4 根据实际场景写出自变量取值范围（长度 > 0、人数为正整数等）。 常见模型：矩形 / 正方形面积、利润问题、动点线段面积问题。 知识点05：函数对比辨析 函数类型 解析式核心特征 最高次数 正比例函数 y=kx(k≠0) 1 次 一次函数 y=kx+b(k≠0) 1 次 反比例函数 y=(k≠0) -1次 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 2 次 知识点06:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 知识点07:参数 a、b、c、Δ 的几何意义. a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 知识点08:一般形式：y=ax 2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=−​ 直线 x=− 顶点 最低点 最高点 增减性 x<−：y 随 x 增大而减小 x>−：y 随 x 增大而增大 x<−：y 随 x 增大而增大 x>−：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=−时，y最小=​ 当 x=− 时，y最大=​ 知识点09:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点10:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 题型1.列二次函数关系式. 【典例】已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【跟踪专练1】某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 【跟踪专练3】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 题型2.二次函数的识别 【典例】二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【跟踪专练1】下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是________，它是________函数． 【跟踪专练3】下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型3.由二次函数的定义求参数 【典例】若是二次函数，则_______． 【跟踪专练1】已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【跟踪专练2】若函数的图象是抛物线，则m的值为_____． 【跟踪专练3】若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型4.y=ax2图象与性质 【典例】与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【跟踪专练1】二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 【跟踪专练3】如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 题型5.y=ax2+k图象与性质 【典例】已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【跟踪专练1】已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 【跟踪专练3】关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 题型6.y=a(x-h)2图象与性质 【典例】若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【跟踪专练1】已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【跟踪专练3】设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型7.y=a(x-h)2+k图象与性质 【典例】二次函数的最小值为__________． 【跟踪专练1】对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【跟踪专练2】已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______． 【跟踪专练3】已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型8.二次函数图象的平移 【典例】将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【跟踪专练1】将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为______． 【跟踪专练3】将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例】二次函数的图象顶点坐标为______． 【跟踪专练1】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是________． 【跟踪专练3】若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型10.画y=ax2+bx+c的图象 【典例】抛物线的对称轴是直线_______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．  B．   C．   D．   【跟踪专练2】如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（   ） A．B．C．D． 题型11.y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例】如果二次函数的图像有最低点，那么的取值范围是_______． 【跟踪专练1】已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 【跟踪专练3】已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 题型12.二次函数图象与各项系数符号 【典例】二次函数中，________决定该函数图象的开口方向和开口大小，在________确定的条件下，________决定图象对称轴的位置，________决定图象与轴交点的位置． 【跟踪专练1】二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练3】二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点，点，点在该函数图象上，则；（4）若，则，其中正确的结论的序号是___________． 解答题 1．已知关于x的二次函数，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 3．二次函数的图象如下图所示，直接在平面直角坐标系中画出二次函数和的图象，并解决下列问题： 将抛物线向_______平移_______个单位得到抛物线． 4．已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 5．二次函数的顶点为． … 0 1 2 3 … … 0 4 3 0 … (1)补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (2)抛物线的顶点的坐标是___________； (3)当___________时，随的增大而减小； (4)当时，的取值范围是___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次函数的意义与图象暑假预习讲义 · 掌握二次函数定义，区分函数类型 熟记二次函数一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0)，分清二次项、一次项、常数项，明确 a≠0 是判断二次函数的关键条件；对比一次、反比例函数，快速辨别解析式是否为二次函数；会分析含字母参数的式子，判断参数取何值时式子为二次函数、何时退化为一次函数或常数函数。 · 会根据实际问题列二次函数关系式 能分析几何面积、生活情境中的变量等量关系，自主列出二次函数解析式，并结合实际意义写出自变量的取值范围；已知x可代入求函数值，已知y能通过一元二次方程求解对应的自变量。 · 认识二次函数图像基本特征 知道最简单二次函数 y=ax2的图像是抛物线，掌握描点法画抛物线的完整步骤；能准确识别抛物线的顶点、对称轴、开口三大核心要素。 · 理解参数a对抛物线的影响 分清a>0开口向上、a<0开口向下；理解|a|越大，抛物线开口越窄，|a|越小开口越宽；掌握 y=ax2的对称轴为直线x=0（y 轴）、顶点坐标(0,0)。 · 掌握y=ax2的增减性与最值 能根据开口方向判断函数增减变化：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，顶点取最小值；开口向下则相反，顶点取最大值。 · 初步感知抛物线平移规律 对比 y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2 的图像，直观感受上下、左右平移带来的图像变化，初步看懂顶点移动与解析式变换的对应关系。 · 建立基础数形结合思维 能从抛物线图像中读取对称轴、顶点、增减区间、最值等信息；能结合图像解释自变量与函数值的对应变化；自主梳理概念辨析、图像平移、参数取值等疑点，带着问题听课，突破重难点。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的定义 2.判断是否为二次函数的步骤 3.含参数二的次函数求字母取值 4.列实际问题中函数解析式 5.函数对比辨析 6.特殊形式y=ax2 7.参数a.b.c.Δ 的几何意义 8.一般形式y=ax2+bx+c 9.图象画法 10.二次函数的平移规律 1.列二次函数关系式. 2.二次函数的识别 常考题型 精讲精练 3.由二次函数=定义求参数 4.y=ax2图象与性质 5.y=ax2+k图象与性质 6.y=a(x-h)2图象与性质 7.y=a(x-h)2+k图象与性质 8.二次函数图象的平移 9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 10.画y=ax2+bx+c的图象 11.y=ax2+bx+c的图象与性质 12.二次函数图象与各项系数符号 强化题型 解答题5题 知识点01：二次函数定义 1.定义：形如 y=ax2+bx+c(a、b、c\) 是常数，a≠0的函数叫做二次函数。 2.各项名称 ax2：二次项，a 是二次项系数； bx：一次项，b 是一次项系数； c：常数项。 3.关键限制条件：a≠0 若 a=0，式子变为 y=bx+c，是一次函数，不再是二次函数；b、c可以等于 0。 4.三种特殊简化形式 1 b=0,c=0：y=ax2（最简二次函数，本节课图像研究基础） 2 b=0：y=ax2+c 3 c=0：y=ax2+bx 知识点02：判断一个函数是否为二次函数的步骤 1.整理等式，把所有项移到等号左侧，化为 y= 含 x 代数式的形式； 2.检查自变量 x 的最高次数是否为 2； 3.确认二次项系数 a≠0； 同时满足以上两点才是二次函数。 知识点03：含参数的二次函数求字母取值 题型：已知 y=(m-2)xm2-2+3x-1 是二次函数，求 m。 解题两个条件： x 的次数 = 2；。 二次项系数≠0；联立方程求解，舍去使系数为 0 的解。 知识点04：列实际问题中的二次函数解析式 通用步骤 1 审题，分清自变量 x、因变量 y； 2 根据几何公式、数量关系找等量关系； 3 列出等式，整理成 y=ax2+bx+c标准形式； 4 根据实际场景写出自变量取值范围（长度 > 0、人数为正整数等）。 常见模型：矩形 / 正方形面积、利润问题、动点线段面积问题。 知识点05：函数对比辨析 函数类型 解析式核心特征 最高次数 正比例函数 y=kx(k≠0) 1 次 一次函数 y=kx+b(k≠0) 1 次 反比例函数 y=(k≠0) -1次 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 2 次 知识点06:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 知识点07:参数 a、b、c、Δ 的几何意义. a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 知识点08:一般形式：y=ax 2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=−​ 直线 x=− 顶点 最低点 最高点 增减性 x<−：y 随 x 增大而减小 x>−：y 随 x 增大而增大 x<−：y 随 x 增大而增大 x>−：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=−时，y最小=​ 当 x=− 时，y最大=​ 知识点09:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点10:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 题型1.列二次函数关系式. 【典例】已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 【跟踪专练1】某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 【跟踪专练2】已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 【跟踪专练3】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 题型2.二次函数的识别 【典例】二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 【跟踪专练1】下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是________，它是________函数． 【答案】 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 【跟踪专练3】下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A. 含有分式，不是二次函数，不符合题意； B. 是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C. 是二次函数，符合题意； D. ，若，原函数为一次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的判断，明确二次函数的定义是解题的关键． 题型3.由二次函数的定义求参数 【典例】若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 【跟踪专练1】已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 【跟踪专练2】若函数的图象是抛物线，则m的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据题意可得函数是二次函数，根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：依题意是二次函数， ∴且， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 题型4.y=ax2图象与性质 【典例】与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【答案】 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 【跟踪专练1】二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 【跟踪专练2】已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 【答案】 【分析】求出，的值，比较即可得出结果． 【详解】解：∵，是抛物线上的点， ∴，， ∵， ∴． 【跟踪专练3】如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． 题型5.y=ax2+k图象与性质 【典例】已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 【跟踪专练1】已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵函数 中，二次项系数 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 对于开口向下的二次函数，在对称轴右侧，函数值随的增大而减小 ∴当函数值随的增大而减小时，的取值范围是． 【跟踪专练2】如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 【答案】2 【分析】由题意易得点C、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴C、B关于y轴对称， ∵四边形是正方形， ∴，与相互平分， 令时，则有， ∴点， ∴， ∴点， 把点C代入得：，解得：或， ∵， ∴． 【跟踪专练3】关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． 题型6.y=a(x-h)2图象与性质 【典例】若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 【跟踪专练1】已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 【跟踪专练3】设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 题型7.y=a(x-h)2+k图象与性质 【典例】二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 【跟踪专练1】对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 【跟踪专练2】已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及开口方向，然后根据两点距对称轴的距离判断大小即可． 【详解】解：根据解析式可知抛物线对称轴为，开口向下， ∴两点离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴． 【跟踪专练3】已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据已知的两组，的对应值代入二次函数解析式，消去参数，整理得到关于的表达式，再将各选项的代入即可判断的正负，得到正确结论． 【详解】解：∵二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，， ∴， 两式消去可得：， 解得：， A、若，，故A错误； B、若，，B错误； C、若，，C正确； D、若，，D错误． 题型8.二次函数图象的平移 【典例】将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 【跟踪专练1】将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． 【跟踪专练2】把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 【跟踪专练3】将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例】二次函数的图象顶点坐标为______． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握把二次函数的一般式整理成顶点式，是解题关键．直接把二次函数的解析式整理为顶点式即可解答． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的顶点式，则顶点坐标为，直接确定顶点坐标，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标确定，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由抛物线的解析式为，得，， 故顶点坐标为， 故选：D． 【跟踪专练2】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练3】若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在二次函数的图象上，点到轴的距离小于，可得：，进一步可得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为． ∵点P到y轴的距离小于2， ∴． 当时，； 当时，； 当时，． ∴n的取值范围是． 题型10.画y=ax2+bx+c的图象 【典例】抛物线的对称轴是直线_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】当时，当时，两种情形，确定解析式，然后判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， ∴， ∴； 选项符合题意． 题型11.y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例】如果二次函数的图像有最低点，那么的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握基本概念是解题关键． 二次函数图像有最低点的条件是二次项系数大于零 【详解】解：∵当二次项系数大于零时，抛物线开口向上，有最低点． ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线解析式判断开口方向、顶点坐标和对称轴，再利用二次函数的增减性比较，和的大小，即可得到正确结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为，即抛物线上点的纵坐标都不大于，可得，，排除C，D选项． 又∵抛物线对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∵点，满足，两点都在对称轴右侧， ∴． 综上可得 ． 【跟踪专练2】若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 【答案】或 【分析】对于抛物线，可先将其化为顶点式来确定对称轴，根据二次函数的单调性，结合来确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴该抛物线的对称轴直线为，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大， 设点关于对称轴直线的对称点为， ∴根据对称轴公式2，解得， ∵，抛物线开口向上： ∴当在对称轴右侧时，满足， ∴当在对称轴左侧时，满足， ∴m的取值范围是或． 【跟踪专练3】已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵，， ∴，即， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，整理得， 两边平方得， 展开得， 化简得， 解得， 选项中只有满足，因此的值可能是． 题型12.二次函数图象与各项系数符号 【典例】二次函数中，________决定该函数图象的开口方向和开口大小，在________确定的条件下，________决定图象对称轴的位置，________决定图象与轴交点的位置． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数图象与系数的关系回答即可． 【详解】解：二次函数中，决定该函数图象的开口方向和开口大小，在确定的条件下，决定图象对称轴的位置，决定图象与轴交点的位置． 故答案为：；；；． 【跟踪专练1】二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限． 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 【跟踪专练3】二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点，点，点在该函数图象上，则；（4）若，则，其中正确的结论的序号是___________． 【答案】（1）（4） 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与x轴交点情况，函数的增减性，特殊点的函数值等进行推理，进而对所求结论进行判断． 【详解】解：∵称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故（1）正确， ∵二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故（2）错误， ∵点，点，点在该函数图象上，对称轴为直线，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小 ∴，故（3）错误， ∵当时，取得最大值， ∴当时，， ∴，故（4）正确， 故答案为：（1）（4）． 解答题 1．已知关于x的二次函数，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的性质，求出二次函数的解析式是解决本题的关键． 先根据二次函数的定义求出二次函数的解析式，并将其转换为顶点式，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数的定义要求未知数最高次数为2且二次项系数， ∴， 解得； ， 解得． 将代入解析式中， 得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 2．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 3．二次函数的图象如下图所示，直接在平面直角坐标系中画出二次函数和的图象，并解决下列问题： 将抛物线向_______平移_______个单位得到抛物线． 【答案】图见解析，左，6 【分析】本题主要考查了画二次函数图象、二次函数的平移等知识点，正确画出函数图象成为解题的关键． 先在坐标系内画出二次函数和的图象，然后根据函数图象即可解答． 【详解】解：二次函数和的图象如图所示． 所以将抛物线向左平移6个单位得到抛物线． 故答案为：左，6． 4．已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 5．二次函数的顶点为． … 0 1 2 3 … … 0 4 3 0 … (1)补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (2)抛物线的顶点的坐标是___________； (3)当___________时，随的增大而减小； (4)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的图像绘制、顶点坐标求解、增减性判断及函数值对应自变量范围的确定，解题的关键是掌握二次函数的表达式变形（配方法）、图像性质（开口方向、对称轴）及数形结合思想的应用． （1）补全表格需将代入函数表达式求值；画图需先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，再用平滑曲线连接． （2）求顶点坐标可通过配方法将函数化为顶点式，即可得解． （3）先判断抛物线开口方向（由的符号确定），再确定对称轴，根据开口方向判断增减性区间． （4）先求出和对应的自变量的值，再结合函数图像确定满足的取值范围． 【详解】（1）解：补全表格：将代入，得，故表格中对应的值为3；   … 0 1 2 3 … … 0 3 4 3 0 … 画图步骤：先确定关键点（顶点、与轴交点和、与轴交点及），再用平滑的抛物线将这些点依次连接，即得函数图像． （2）解：用配方法变形函数表达式：   ，   二次函数顶点式的顶点为，故顶点的坐标为， 故答案为：． （3）解：由可知，抛物线开口向下；   由顶点式可知对称轴为直线，开口向下时，对称轴右侧随的增大而减小，即， 故答案为：． （4）解：当时，，解得，；   当时，，化简得，解得，；   结合抛物线图像（开口向下，顶点），可知当时，的取值范围是 或， 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $